複素化（リー群）

数学において、実リー群の複素化または普遍複素化は、その群から別の複素リー群への連続準同型写像はすべて、複素リー群間の複素解析準同型写像に両立的に拡張されるという普遍的性質を持つ複素リー群への連続準同型写像で与えられる。複素化は常に存在し、同型写像が一意である点を除いて一意である。そのリー代数は、元の群のリー代数の複素化の商である。元の群が離散正規部分群による商を持ち、その部分群が線型である場合、それらは同型である。

コンパクト リー群の場合、複素化はクロード シュヴァレーにちなんでシュヴァレー複素化と呼ばれることもあり、代表関数のホップ代数の複素指標、すなわち群の有限次元表現の行列係数の群として定義できます。コンパクト群の任意の有限次元忠実ユニタリ表現では、複素一般線型群の閉部分群として具体的に実現できます。これは、極分解g = u • exp iXを持つ演算子で構成されます。ここで、uはコンパクト群のユニタリ演算子であり、Xはそのリー代数の歪随伴演算子です。この場合、複素化は複素代数群であり、そのリー代数はコンパクト リー群のリー代数の複素化です。

普遍的な複雑化

意味

Gがリー群である場合、普遍複素化は複素リー群G _Cと連続準同型φ : G → G _Cによって与えられ、その普遍的性質として、f : G → Hが複素リー群Hへの任意の連続準同型である場合、 f = F ∘ φとなる唯一の複素解析準同型F : G _C → Hが存在する、というものがあります。

普遍的な複素化は常に存在し、唯一の複素解析同型性（元のグループの包含を維持する）まで一意です。

存在

Gがリー代数𝖌と連結である場合、その普遍被覆群Gは単連結である。G _Cをリー代数𝖌 _C = 𝖌 ⊗ Cを持つ単連結複素リー群とし、Φ: G → G _Cを自然準同型（ Φ _* : 𝖌 ↪ 𝖌 ⊗ Cが標準包含となる唯一の射）とし、 π : G → Gを普遍被覆写像とすると、ker πはGの基本群となる。包含Φ(ker π ) ⊂ Z( G _C )が成り立ち、これはG _Cの随伴表現の核がその中心に等しいという事実と、次の等式との組み合わせ から導かれる。

${\displaystyle (C_{\Phi (k)})_{*}\circ \Phi _{*}=\Phi _{*}\circ (C_{k})_{*}=\Phi _{*}}$

これは任意のk ∈ ker πに対して成り立つ。Φ(ker π ) ^*をG _Cの最小の閉正規リー部分群でΦ(ker π )を含むものを表わすと、今度は包含Φ(ker π ) ^* ⊂ Z( G _C )も成り立つ。G の普遍複素化を次のように 定義する。

${\displaystyle G_{\mathbf {C} }={\frac {\mathbf {G} _{\mathbf {C} }}{\Phi (\ker \pi )^{*}}}.}$

特に、Gが単連結である場合、その普遍複素化はG _Cである。^{[ 1 ]}

写像φ : G → G _Cは商への写像である。π は射影的沈み込みなので、写像π _C ∘ Φが滑らかであることはφが滑らかであることを意味する。

複雑化マップの構築

単位元G ^oと成分群Γ = G / G ^oを持つ非連結リー群Gの場合、拡張

${\displaystyle \{1\}\rightarrow G^{o}\rightarrow G\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

延長を誘発する

${\displaystyle \{1\}\rightarrow (G^{o})_{\mathbf {C} }\rightarrow G_{\mathbf {C} }\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

複素リー群G _CはGの複素化である。^{[ 2 ]}

普遍的性質の証明

写像φ : G → G _Cは、上記の複素化の定義に現れる普遍性を備えている。この命題の証明は、以下の図式を考察することで自然に導かれる。

ここで、は複素リー群を余域として持つリー群の任意の滑らかな準同型です。 ${\displaystyle f\colon G\rightarrow H}$

マップFの存在

簡単のため、 は連結であると仮定する。 の存在を証明するために、まずリー代数の射を複素リー代数の唯一の射へと自然に拡張する。 は単連結なので、リーの第二基本定理は、となる複素リー群間の唯一の複素解析射を与える。を によって誘導される写像として定義する。つまり、任意の に対して となる。この写像（すなわち）の well-defined 性を示すために、写像 の導関数を考える。任意の に対して、 となる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f_{*}\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}_{*}\colon {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\colon \mathbf {G} _{\mathbf {C} }\rightarrow H}$ ${\displaystyle ({\overline {F}})_{*}={\overline {f}}_{*}}$ ${\displaystyle F\colon G_{\mathbf {C} }\rightarrow H}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)}$ ${\displaystyle g\in \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \Phi }$ ${\displaystyle v\in T_{e}\mathbf {G} \cong {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v}$ 、

これは（ の単純連結性により） を意味する。この等式は最終的に を意味し、は の閉正規リー部分群であるため、 も成り立つ。 は複素解析的射影沈み込みであるため、 が成り立つため、写像は複素解析的である。望ましい等式は間近に迫っている。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \Phi =f\circ \pi }$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F\circ \varphi =f}$

マップFの一意性

の一意性を示すために、 がを含む2つの写像であると仮定します。 を右から合成し、微分すると となり、 は包含なので となります。しかしは の包含なので となり、したがって の連結性はを意味します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}\circ \varphi =F_{2}\circ \varphi =f}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}}$ ${\displaystyle \Phi _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}=(F_{2})_{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

ユニークさ

普遍的性質は、普遍的複素化が複素解析同型性まで一意であることを意味します。

注入性

元の群が線型であれば普遍複素化も線型であり、両者の間の準同型は包含である。^{[ 3 ]} Onishchik & Vinberg (1994)は、準同型がリー代数レベルでも入射的ではない連結実リー群の例を示す。彼らは、SL(2, R )の普遍被覆群でTを積し、最初の因子の無理回転と 2 番目の因子の中心の生成元によって生成される離散巡回部分群で商をとる。

基本的な例

既知のリー群を持つリー群の複素化の次の同型は、複素化の一般的な構成から直接構築できます。

• 2x2行列の特殊ユニタリ群の複素化は

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ 。

これはリー代数の同型性から導かれる。

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$ 、

単純に接続されているという事実とともに。${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

• 2x2行列の特殊線型群の複素化は

${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ 。

これはリー代数の同型性から導かれる。

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$ 、

単純に接続されているという事実とともに。${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$

• 3x3行列の特殊直交群の複素化は

${\displaystyle \mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$ 、

ここで は真正直交ローレンツ群を表す。これはが の普遍（二重）被覆 であるという事実から導かれる。したがって、 ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$ 。

また、は の普遍（二重）被覆であるという事実も使用します。${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

• 適切な直交ローレンツ群の複素化は

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$ 。

これは、2 番目の例と同じリー代数の同型性から導き出されますが、この場合も、適切な直交ローレンツ群の普遍 (二重) 被覆が使用されます。

• 4x4行列の特殊直交群の複素化は

${\displaystyle \mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$ 。

これは、が の普遍（二重）被覆であるという事実から導かれ、したがってとなります。${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$

最後の2つの例は、同型複素化を持つリー群が必ずしも同型ではないことを示しています。さらに、リー群と の複素化は、複素化がべき等演算ではないことを示しています。つまり、 です（これはとの複素化からもわかります）。 ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle (G_{\mathbf {C} })_{\mathbf {C} }\not \cong G_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

シュヴァレー複素化

行列係数のホップ代数

Gがコンパクトリー群であるとき、有限次元ユニタリ表現の行列係数の*-代数Aは、 G上の複素数値連続関数の * -代数であるC ( G )の一様稠密 *-部分代数である。これは自然にホップ代数となり、共乗法は次のように与えられる 。

${\displaystyle \displaystyle {\Delta f(g,h)=f(gh).}}$

Aの指標はAからCへの *-準同型である。これらはGにおけるgの点評価f ↦ f ( g )と同一視でき、共乗法によりG上の群構造を復元できる。AからCへの準同型も群を形成する。これは複素リー群であり、Gの複素化G _Cと同一視できる。*-代数AはGの任意の忠実な表現σの行列係数によって生成される。したがって、σ はG _Cの忠実な複素解析的表現を定義する。^{[ 4 ]}

不変理論

コンパクト リー群の複素化に対するChevalley (1946)の独自のアプローチは、 Weyl (1946)で説明された古典不変量理論の言語で簡潔に述べることができます。G をユニタリ群U ( V )の閉部分群とし、Vを有限次元複素内積空間とします。そのリー代数は、すべての実数tに対してexp tXがGに含まれるようなすべての歪随伴演算子Xから構成されます。 W = V ⊕ Cとし、 Gの 2 番目の加数への自明な作用素を設定します。群G はW ^{⊗ N}に作用し、元uはu ^{⊗ N}として作用します。可換代数(または中心化代数) はA _N = End _G W ^{⊗ N}で表されます。これはそのユニタリ作用素によって *-代数として生成され、その可換項は作用素u ^{⊗ N}によって張られる *-代数である。 Gの複素化G _Cは、 g ^{⊗ N}がA _Nと可換であり、g がCの2番目の加数に自明に作用するような、 GL( V )のすべての作用素g から構成される。定義により、これはGL( V )の閉部分群である。定義関係（可換項として）は、Gが代数的部分群であることを示す。 U ( V )との交点はGと一致する。これは、 G が、 Gに制限されたときに既約表現が既約かつ非同値であり続ける、より大規模なコンパクト群であるためである。A _Nはユニタリによって生成されるため、ユニタリ作用素uと正作用素pの極分解g = u ⋅ p が両方とも G C に含まれる_場合、可逆作用素gは_Gそして演算子p は、 p = exp Tと一意に書き表すことができ、ここでTは自己随伴演算子である。多項式関数の関数計算により、 h ^{⊗ N が}A _Nの可換項に含まれるのは、 h = exp z TでzがCに含まれる場合である。特に、z を純虚数とすると、T はGのリー代数においてXに対してiX の形式を持たなければならない。 Gのすべての有限次元表現はW ^{⊗ N}の直和として現れるため、 G _Cによって不変となり、したがってGのすべての有限次元表現はG _Cに一意に拡張される。この拡張は極分解と両立する。最後に、極分解はGがG _Cの最大コンパクト部分群であることを意味する。なぜなら、厳密に大きいコンパクト部分群は、閉じた無限離散部分群である正の演算子pのすべての整数乗を含むからである。^{[ 5 ]}

Chevalley錯体化における分解

カルタン分解

極分解から導かれる分解

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot P=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}},}}$

ここで𝖌はGのリー代数であり、 G _Cのカルタン分解と呼ばれる。指数因子PはGによる共役に対して不変であるが、部分群ではない。Gはユニタリ作用素から成り、P は正作用素から成っているため、複素化は随伴作用素を取らないという不変条件を満たす。

ガウス分解

ガウス分解は、一般線型群のLU分解の一般化であり、ブルア分解の特殊化である。GL ( V )の場合、与えられた直交基底e ₁ , ..., e _nに関して、 GL( V )の元gは次のように因数分解できる ことを述べている。

${\displaystyle \displaystyle {g=XDY}}$

Xが下単三角形、Yが上単三角形、Dが対角線状であることは、 gのすべての主小行列式が非零であることと同値である。この場合、X、Y、Dは一意に定まる。

実際、ガウスの消去法によれば、X ⁻¹ gが上三角行列となるような唯一のXが存在することが分かります。^{[ 6 ]}

上側と下側の単三角行列N ₊とN ₋は GL( V )の閉単零部分群である。これらのリー代数は、上側と下側の厳密な三角行列からなる。指数写像は、冪零性によりリー代数から対応する部分群への多項式写像である。逆写像は対数写像で与えられ、これも単零性により多項式写像となる。特に、N _±の閉連結部分群とそのリー代数の部分代数の間には対応関係がある。多項式関数 log ( e ^A e ^B )が与えられたリー部分代数に含まれるためには、 AとBが含まれ、かつそれらが十分に小さいことが必要であるため、指数写像はいずれの場合も全射である。^{[ 7 ]}

ガウス分解は、U( V )の他の閉連結部分群Gの複素化に拡張することができ、ルート分解を用いて複素化リー代数を次のように書くことができる^{[ 8 ]。}

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }={\mathfrak {n}}_{-}\oplus {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus {\mathfrak {n}}_{+},}}$

ここで𝖙はGの最大トーラスTのリー代数であり、𝖓 _±は対応する正と負のルート空間の直和です。VをTの固有空間として重み空間分解すると、 𝖙 は対角作用素として、𝖓 _{+ は}下降作用素として、𝖓 _{− は}上昇作用素として作用します。𝖓 _{± は、冪零作用素として作用する冪零リー代数です。これらは、} V上で互いの随伴です。特に、T は𝖓 ₊の共役として作用するため、𝖙 _C ⊕ 𝖓 _{+ は}冪零リー代数とアーベルリー代数の半直積になります。

エンゲルの定理によれば、𝖆 ⊕ 𝖓 が半直積で、𝖆 がアーベル、𝖓がべき零で、𝖆 の演算子が対角化可能で𝖓 の演算子がべき零である有限次元ベクトル空間Wに作用する場合、 𝖆の固有ベクトルであり、 𝖓によって消滅するベクトルwが存在します。実際には、𝖓によって消滅するベクトルが存在することを示せば十分であり、これはdim 𝖓上の帰納法により導かれます。なぜなら、導出代数𝖓' は、𝖓 / 𝖓'と𝖆が同じ仮定で作用する ベクトルの非ゼロ部分空間を消滅させるからです。

この議論を𝖙C⊕𝖓+に繰り返し適用すると、Vの_直交基底 e1 、...、enが存在し、これは𝖙C_の固有ベクトルで_構成され、𝖓 +_は対角線上にゼロを持つ上三角行列として作用することがわかります。

N _±とT _{C が}𝖓 ₊と𝖙 _Cに対応する複素リー群である場合、ガウス分解によれば、部分集合

${\displaystyle \displaystyle {N_{-}T_{\mathbf {C} }N_{+}}}$

は直積であり、G _Cの元のうち主小行列式が非零となる元から構成される。これは開かつ稠密である。さらに、T がU( V )における最大トーラスを表す場合、

${\displaystyle \displaystyle {N_{\pm }=\mathbf {N} _{\pm }\cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,T_{\mathbf {C} }=\mathbf {T} _{\mathbf {C} }\cap G_{\mathbf {C} }.}}$

これらの結果はGL( V )の対応する結果から直接導かれたものである。^{[ 9 ]}

ブルハット分解

W = N _G ( T ) / T がTのワイル群を表し、B がボレル部分群T _C N ₊を表す場合、ガウス分解はより正確なブルア分解の結果でもある。

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=\bigcup _{\sigma \in W}B\sigma B,}}$

G _{C を}Bの二重剰余類の互いに素な和集合に分解する。二重剰余類BσBの複素次元は、 Wの元としてのσの長さによって決まる。この次元はコクセター元で最大となり、唯一の開稠二重剰余類を与える。その逆共役はB をG _Cの下三角行列のボレル部分群に与える。^{[ 10 ]}

Bruhat 分解はSL( n , C )に対して簡単に証明できます。^{[ 11 ]} B を上三角行列のボレル部分群、T _Cを対角行列の部分群とします。したがって、N ( T _C ) / T _C = S _nです。g がSL( n , C )に属する場合、bg がその行の先頭に現れるゼロの数を最大化するようにBのbを取ります。1 つの行の倍数を別の行に追加できるため、各行には異なる数のゼロが含まれます。N( T _C )の行列wを乗算すると、wbg がBに含まれることになります。一意性のために、w ₁ b w ₂ = b _{0の場合、} w ₁ w ₂の要素は対角線の下側で消えます。したがって、積はT _Cにあり、一意性が証明されます。

シュヴァレー（1955）は、元gの表現g = b ₁ σb _2は、 b ₁が上方単位三角部分群N _σ = N ₊ ∩ σ N ₋ σ ⁻¹に属するように制限されるとき一意になることを示した。実際、M _σ = N ₊ ∩ σ N ₊ σ ⁻¹のとき、これは恒等式から導かれる。

${\displaystyle \displaystyle {N_{+}=N_{\sigma }\cdot M_{\sigma }.}}$

群N _{+ は}、最初のk − 1 個の超対角要素に零点を持つ正規部分群N ₊ ( k )による自然な濾過を持ち、後続の商はアーベル的である。N _σ ( k )とM _σ ( k )をN ₊ ( k )との交点と定義すると、 kに関する帰納的減少により、 N ₊ ( k ) = N _σ ( k ) ⋅ M _σ ( k )が導かれる。実際、N _σ ( k ) N ₊ ( k + 1)とM _σ ( k ) N ₊ ( k + 1)は、 σ がi < jの順序を保つかどうかに応じて、 k番目の超対角要素( i , j )が消滅することによってN ₊ ( k )において指定される。 ^{[ 12 ]}

他の古典的単純群のブルハット分解は、SL( n , C )の折り畳み自己同型の不動点部分群であるという事実を用いて、上記の分解から導くことができる。^{[ 13 ]} Sp( n , C )について、Jをn × n行列とし、その対角要素に1 、それ以外に0を設定し、

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

するとSp( n , C )はSL(2 n , C )の反転θ ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ⁻¹の不動点部分群になります。部分群N _±、T _C、およびBは不変のままになります。基底元がn、n −1、...、1、−1、...、− nでインデックス付けされる場合、 Sp( n , C )の Weyl 群はσ ( j ) = − jを満たす σで構成されます。つまり、 θと可換です。B、T _C、およびN _±の類似物は、 Sp( n , C )との交差によって定義されます。つまり、 θの不動点として定義されます。分解g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b )の一意性は、 Sp( n , C )の Bruhat 分解を意味します。

同じ議論はSO( n , C )にも当てはまる。これはSL( n , C )におけるψ ( g ) = B ( g ^t ) ⁻¹ B ⁻¹の不動点（ただしB = J）として実現できる。

岩沢分解

岩沢分解

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot A\cdot N}}$

はG _Cの分解を与えるが、カルタン分解とは異なり、直接因子A ⋅ Nは閉部分群であるが、 Gによる共役に対して不変ではなくなる。これは冪零部分群Nとアーベル部分群Aの半直積である。

U( V )とその複素化GL( V )に対して、この分解はグラム・シュミット直交化過程の言い換えとして導くことができる。^{[ 14 ]}

実際、e ₁ , ..., e _{n を}Vの直交基底とし、g をGL( V )の元とする。グラム・シュミット過程をge ₁ , ..., ge _nに適用すると、唯一の直交基底f ₁ , ..., f _nと正の定数a _iが存在し、

${\displaystyle \displaystyle {f_{i}=a_{i}ge_{i}+\sum _{j<i}n_{ji}ge_{j}.}}$

k が( e _i )から( f _i )までのユニタリ行列である場合、g ⁻¹ k は部分群ANに属する。ここでA は( e _i )に関する正対角行列の部分群であり 、Nは上ユニ三角行列の部分群である。^{[ 15 ]}

ガウス分解の記法を用いると、GCの岩澤分解における部分群は[ ^{16 ]で}定義される _。

${\displaystyle \displaystyle {A=\exp i{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n}}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C} }.}}$

GL( V )に対する分解は直接的なので、 G _C = GANであることを確認しれば十分である。GL ( V )に対する岩澤分解の性質から、写像G × A × NはG _Cにおけるその像への微分同相写像であり、これは閉じている。一方、像の次元はG _Cの次元と同じなので、これも開いている。したがって、G _Cは連結なので、 G _C = GAN である。 ^{[ 17 ]}

Zhelobenko (1973) は、分解における要素を明示的に計算する方法を示しています。^{[ 18 ]} G _Cのgに対して、h = g * gと設定します。これは正の自己随伴演算子であるため、その主小演算子は消えません。したがって、ガウス分解により、 XがN ₋、DがT _C、YがN ₊に含まれる場合、 h = XDYの形式で一意に表すことができます。hは自己随伴であるため、一意であることから Y = X * が強制されます。また、Dは正であるため、 Aに含まれ、 𝖙にある一意のTに対してD = exp iTの形式になります。a = exp iT /2をAにおける一意の平方根とします。n = Yおよびk = g n ⁻¹ a ⁻¹と設定します。するとkはユニタリであるため、 Gにもあり、g = kan です。

均質空間上の複雑な構造

岩澤分解は、Gの有限次元既約表現の最高重みベクトルの複素射影空間におけるG軌道上の複素構造を記述するために用いることができる。特に、G / TとG _C / Bの同一視は、ボレル＝ヴェイユの定理を定式化するために用いることができる。この定理は、 Gの各既約表現はTの指標から正則帰納法によって得られること、あるいは同値として、 G / T上の正則直線束の切断空間において実現されることを述べている。

Tを含むGの閉連結部分群は、ボレル・ド・ジーベンタール理論によって記述される。これらはまさにトーラスS ⊆ Tの中心化群である。すべてのトーラスは単一の元xによって位相的に生成されるため、これらは𝖙内の元Xの中心化群C _G ( X )と同じである。ホップの帰結として、C _G ( x )は常に連結である。実際、任意の元yはSとともに何らかの最大トーラスに含まれ、必然的にC _G ( x )に含まれる。

重みλの最高重みベクトルvを持つ既約有限次元表現V _λが与えられると、GにおけるC vの安定化因子は閉部分群Hとなる。vはTの固有ベクトルなので、HはTを含む。複素化G _CもVに作用し、安定化因子はT _Cを含む閉複素部分群Pとなる。vは正のルートαに対応するすべての累乗演算子によって消滅するので、Pはボレル部分群Bを含む。ベクトルvはαに対応するsl ₂のコピーに対する最高重みベクトルでもあるので、 ( λ , α ) = 0ならば𝖌 _{− α}を生成する累乗演算子によって消滅する。 Pのリー代数pはvを消滅させるルート空間ベクトルと𝖙 _Cの直和であるので、

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\oplus \bigoplus _{(\alpha ,\lambda )=0}{\mathfrak {g}}_{-\alpha }.}}$

H = P ∩ Gのリー代数はp ∩ 𝖌で与えられる。岩澤分解によりG _C = GANとなる。ANはC vを固定するので、V _λの複素射影空間におけるvのG軌道はG _C軌道 と一致し、

${\displaystyle \displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C} }/P.}}$

特に

${\displaystyle \displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C} }/B.}}$

Tのリー代数とその双対との同一視を用いると、H はGにおけるλの中心化に等しく、したがって連結である。群Pも連結である。実際、空間G / Hは単連結である。なぜなら、 Z が G の中心である連結部分群による、コンパクト半単純群 G / Z の（コンパクト）普遍被覆群の商として書くことができるからである。[ 19 ] P oがPの^{恒等成分で}あれ^ば、 G C / _Pは被覆空間としてG _C / P ^oを持つので、 P = P ^oとなる。同質空間G _C / Pは複素部分群なので、複素構造を持つ。チャウの定理により、複素射影空間の軌道はザリスキー位相で閉じているので、滑らかな射影多様体である。ボレル・ヴェイユの定理とその一般化については、Serre（1954）、Helgason（1994）、Duistermaat＆Kolk（2000）、およびSepanski（2007）でこの文脈で議論されています。

放物型部分群PはBの二重剰余類の和集合としても表される。

${\displaystyle \displaystyle {P=\bigcup _{\sigma \in W_{\lambda }}B\sigma B,}}$

ここで、W _λはワイル群Wにおけるλの安定化因子である。これはλに直交する単純根に対応する反射によって生成される。^{[ 20 ]}

非コンパクト実数形式

コンパクト連結リー群Gの複素化には、同じ複素化リー代数を持つ他の閉部分群が存在する。これらはG _Cの他の実数形である。^{[ 21 ]}

単連結コンパクトリー群の反転

Gが単連結コンパクトリー群で σ が位数 2 の自己同型ならば、不動点部分群K = G ^σは自動的に連結となる。（実際、これはGの任意の自己同型に対して成り立ち、スタインバーグによって内部自己同型に対して示され、一般にボレルによって示されている。）^{[ 22 ]}

これは、反転 σ がエルミート対称空間に対応するときに最も直接的に確認できます。その場合、 σ は内部であり、 G ^σの中心に含まれる1 パラメータ部分群 exp tTの元によって実装されます。 σ が内部であるということは、K がGの最大トーラスを含むため、最大ランクを持つことを意味します。 一方、exp tT の元からなるトーラスSによって生成される部分群の中心化は連結です。なぜなら、x がKの任意の元である場合、 xとSを含む最大トーラスが存在し、それが中心化に含まれるからです。 一方、SはKの中心であるため、 Kを含み、z はSに含まれるため、Kに含まれます。 したがって、KはSの中心化であり、したがって連結です。 特に、KはGの中心を含みます。^{[ 23 ]}

一般の反転σに対して、Gσ^の連結性は次のように表される。^{[ 24 ]}

出発点は結果のアーベル版です。つまり、T が単連結群Gの最大トーラスであり、σ がTを不変にして正の根（または同等のWeyl チェンバー）を選択する反転である場合、不動点部分群T ^σは連結です。実際、 からTへの指数写像の核は、単純根でインデックス付けされたZ基底を持つ格子 Λ であり、σ はこれを置換します。軌道に従って分割すると、T は、σ が自明に作用する項Tの積、または σ が因子を交換する項T ²として表すことができます。不動点部分群は、2 番目のケースで対角部分群を取ることにちょうど対応するため、連結です。 ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

ここで、x をσ で固定された任意の要素とし、S をC _G ( x ) ^σ内の最大トーラスとし、T をC _G ( x , S )の単位元成分とします。すると、TはxとSを含むG内の最大トーラスになります。これは σ の下で不変であり、 T ^σの単位元成分はSです。実際、xとS は可換であるため、これらは最大トーラスに含まれ、この最大トーラスは接続されているため、T内になければなりません。構成により、Tは σ の下で不変です。 T ^σの単位元成分はSを含み 、 C _G ( x ) ^{σ内にあり、} S を中心化するため、Sに等しくなります。しかし、SはTの中心であるため、T はアーベル的でなければならず、したがって最大トーラスです。 σ はリー代数上で −1 による乗算として作用するため、 も、したがって、 もアーベル的です。 ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

σ がTに関連したワイルチェンバーを保存することを示すことで証明は完了する。なぜなら、 T ^{σは連結であるため、} Sと等しくなければならないからである。したがって、x はSに含まれる。x は任意であるため、G ^{σ は}連結でなければならない。

σ の下でワイルチェンバー不変量を生成するには、xとS の両方が自明に作用するルート空間が存在しないことに注意してください。これは、 C _G ( x、S ) がTと同じリー代数を持つという事実と矛盾するためです。したがって、 t = xs が各ルート空間で非自明に作用するようなSの元s が存在する必要があります。この場合、tはTの正則元であり、Gにおけるその中心化子の恒等成分はTに等しくなります。には、 t がexp Aに含まれ、 0 がAの閉包に含まれるような唯一のワイルアルコーブAがあります。tは σ によって固定されているため、アルコーブは σ によって不変であり、したがってそれを含むワイルチェンバーCも不変です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

複雑化に関する活用

G を複素化G _Cを持つ単連結コンパクトリー群とする。写像c ( g ) = ( g *) ^{−1 は、} Gを不動点部分群とする実リー群としてのG _Cの自己同型を定義する。これは 上で共役線型であり、 c ² = id を満たす。G _Cまたは のこのような自己同型は共役と呼ばれる。G C も単連結であるため、_上の任意の共役c 1_はG _Cの唯一の自己同型c ₁に対応する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

共役群c ₀の分類はGの反転σの分類に帰着する。なぜなら c ₁が与えられたとき、複素群G _{Cの自己同型φが存在し、}

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}=\varphi \circ c_{1}\circ \varphi ^{-1}}}$

はcと可換である。すると共役c _0はGを不変にし、自転的自己同型 σ に制限する。単純な連結性により、リー代数のレベルでも同じことが成り立つ。リー代数のレベルでは、c _{0 は}σ から次の式で復元できる。

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma (X)-i\sigma (Y)}}$

X、Yの場合。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

φ の存在を証明するために、 ψ = c ₁ c を複素群G _Cの自己同型とする。リー代数レベルでは、複素内積に対する自己随伴作用素を定義する。

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y)),}}$

ここで、Bは のキリング形式である。したがって、ψ ²は正の作用素であり、その実数冪とともに自己同型である。特に、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi =(\psi ^{2})^{1/4}}}$

それは満足だ

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}c=\varphi c_{1}\varphi ^{-1}c=\varphi cc_{1}\varphi =(\psi ^{2})^{1/2}\psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}}$

実数形式でのカルタン分解

複素化G _Cについては、カルタン分解は上で述べたとおりである。これは複素一般線型群における極分解から導かれ、微分同相写像を与える。

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}}=G\cdot P=P\cdot G.}}$

G _C上には_、Gに対応する共役作用素cと、 cと可換な反転 σが存在する。c 0 = c σ とし、G _{0 を}cの不動点部分群とする。これは行列群G _Cにおいて閉じており、したがってリー群となる。反転 σ はGとG ₀の両方に作用する。G のリー代数に対しては、分解が存在する 。

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

σ の +1 および −1 固有空間に展開する。Gは単連結なので、 Gにおける σ の不動点部分群Kは連結である。そのリー代数は +1 固有空間である。G ₀のリー代数は次のように与えられる 。${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

σ の不動点部分群は再びKとなるので、G ∩ G ₀ = Kとなる。G ₀にはカルタン分解が存在する。

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=K\cdot \exp i{\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K}}$

これは再び直上への微分同相写像であり、行列の極分解に対応する。これはG _C上の分解の制限である。積はG ₀の閉部分集合への微分同相写像を与える。これが射影であることを確認するには、G ₀のgに対して、 uがGに、pがPにそれぞれ属するとして、 g = u ⋅ pと書く。c 0 g = g であるので、一意性はσ u = uかつ σ p = p ⁻¹を意味する。したがって、u はKに、p_はP ₀にそれぞれ属する。

G ₀のカルタン分解は、直接因子P ₀により、G ₀が連結かつ単連結で非コンパクトであることを示す。したがって、G ₀は非コンパクト実半単純リー群である。^{[ 25 ]}

さらに、における最大アーベル部分代数が与えられると、A = exp は A上でσ( a ) = a ⁻¹となるようなトーラル部分群であり、そのような 2 つはKの元と共役です。 Aの特性は直接示すことができます。 Aが閉じているのは、 Aの閉包がσ( a ) = a ⁻¹を満たすトーラル部分群であるため、そのリー代数は 内にあり、したがって最大性により に等しいからです。A は単一の元 exp Xで位相的に生成できるため、 におけるXの中心化子も同様です。の任意の元のK軌道には、(X,Ad k Y) がk = 1で最小化されるような元 Y が存在します。 k = exp tTとし、Tを に置くと、( X ,[ T , Y ]) = 0 となり、[ X , Y ] = 0 となるため、Y は内になければなりません。特に、Xの共役は他の任意の選択に存在し、その共役は中心化される。したがって、最大性により、唯一の可能性はの共役である 。^{[ 26 ]}${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

同様のことが、 Kの作用についても成り立つ。さらに、 G ₀のカルタン分解から、A ₀ = expとすれば、 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.}}$

実数形式での岩沢分解

参照

• 実在形態（嘘理論）

注記

1. 参照:
   • ホックシルト 1965
   • ブルバキ 1981、212–214頁
2. ブルバキ 1981、210–214ページ
3. ホックシルト 1966
4. 参照:
   • ホックシルト 1965
   • シュヴァレー 1946
   • ブローカー＆トム・ディーク 1985
5. 参照:
   • シュヴァレー 1946
   • ワイル 1946
6. ジェロベンコ 1973、28ページ
7. バンプ 2004、202～203ページ
8. 参照:
   • バンプ 2004
   • ジェロベンコ 1973
9. ジェロベンコ 1973
10. 参照:
    • Gelfand & Naimark 1950、セクション 18、SL( n , C )
    • Bruhat 1956、p. 187、SO( n , C )およびSp( n , C )
    • 単純コンパクトリー群の複素化に関するChevalley 1955
    • ハリシュ・チャンドラ法については、ヘルガソン 1978、pp. 403–406を参照。
    • 代数群を用いた処理についてはHumphreys 1981を参照
    • カーター 1972、第8章
    • デュドネ 1977、216–217 ページ
    • バンプ 2004、pp. 205–211
11. スタインバーグ 1974、73ページ
12. シュヴァレー 1955、41ページ
13. 参照:
    • スタインバーグ 1974、73-74ページ
    • ブルバキ 1981a、53–54ページ
14. セパンスキー 2007、8ページ
15. ナップ 2001、117ページ
16. 参照:
    • ジェロベンコ 1973、288–290 ページ
    • デュドネ 1977 年、197–207 ページ
    • ヘルガソン 1978、257–262ページ
    • バンプ 2004、pp. 197–204
17. バンプ 2004、203～204ページ
18. ジェロベンコ 1973、289ページ
19. ヘルガソン 1978
20. 参照:
    • ハンフリーズ 1981
    • ブルバキ 1981a
21. デュドネ 1977、164–173 ページ
22. 参照:
    • ヘルガソン 1978、320–321ページ
    • ブルバキ 1982、46–48ページ
    • Duistermaat & Kolk 2000、194–195 ページ
    • デュドネ 1977 年、p. 151、演習 11
23. ウルフ 2010
24. 参照: ブルバキ 1982、pp. 46–48
25. デュドネ 1977、166–168 ページ
26. ヘルガソン 1978、248ページ

参考文献

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