複合マトリックス
Matrix whose entries are all minors of another matrix

数学の一分野である線型代数において、（乗法）複合行列とは、その要素がすべて別の行列の指定されたサイズの小行列である行列である。 [1] [2] [3] [4]複合行列は外積代数と密接に関連しており、[5]その計算は、非線形時間変動動的システムの解析や、正値システム、協調システム、収縮システムの一般化など、幅広い問題に現れる。 [4] [6]

意味

A を実数または複素数の要素を持つm  ×  n行列とします。[ a] I が { 1, ..., m }の部分集合のサイズrで、J が{1, ..., n } の部分集合のサイズ s である場合、 Aの( I , J ) 部分行列 ( A I , J と表記)は、 AからIでインデックス付けされた行とJでインデックス付けされた列のみを保持して 形成された部分行列です。r = sの場合、det  A I , JはAの( I , J  )マイナーです。

Aのr番目の 複合行列はC r ( A )と表記され、以下のように定義されます。r > min( m , n )の場合、C r ( A )は唯一の0 × 0行列です。それ以外の場合、C r ( A ) のサイズは です。その行と列は、それぞれ{1, ..., m }と{1, ..., n }のr要素サブセットによって辞書式順序でインデックス付けされます。サブセットIとJに対応するエントリは、マイナーデット A I , Jです。     ( m r ) × ( n r ) {\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}

複合行列の応用によっては、行と列の正確な順序は重要ではありません。そのため、行と列の順序を指定しない著者もいます。[7]

例えば、次の行列を考えてみましょう。

A = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ) . {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix}}.}

行は{1, 2, 3}でインデックスされ、列は{1, 2, 3, 4}でインデックスされる。したがって、 C 2  ( A )の行は、集合

{ 1 , 2 } < { 1 , 3 } < { 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2\}<\{1,3\}<\{2,3\}}

列は次のようにインデックス付けされます

{ 1 , 2 } < { 1 , 3 } < { 1 , 4 } < { 2 , 3 } < { 2 , 4 } < { 3 , 4 } . {\displaystyle \{1,2\}<\{1,3\}<\{1,4\}<\{2,3\}<\{2,4\}<\{3,4\}.}

絶対値バーを使用して行列式を表すと、2番目の複合行列は次のようになります。

C 2 ( A ) = ( | 1 2 5 6 | | 1 3 5 7 | | 1 4 5 8 | | 2 3 6 7 | | 2 4 6 8 | | 3 4 7 8 | | 1 2 9 10 | | 1 3 9 11 | | 1 4 9 12 | | 2 3 10 11 | | 2 4 10 12 | | 3 4 11 12 | | 5 6 9 10 | | 5 7 9 11 | | 5 8 9 12 | | 6 7 10 11 | | 6 8 10 12 | | 7 8 11 12 | ) = ( − 4 − 8 − 12 − 4 − 8 − 4 − 8 − 16 − 24 − 8 − 16 − 8 − 4 − 8 − 12 − 4 − 8 − 4 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{2}(A)&={\begin{pmatrix}\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\5&6\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\5&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\5&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\6&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\6&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\7&8\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}5&6\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&7\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&8\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&7\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&8\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}7&8\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-4&-8&-12&-4&-8&-4\\-8&-16&-24&-8&-16&-8\\-4&-8&-12&-4&-8&-4\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

プロパティ

cをスカラー、Aをm  ×  n行列、Bをn  ×  p行列とする。kを正の整数とし、I kをk  ×  k 単位行列とする。行列Mの転置行列はM T、共役転置行列はM *と表記する。すると、次のようになる。[8]

  • C 0  ( A ) = I 1、 1×1の単位行列。
  • C 1 ( A ) = A。
  • C r  ( cA ) = c r C r  ( A )です。
  • rk A = rの場合、rk C r  ( A ) = 1 となります。
  • 1 ≤ r ≤ n の場合、。 C r ( I n ) = I ( n r ) {\displaystyle C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}}
  • 1 ≤ r ≤ min( m , n )の場合、C r  ( A T ) = C r  ( A ) Tとなります。
  • 1 ≤ r ≤ min( m , n )の場合、C r  ( A * ) = C r  ( A ) *となります。
  • C r  ( AB ) = C r  ( A )  C r  ( B )であり、これはコーシー・ビネの公式と密接に関係しています。

さらにAがnの大きさの正方行列であると仮定すると、次の式が成り立ちます。[9]

外部勢力との関係

R n に標準座標基底 e 1 , ..., e n を与える。R nのr 次外乗はベクトル空間である。

∧ r R n {\displaystyle \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}}

その基礎は形式的な記号から成り立っている

e i 1 ∧ ⋯ ∧ e i r , {\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{i_{r}},}

どこ

i 1 < ⋯ < i r . {\displaystyle i_{1}<\dots <i_{r}.}

Aがm  ×  n行列であるとする。Aは線形変換に対応する。

A : R n → R m . {\displaystyle A\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}.}

この線形変換のr 次の外積 をとると線形変換が決定される。

∧ r A : ∧ r R n → ∧ r R m . {\displaystyle \wedge ^{r}A\colon \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}\to \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{m}.}

この線型変換に対応する行列は（上記の外冪の基底に関して）C r  ( A )である。外冪を取ることは関数であり、これは[12]

∧ r ( A B ) = ( ∧ r A ) ( ∧ r B ) . {\displaystyle \wedge ^{r}(AB)=(\wedge ^{r}A)(\wedge ^{r}B).}

これは式C r  ( AB ) = C r  ( A ) C r  ( B )に対応する。これはコーシー・ビネの公式と密接に関連しており、その強化形である。

随伴行列との関係

Aをn  ×  n​​行列とする。そのr 次の高次共役行列 adj r  ( A )は、その( I , J  )成分が ( n r ) × ( n r ) {\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}

( − 1 ) σ ( I ) + σ ( J ) det A J c , I c , {\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}},}

ここで、任意の整数集合Kに対して、σ ( K )はKの要素の和である。Aの従属元はその第1高次の従属元であり、 adj( A )と表記される。一般化されたラプラス展開の公式は次式を意味する 。

C r ( A ) adj r ⁡ ( A ) = adj r ⁡ ( A ) C r ( A ) = ( det A ) I ( n r ) . {\displaystyle C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.}

Aが逆行列を持つ場合、

adj r ⁡ ( A − 1 ) = ( det A ) − 1 C r ( A ) . {\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A^{-1})=(\det A)^{-1}C_{r}(A).}

この具体的な結果は、逆行列の小行列式に対するヤコビの公式である。

det ( A − 1 ) J c , I c = ( − 1 ) σ ( I ) + σ ( J ) det A I , J det A . {\displaystyle \det(A^{-1})_{J^{c},I^{c}}=(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}{\frac {\det A_{I,J}}{\det A}}.}

助動詞は複合語で表現することもできる。Sを符号行列とすると、

S = diag ⁡ ( 1 , − 1 , 1 , − 1 , … , ( − 1 ) n − 1 ) , {\displaystyle S=\operatorname {diag} (1,-1,1,-1,\ldots ,(-1)^{n-1}),}

Jを交換行列とします。

J = ( 1 ⋯ 1 ) . {\displaystyle J={\begin{pmatrix}&&1\\&\cdots &\\1&&\end{pmatrix}}.}

ヤコビの定理によれば、r 次の高次随伴行列は次のようになる。[13] [14]

adj r ⁡ ( A ) = J C n − r ( S A S ) T J . {\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A)=JC_{n-r}(SAS)^{T}J.}

ヤコビの定理から直ちに次のことが分かる。

C r ( A ) J ( C n − r ( S A S ) ) T J = ( det A ) I ( n r ) . {\displaystyle C_{r}(A)\,J(C_{n-r}(SAS))^{T}J=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.}

助動詞と複合語は可換ではない。しかし、助動詞の複合語は複合語の助動詞を使って表すことができ、その逆もまた同様である。等式から

C r ( C s ( A ) ) C r ( adj s ⁡ ( A ) ) = ( det A ) r I , {\displaystyle C_{r}(C_{s}(A))C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A))=(\det A)^{r}I,}
C r ( C s ( A ) ) adj r ⁡ ( C s ( A ) ) = ( det C s ( A ) ) I , {\displaystyle C_{r}(C_{s}(A))\operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det C_{s}(A))I,}

シルベスター・フランケ定理から、我々は次のように推論する。

adj r ⁡ ( C s ( A ) ) = ( det A ) ( n − 1 s − 1 ) − r C r ( adj s ⁡ ( A ) ) . {\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{s-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A)).}

同じ技術が追加のアイデンティティを生み出し、

adj ⁡ ( C r ( A ) ) = ( det A ) ( n − 1 r − 1 ) − r C r ( adj ⁡ ( A ) ) . {\displaystyle \operatorname {adj} (C_{r}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{r-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} (A)).}

複合行列と随伴行列は、行列の線形結合の行列式を計算するときに現れます。AとBがn  ×  n行列で あるとき、次の式が成り立つことを確認するのは簡単です。

det ( s A + t B ) = C n ( [ s A I n ] ) C n ( [ I n t B ] ) . {\displaystyle \det(sA+tB)=C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}sA&I_{n}\end{bmatrix}}\right)C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}I_{n}\\tB\end{bmatrix}}\right).}

また、次のことも事実である。[15] [16]

det ( s A + t B ) = ∑ r = 0 n s r t n − r tr ⁡ ( adj r ⁡ ( A ) C r ( B ) ) . {\displaystyle \det(sA+tB)=\sum _{r=0}^{n}s^{r}t^{n-r}\operatorname {tr} (\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(B)).}

これはすぐに結果をもたらす

det ( I + A ) = ∑ r = 0 n tr ⁡ adj r ⁡ ( A ) = ∑ r = 0 n tr ⁡ C r ( A ) . {\displaystyle \det(I+A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} \operatorname {adj} _{r}(A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} C_{r}(A).}

数値計算

一般的に、複合行列の計算は複雑性が高いため非効率的です。しかしながら、特殊な構造を持つ実数行列には効率的なアルゴリズムがいくつか存在します。[17]

注記

  1. ^ 複合行列の定義、および理論の純粋に代数的な部分では、行列が可換環 の要素を持つことのみが要求される。この場合、行列は有限生成自由加群の準同型に対応する。

引用

  1. ^ DeAlba, Luz M. Determinants and Eigenvalues in Hogben, Leslie (ed) Handbook of Linear Algebra、第2版、CRC Press、2013年、 ISBN 978-1-4665-0729-6、4-4ページ
  2. ^ Gantmacher, FR,『行列理論』第1巻、Chelsea Publishing Company、1959年、 ISBN 978-0-8218-1376-820ページ
  3. ^ Horn, Roger A. および Johnson, Charles R., Matrix Analysis、第2版、Cambridge University Press、2013年、 ISBN 978-0-521-54823-6、21ページ
  4. ^ ab Muldowney, James S. (1990). 「複合行列と常微分方程式」. Rocky Mountain Journal of Mathematics . 20 (4): 857– 872. doi : 10.1216/rmjm/1181073047 . ISSN  0035-7596.
  5. ^ DL, Boutin; RF Gleeson; RM Williams (1996). ウェッジ理論／複合行列：特性と応用(PDF) (技術レポート). 海軍研究局. NAWCADPAX–96-220-TR. 2021年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
  6. ^ Bar-Shalom, Eyal; Dalin, Omri; Margaliot, Michael (2023-03-15). 「システムと制御理論における複合行列：チュートリアル」.制御、信号、システムの数学. 35 (3): 467– 521. arXiv : 2204.00676 . Bibcode :2023MCSS...35..467B. doi :10.1007/s00498-023-00351-8. ISSN  0932-4194. S2CID  247939832.
  7. ^ クン、ロタ、ヤン、p. 305.
  8. ^ ホーンとジョンソン、22ページ。
  9. ^ ホーンとジョンソン、22、93、147、233ページ。
  10. ^ トルンハイム, レナード (1952). 「シルベスター・フランケの定理」.アメリカ数学月刊誌. 59 (6): 389– 391. doi :10.2307/2306811. ISSN  0002-9890. JSTOR  2306811.
  11. ^ ハーレー・フランダース(1953)「シルベスター・フランケの定理に関する覚書」アメリカ数学月刊誌60: 543–5, MR  0057835
  12. ^ Joseph PS Kung、Gian-Carlo Rota、 Catherine H. Yan、 Combinatorics: The Rota Way、ケンブリッジ大学出版局、2009 年、p. 306.ISBN​ 9780521883894
  13. ^ Nambiar, KK; Sreevalsan, S. (2001). 「複合行列と3つの著名な定理」.数学およびコンピュータモデリング. 34 ( 3–4 ): 251– 255. doi : 10.1016/S0895-7177(01)00058-9 . ISSN  0895-7177.
  14. ^ Price, GB (1947). 「行列式理論におけるいくつかの恒等式」.アメリカ数学月刊誌. 54 (2): 75–90 . doi :10.2307/2304856. ISSN  0002-9890. JSTOR  2304856.
  15. ^ Prells, Uwe; Friswell, Michael I.; Garvey, Seamus D. (2003-02-08). 「幾何代数の活用：複合行列と2つの行列の和の行列式」 . Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 459 (2030): 273– 285. Bibcode :2003RSPSA.459..273P. doi :10.1098/rspa.2002.1040. ISSN  1364-5021. S2CID  73593788.
  16. ^ ホーンとジョンソン、29ページ
  17. ^ Kravvaritis, Christos; Mitrouli, Marilena (2009-02-01). 「複合行列：特性、数値的問題、そして解析的計算」(PDF) .数値アルゴリズム. 50 (2): 155. doi :10.1007/s11075-008-9222-7. ISSN  1017-1398. S2CID  16067358.

参考文献

  • Gantmacher, FR、Krein, MG著『振動行列とカーネル、機械システムの微小振動』改訂版、アメリカ数学会、2002年。ISBN 978-0-8218-3171-7
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