継続マップ

微分位相幾何学において、閉区間Iによってパラメータ化された滑らかな多様体X上のモース・スメール関数の族が与えられたとき、 X × I上のモース・スメールベクトル場を構成することができ、その臨界点は境界上にのみ生じる。モース微分は、族の境界におけるモース複体からの鎖写像、すなわち接続写像を定義する。これはモースホモロジー上の同型写像へと降下することが示され、滑らかな多様体のモースホモロジーに対する不変性が証明される。

連続写像は、アンドレアス・フローアーによって、上記のような状況の無限次元類似体におけるフローアーホモロジーの不変性を証明するために定義された。有限次元モース理論の場合、不変性は、モースホモロジーが不変であることが知られている特異ホモロジーと同型であることを証明することによって証明できる。しかし、フローアーホモロジーは必ずしもよく知られた不変量と同型であるとは限らないため、連続写像は不変性の演繹的証明を与える。

有限次元モース理論では、 X × I上のベクトル場を構成する際に異なる選択を行うと、異なるが連鎖的なホモトピック写像が得られ、ホモロジー上の同じ同型性が得られる。しかし、特定の無限次元の場合にはこれは成り立たず、これらの手法は、接触構造やルジャンドリアン結び目などの1パラメータのオブジェクト族の不変量を生成するために使用される場合がある。

参考文献

• モースホモロジー（有限次元理論における接続写像を含む）に関する講義ノート、マイケル・ハッチングス著
• フレデリック・ブルジョワによる接触構造空間の接触ホモロジーおよびホモトピー群
• タマス・カルマンによるレジェンドリアン結び目の接触ホモロジーおよび1パラメータ族
• マイケル・ハッチングス著『Floer homology of families I』