傾斜理論

抽象代数学のトピック

我々の関手には、固定ルートシステムの基底の変更と考えるのが好きな類似の変換を利用する応用があることが判明しました。つまり、根に対する軸の傾きによって、正の円錐内に存在する異なる根のサブセットが生成されます。...この理由と、「傾く」という単語が容易に変化することから、我々は関手を傾斜関手または単に傾斜と呼ぶことにします。

ブレナーとバトラー (1980、p. 103)

数学、特に表現論において、傾斜理論は、いわゆる傾斜加群とそれに伴う傾斜関手を用いて、2つの代数の加群圏を関連付ける方法を記述する。ここで、第2の代数は、第1の代数上の傾斜加群の自己準同型代数である。

傾斜理論は、ジョセフ・ベルンシュテイン、イスラエル・ゲルファンド、VAポノマレフ（1973年）による反射関手の導入を契機として発展した。これらの関手は、2つの箙の表現を関連付けるために用いられた。これらの関手は、モーリス・アウスランダー、マリア・イネス・プラッツエック、イドゥン・ライテン（1979年）によって再定式化され、シーラ・ブレンナーとマイケル・CR・バトラー（1980年）によって一般化され、彼らは傾斜関手を導入した。ディーター・ハッペルとクラウス・ミヒャエル・リンゲル（1982年）は、これをさらに一般化した傾斜代数と傾斜加群を定義した。

定義

Aが何らかの体上の有限次元単位結合代数であるとする。有限生成右A加群Tは、以下の3つの性質を持つとき、 傾斜加群と呼ばれる。

T の射影次元は最大 1です。言い換えると、射影モジュールを射影サブモジュールで割った商です。
内線^1A
( T , T ) = 0 です。
右A加群Aは、 Tの直和対象の有限直和間の射影写像の核である。

このような傾斜加群が与えられたとき、自己準同型代数 B = End _A ( T ) を定義する。これは別の有限次元代数であり、Tは有限生成左B加群である。傾斜関手Hom _A ( T ,−), Ext^1A
( T ,−)、−⊗ _B TおよびTor^B1
(−, T )は有限生成右A加群のカテゴリmod- Aを有限生成右B加群のカテゴリmod- Bに関連付けます。

実際には、遺伝的有限次元代数A は、そのような代数上の加群の圏がかなりよく理解されているため、しばしば考慮される。遺伝的有限次元代数上の傾斜加群の自己準同型代数は、傾斜代数と呼ばれる。

事実

Aが有限次元代数、TがA上の傾き加群、B = End _A ( T ) と仮定する。F = Hom _A ( T ,−)、F′ = Extと書く。^1A
( T ,−)、G = −⊗ _B T、G′ = Tor^B1
(−, T )。FはGの右随伴であり、F′はG′の右随伴である。

Brenner & Butler (1980) は、傾斜関数がmod- Aと mod- Bの特定のサブカテゴリ間に同値性を与えることを示した。具体的には、 A -modの2 つのサブカテゴリと、 B -mod の 2 つのサブカテゴリとを定義すると、はA -modにおける捩れ対であり（つまり、とは、特性を持つ最大サブカテゴリである。これは、A -modのすべてのM が、にUを、にVを含む自然な短完全列を許容することを意味する）、はB -modにおける捩れ対である。さらに、関数FおよびGの制約により、との間に逆同値性が生じ、 F′およびG′の制約により、との間に逆同値性が生じる。（これらの同値性は、捩れ対との順序を入れ替えることに注意。） ${\mathcal {F}}=\ker(F)$ ${\mathcal {T}}=\ker(F')$ ${\mathcal {X}}=\ker(G)$ ${\mathcal {Y}}=\ker(G')$ $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {F}}$ $\operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0$ $0\to U\to M\to V\to 0$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {F}}$ $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {Y}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {X}}$ $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$

傾斜理論は、 T が射影生成子である場合に回復される森田同値の一般化と見なすことができます。その場合、およびとなります。 ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ ${\mathcal {Y}}=\演算子名 {mod} -B$

A が有限グローバル次元を持つ場合、Bも有限グローバル次元を持ち、 FとF'の差はグロタンディーク群K ₀ ( A ) と K ₀ ( B )の間に等長変換を誘導します。

Aが遺伝的である場合（つまり、Bが傾斜代数である場合）、 Bのグローバル次元は最大で 2 であり、ねじれ対は分割されます。つまり、 B -modのすべての分解不可能なオブジェクトはまたはのいずれかになります。 $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ ${\mathcal {X}}$ ${\mathcal {Y}}$

Happel (1988) と Cline、Parshall & Scott (1986) は、一般にAとBは導出同値である (つまり、導出カテゴリD ^b ( A -mod) と D ^b ( B -mod) は三角形カテゴリとして同値である) ことを示した。

一般化と拡張

有限次元代数A上の一般化された傾斜加群は、次の 3 つの特性を持つ右A加群Tです。

Tは有限の射影次元を持ちます。
内線ⁱ
_Aすべてのi > 0に対して( T , T ) = 0 です。
T _{i が}Tの直和対象の有限直和となる正確なシーケンスが存在します。 $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$

これらの一般化された傾斜モジュールは、 AとBの間に導出された同値性も生成します。ここで、B = End _A ( T ) です。

Rickard (1989) は導来同値性に関する結果を拡張し、二つの有限次元環RとSが導来同値であることと、S が R 上の「傾き複体」の自己準同型環である場合が同値であることを証明した。傾き複体は、一般化された傾き加群の一般化である。この定理の別のバージョンは、任意の環RとSに対して成立する。

Happel, Reiten & Smalø (1996) は、遺伝アーベル圏において、すべての Hom 空間と Ext 空間が代数的に閉体 k上の有限次元となるような傾斜オブジェクトを定義した。これらの傾斜オブジェクトの自己準同型代数は、傾斜代数の一般化である擬傾斜代数である。k上の擬傾斜代数は、 k上の有限次元代数であり、大域次元が ≤ 2 であり、すべての分解不可能な加群が射影次元 ≤ 1 または入射次元≤ 1 のいずれかを持つような代数である。Happel (2001) は、上記の構成に現れる遺伝アーベル圏を分類した。

Colpi & Fuller (2007) は任意のアーベル圏Cにおいて傾斜対象Tを定義した。彼らの定義では、C がTの任意の（場合によっては無限個の）コピーの直和を含むことを要求しているため、これは上で考察した有限次元の状況を直接一般化するものではない。自己準同型環Rを持つこのような傾斜対象が与えられた場合、彼らはCの捩れ対とR -加群全体の圏であるR -Modの捩れ対との間の同値性を提供する傾斜関手を確立した。

クラスター代数の理論から、遺伝代数Aに関連付けられたクラスター圏（Buan et al. (2006) より）とクラスター傾斜代数（Buan, Marsh & Reiten (2007)）の定義が生まれました。クラスター傾斜代数は、傾斜代数から特定の半直積として生じ、 Aのクラスター圏は、Aから生じるクラスター傾斜代数のすべての加群圏を要約します。

参考文献

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