マルチビュー正投影

製図やコンピュータグラフィックスにおいて、マルチビュー投影とは、標準化された一連の正投影の 2 次元画像を作成して 3 次元オブジェクトの形状を表す描画技法です。オブジェクトの最大 6 枚の画像 (プライマリビューと呼ばれる) が作成され、各投影面はオブジェクトの座標軸の 1 つに平行になります。ビューは、第一角投影または第三角投影のいずれかの方式に従って、互いの相対的な位置に配置されます。各方式では、ビューの外観は、オブジェクトの周囲に 6 辺のボックスを形成する平面に投影されていると考えることができます。6 つの異なる側面を描くこともできますが、通常、図面の 3 つのビューで 3 次元オブジェクトを作成するのに十分な情報が得られます。

これら 3 つのビューは、正面図(立面図とも呼ばれます)、上面図または平面図、および端面図(側面図または断面図とも呼ばれます) と呼ばれます。

描かれた物体の平面または軸が投影面と平行ではなく、物体の複数の側面が同じ画像内に見える場合、それは補助ビューと呼ばれます。

概要

このような各画像をレンダリングするには、オブジェクトに向かう視線(投影線、投影光線、または視線とも呼ばれる) が選択され、これによってオブジェクト上のさまざまな関心点 (たとえば、視線に沿ってオブジェクトを見たときに見える点) が決定されます。これらの関心点は、視線に垂直な幾何学的平面(投影平面または画像平面と呼ばれる) 上の点に正投影によってマッピングされ、それによって 3D オブジェクトの 2D 表現が作成されます。

通常、物体の座標系の3つの軸それぞれに対して2本の視線が選択されます。つまり、各軸に平行に、物体は2つの反対方向から見ることができ、物体の正投影図（または「ビュー」）は合計6つになります。^{[ 1 ]}

垂直軸 (多くの場合、y軸) に沿って:平面図とも呼ばれる上面図と底面図(建物の床など、水平面上の特徴の配置を示すため)。
水平軸 (多くの場合、Z軸) に沿って:正面図と背面図。立面図とも呼ばれます(建物などのオブジェクトの特徴の高さを示すため)。
直交軸 (多くの場合x軸) に沿って:同じ論理に従って、左側のビューと右側のビュー (立面図とも呼ばれます)。

これらの6つの投影面は互いに交差し、物体の周囲に箱を形成します。最も均一な構造は立方体です。伝統的に、これらの6つのビューは、まず3Dオブジェクトを立方体の2D面に投影し、次に立方体の面を「展開」してすべての面が同じ平面（つまり、紙やコンピュータモニターなど、すべての画像が一緒に表示される媒体の面）に収まるようにすることで、まとめて提示されます。しかし、箱の面が標準化された方法で展開されたとしても、特定の面によってどの投影が表示されているのかは曖昧です。立方体には視線に対して垂直な2つの面があり、関心のある点はどちらかの面に投影される可能性があります。この選択により、2つの主要な投影基準が生まれました。

第一角投影法：この投影法では、物体は第一象限にあると想定されます。観察者は通常、正面図を得るために象限の右側を見るため、物体は観察者と投影面の間に入り込むことになります。したがって、この場合、物体は透明であると想定され、投影機は物体の様々な点から投影面まで延長されていると想定されます。これらの交点が投影面上で順番に結ばれると、像が形成されます。したがって、第一角投影法では、どのビューも物体から離れた側を表すように配置されます。第一角投影法はヨーロッパの一部地域でよく使用されるため、しばしばヨーロッパ投影法と呼ばれます。
第三角投影：この投影法では、物体は第三象限にあると想定されます。観察者は通常、正面図を得るために象限の右側から見ることになるため、この投影法では投影面が観察者と物体の間に入り込みます。したがって、投影面は透明であると仮定されます。この投影面と物体上のすべての点からの投影点との交点が、透明面上に像を形成します。

主なビュー

多面投影図法は、物体の主要なビューを、それぞれ主要な座標軸の1つに平行な方向から見た図法で表します。これらの主要なビューは、平面図や立面図と呼ばれます。また、物体を横に切断したり、断面にして内部を露出させたかのように表示される場合もあります。これらのビューは、断面図と呼ばれます。

プラン

平面図とは、3次元の物体を垂直上方（場合によっては下方）から見た図です。物体を貫通、上方、または下方を通る水平面の位置で描かれることがあります。この図における図形の輪郭は、航空機の翼のように、平面図と呼ばれることもあります。

建物を上から見た平面図を「屋根伏図」といいます。壁を通り抜けて水平面で見た断面図で、その下の床が見えるものを「平面図」といいます。

標高

立面図とは、3次元の物体を、その物体の横にある垂直面から眺めた図です。言い換えれば、立面図は、正面、背面、左、または右から見た側面図です（それぞれ「正面立面図」、「[左/右]側面立面図」、「背面立面図」と呼ばれます）。

立面図は、3次元物体の外観構成と詳細を2次元で表現する一般的な手法です。建築図面や技術図面では、建物のファサードは立面図として示されます。

立面図は、建物の外観を伝えるための最も一般的な正投影法です。透視図法もこの目的でよく用いられます。建物の立面図は通常、建物が向いている方角、つまり人が建物を見る方向に基づいて表記されます。例えば、建物の北立面図は、方位磁針上で真北に最も近い面を指します。^{[ 2 ]}

内部の立面図は、木工細工やトリム構成などの詳細を表示するために使用されます。

建築業界において、立面図は構造物の透視図ではない図面です。これらは縮尺通りに描かれているため、必要なあらゆる側面の寸法を測定できます。図面セットには、正面、背面、両側面の立面図が含まれます。立面図は、棟の高さ、土地の最終的な傾斜の位置、外装仕上げ、屋根の勾配、その他の建築詳細など、建物の様々なファサードの構成を規定します。

開発された標高

展開図は通常の立面図のバリエーションであり、隣接する複数の非平行な辺が展開されたかのように一緒に表示されることがあります。例えば、北側と西側の図は、適切な正投影図ではありませんが、辺を共有しながら横並びで表示されることがあります。

セクション

断面、または横断面は、 3 次元のオブジェクトを、そのオブジェクトを通る平面の位置から見た図です。

断面図は、3次元物体の内部構造を2次元で表現する一般的な手法です。技術図面でよく使用され、伝統的にはクロスハッチングで表されます。クロスハッチングのスタイルは、断面が通過する材料の種類を示すことが多いです。

コンピュータ断層撮影では、コンピュータがX線データから断面を構築します。

断面が黄色で示されている飲料缶ストーブの3Dビュー
圧縮シール継手の2次元断面図
ポルシェ996の断面図
ジェットエンジンの断面
建築設計における断面図
人間の頭部の凍結切片

補助ビュー

補助図または絵画図は、6つの主要図以外の任意の平面に投影された正投影図です。^{[ 3 ]}これらの図は、通常、物体が斜面にある場合に使用されます。斜面と平行な平面に投影することで、表面の実際の大きさと形状が示されます。補助図は、等角投影法を用いて描かれることが多いです。

マルチビュー

記述幾何学における象限

現代の正投影法は、ガスパール・モンジュの記述幾何学に由来する。^{[ 4 ]}モンジュは、水平H（「地面」）と垂直V （「背景」）という2つの視野面からなる参照系を定義した。これらの2つの平面は交差して3次元空間を4つの象限に分割し、彼はそれを次のように名付けた。

I : Hの上、 Vの前
II : Hの上、Vの後ろ
III : Hの下、Vの後ろ
IV : Hの下、 Vの前

これらのラベルは、 HとVをそれぞれX軸とY軸として、無限遠「左」から見た2D 平面幾何学 ( ) で使用されるものと同じです。

次に、対象となる3Dオブジェクトを象限Iまたは象限III（つまり、2つの平面の交線の位置をずらす）に配置し、それぞれ第一角投影と第三角投影を取得します。象限IIと象限IVも数学的には有効ですが、これらを使用すると、一方のビューが「実際の」ビューになり、もう一方のビューは垂直中心線を基準に180°反転したビューになるため、技術図面を作成する際には混乱を招きます。（このようなビューが有用な場合、例えば天井を上から見た場合などには、真の正投影ビューの鏡像である反射ビューが使用されます。）

モンジュの当初の定式化では、平面は2つだけであり、上面図と正面図のみが得られます。側面図（左面または右面）を示すために3つ目の平面を追加したのは、近代的な拡張です。 「象限」という用語はやや時代錯誤的です。現代の正投影法では、3つの視点から図を描き、より正確には3次元空間の八分円に対応しています。

第一角投影

第一角投影では、物体は概念的に第1象限に配置されます。つまり、物体は視野平面の上方かつ前方に浮かび、視野平面は不透明で、各ビューは物体を透過して物体から最も遠い平面上に押し出されます。(記憶法:「舞台上の俳優」)。6 辺のボックスに拡張すると、物体の各ビューは物体の視線の方向 (感覚) に、ボックスの (不透明な) 内壁に投影されます。つまり、物体の各ビューはボックスの反対側に描画されます。次に、ボックスを「展開」してすべての内壁を表示することにより、物体の 2 次元表現が作成されます。これにより、2 つの平面図と 4 つの立面図が作成されます。これを視覚化するより簡単な方法は、物体を逆さまにしたボウルの上に置くことです。物体をボウルの右端から下にスライドさせると、右側面のビューが現れます。

箱の中にある物体の画像
同じ画像ですが、第一角投影法を使用して、視線の方向に物体の画像を壁に投影しています。
オブジェクトの周囲からボックスが展開される様子を示す同様の画像
第一角投影に従って互いの相対的に配置された正投影図を示す画像

第三角法

第三角投影法では、物体は概念的に第3象限に位置します。つまり、物体は視平面の下側と後ろに位置し、視平面は透明で、各ビューは最も近い平面に引き寄せられます。六角形の視箱を用いて、物体の各ビューは視覚の方向（感覚）とは反対の方向、つまり視箱の（透明な）外壁に投影されます。つまり、物体の各ビューは、視箱の対応する面に描かれます。その後、視箱を展開して、すべての外壁を観察することができます。

以下は、上と同じ物体の三角投影図です。それぞれの図は同じで、配置が異なります。

追加情報

第一角投影法は、物体が紙の上に置かれているかのように見え、正面から見ると、左側を見せるために右に巻くか、底部を見せるために上に巻く。ヨーロッパとアジア（日本を除く）では標準である。第一角投影法はイギリスで広く使用されていたが、第二次世界大戦中、ロールスロイスマーリンなど、米国で製造されるように送られたイギリスの図面は、パッカード V-1650 マーリンのように、生産される前に第三角投影法で描く必要があった。これは、いくつかのイギリスの会社が第三角投影法を完全に採用したことを意味する。 BS 308（パート1）エンジニアリング製図法では、両方の投影法を使用するオプションが示されていたが、一般に、すべての図（第一角と第三角の違いを説明するもの以外）は第一角で描かれた。 1999 年に BS 308 が廃止された後、BS 8888 は ISO 5456-2「技術図面 - 投影法 - パート 2: 正投影表現」を直接参照していたため、同じ選択肢を提供しました。

第三角法は、物体が箱のように展開されている様子を捉えます。箱を展開し、正面図が2本の腕の中央に位置するようにすると、上面図はその上に、下面図はその下に、左面図は左に、右面図は右に位置づけられます。これは、米国（ASME Y14.3-2003でデフォルトの投影法として規定）、日本（JIS B 0001:2010でデフォルトの投影法として規定）、カナダ、オーストラリア（AS1100.101で推奨投影法として規定）の標準です。

第一角投影と第三角投影はどちらも同じ 6 つのビューを生成しますが、それらの違いはボックスの周囲におけるこれらのビューの配置にあります。

シンボル

製図室や技術部門では、図面をある規格から別の規格へ移行する際に、多大な混乱が生じています。技術図面では、右図に示すように、第一角投影または第三角投影の円錐台を表す国際記号で投影図が示されます。

3D 解釈では、円錐台として描かれ、その小さい方の端が視聴者の方を向いています。したがって、正面図は 2 つの同心円です。内側の円が破線ではなく実線で描かれていることから、この図は背面図ではなく正面図であることが分かります。側面図は等脚台形です。

第一角投影では、正面図は後ろの壁に押し戻され、右側面図は左の壁に押し戻されるため、第一角記号は台形の最短辺が円から離れていることを示します。
第三角法では、正面図は正面の壁に向かって引き寄せられ、右側面図は右側の壁に引き寄せられるため、第三角法の記号は、台形の最短辺が円に向けられた状態で表示されます。

回転なしのマルチビュー

正射投影法は、記述幾何学の原理に基づいており、特定の仮想物体を空間の任意の方向から見た画像を作成できます。正射投影法は、画像化対象のすべての点から放射状に伸びる平行投影線が、投影面と直角に交差する点が特徴です。上記では、物体を目的の位置に回転させた後、画像を投影することで、さまざまなビューを取得する手法について説明しました。

記述幾何学では通常、物体が静止していると想定し、投影（視線）の方向を変更して目的のビューを取得することで、さまざまなビューを取得することに依存します。

図1を参照してください。上記の回転手法では、傾斜面を垂直に見る正投影図は作成できないことに注意してください。例えば、技術者が、表面に対して垂直に掘削する穴を透視するために、このような正投影図を作成したいとします。このような正投影図は、クリアランスの計算や寸法記入などに必要となる場合があります。このような正投影図を複数回回転させずに作成するには、記述幾何学の原理が必要です。以下の手順では、これらの原理を第三角法で使用する方法について説明します。

図1：技術者がイメージ化したい仮想物体の図解。
図2：物体は垂直な投影面の背後に想像されている。投影面の角については後述。
図 3 : プロジェクターは、投影面に対して垂直に、オブジェクトのすべてのポイントから平行に放射します。
図4：これにより画像が作成される。
図 5 : 最初の投影面に対して垂直な 2 番目の水平面投影が追加されます。
図 6 : プロジェクターは、第 2 の投影面に対して垂直なオブジェクトのすべての点から平行に放射します。
図7：これにより画像が作成される。
図 8 : 前の 2 つの平面に垂直な 3 番目の投影平面が追加されます。
図9 : プロジェクターは、第3の投影面に対して垂直なオブジェクトのすべての点から平行に放射します。

図10：これにより画像が作成されます。
図 11 : 4 番目の投影面は、選択した傾斜面と平行になり、必然的に最初の (正面) 投影面に対して垂直になります。
図 12 : プロジェクターは、傾斜面から垂直にオブジェクトのすべてのポイントから平行に放射され、必然的に 4 番目の (補助) 投影面に対して垂直になります。
図13：これにより画像が作成されます。
図14-16 : さまざまな投影面が前頭投影面と平面になるように展開されます。
図17：傾斜面の真の形状を示す補助図を含む正射投影多面図の最終的な外観

領土使用

第一角法は世界中のほとんどの国で使われています。^{[ 5 ]}

第三角法は、米国^{[ 6 ]}と日本（JIS B 0001：2010）^{[ 7 ]}で最も一般的に使用されており、オーストラリアでもAS 1100.101—1992 6.3.3に規定されているように推奨されています。^{[ 8 ]}

英国では、BS8888 9.7.2.1 で、ラベル付きビュー、第三角法、第一角法の 3 つの異なる規則を使用してビューを配置することが認められています。

参照

参考文献

^イングリッド・カールボム、ジョセフ・パシオレク（1978年）「平面幾何学投影と表示変換」、ACMコンピューティングサーベイ、10（4）：465–502、CiteSeerX 10.1.1.532.4774、doi：10.1145/356744.356750、S2CID 708008
^チン、フランク（1985年）『建築グラフィックス』（第2版）ニューヨーク：ヴァン・ノーストランド・ラインホールド。ISBN 978-0-442-21862-1。
^ Bertoline, Gary R.エンジニアのためのグラフィックスコミュニケーション入門（第4版）ニューヨーク、ニューヨーク、2009
^ 「幾何学モデル - 記述幾何学のためのジュリアンモデル」スミソニアン協会。 2019年12月11日閲覧。
^ “第三角投影” . 2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年12月10日閲覧。
^ Madsen, David A.; Madsen, David P. (2016年2月1日).エンジニアリング図面と設計. Cengage Learning. ISBN 9781305659728– Google ブックス経由。
^ 「第三角投影」武蔵野美術大学. 2016年12月7日閲覧。
^ 「AS 1100.101 1992 技術図面」の全文「 .archive.org .

BS 308（パート1）エンジニアリング製図の実践 BS 8888 技術製品文書および仕様 ISO 5456-2 技術図面 - 投影法 - パート2：正投影表現（円錐台記号を含む）

外部リンク

[1] イングリッド・カールボム、ジョセフ・パシオレク（1978年）「平面幾何学投影と表示変換」、ACMコンピューティングサーベイ、10（4）：465–502、CiteSeerX 10.1.1.532.4774、doi：10.1145/356744.356750、S2CID 708008

[2] チン、フランク（1985年）『建築グラフィックス』（第2版）ニューヨーク：ヴァン・ノーストランド・ラインホールド。ISBN 978-0-442-21862-1。

[3] Bertoline, Gary R.エンジニアのためのグラフィックスコミュニケーション入門（第4版）ニューヨーク、ニューヨーク、2009

[4] 「幾何学モデル - 記述幾何学のためのジュリアンモデル」スミソニアン協会。 2019年12月11日閲覧。

[5] “第三角投影” . 2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年12月10日閲覧。

[6] Madsen, David A.; Madsen, David P. (2016年2月1日).エンジニアリング図面と設計. Cengage Learning. ISBN 9781305659728– Google ブックス経由。

[7] 「第三角投影」武蔵野美術大学. 2016年12月7日閲覧。

[8] 「AS 1100.101 1992 技術図面」の全文「 .archive.org .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]