数学において、コクセターマトロイドは、コクセター群Wと放物型部分群Pの選択に依存するマトロイドの一般化である。通常のマトロイドは、 P が対称群Wの最大放物型部分群である場合に対応する。これらはGelfandとSerganova (1987, 1987b)によって導入され、 HSM Coxeterにちなんで命名された。
Borovik、Gelfand、White (2003) は、Coxeter マトロイドの詳細な説明をしています。
意味
Wがコクセター群であり、反転集合Sによって生成され、P が放物線部分群（ Sのある部分集合によって生成される部分群）であるとする。コクセターマトロイドとは、 W / Pの部分集合Mであって、 W内の任意のwに対して、M がw - Bruhat 順序に関して唯一の極小元を含むものである。
マトロイドとの関係
Coxeter 群Wが対称群 S nで、P が放物線部分群S k × S n – kであるとします。すると、W / P はn要素セット {1,2,..., n }のk要素サブセットと同一視でき、 Wの要素w はこのセットの線形順序に対応します。 Coxeter マトロイドはk要素セットで構成され、各wに対して、 k要素サブセットの対応する Bruhat 順序に一意の最小要素があります。 これは、 n要素セット上のランクkのマトロイドの基底による定義とまったく同じです。マトロイドは、セットの各線形順序に対して、 k要素サブセットの Gale 順序に一意の最小基底が存在するような、 n要素セットの基底と呼ばれるk要素サブセットとして定義できます。
参考文献
- Borovik, Alexandre V. ; Gelfand, IM ; White, Neil (2003), Coxeter matroids , Progress in Mathematics, vol. 216, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-1-4612-2066-4 , ISBN 978-0-8176-3764-4、MR 1989953
- ゲルファント, イミダミア州; Serganova、VV (1987)、「マトロイドとグリーイドイドの一般的な定義について」、Doklady Akademii Nauk SSSR (ロシア語)、292 (1): 15–20、ISSN 0002-3264、MR 0871945
- ゲルファント, イミダミア州; Serganova、VV (1987b)、「均質なコンパクト多様体上の組み合わせ幾何学とトーラスの層」、Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo。 Uspekhi Matematicheskikh Nauk、42 (2): 107–134、doi :10.1070/RM1987v042n02ABEH001308、ISSN 0042-1316、MR 0898623– ロシア語の英語訳 Mathematical Surveys 42 (1987), no. 2, 133–168
