キュリーの法則

多くの常磁性材料では、十分に高い温度と小さい磁場の下では、材料の磁化は印加磁場に正比例します。しかし、材料が加熱されると、この比例関係は減少します。磁場の値が一定であれば、磁化率は温度に反比例します。つまり、

${\displaystyle M=\chi H,\quad \chi ={\frac {C}{T}},}$

どこ

${\displaystyle \chi >0}$ （体積）磁化率である。

${\displaystyle M}$ は結果として生じる磁化の大きさ（A / m）であり、

${\displaystyle H}$ は印加磁場の強さ（A/m）である。

${\displaystyle T}$ 絶対温度（K）

${\displaystyle C}$ 材料固有のキュリー定数（K）です。

ピエール・キュリーは、現在キュリーの法則として知られるこの関係を、実験データに当てはめることによって発見しました。この関係は高温・弱磁場の場合にのみ成立します。以下の導出が示すように、低温・強磁場の逆極限では磁化は飽和します。キュリー定数がゼロの場合、ランジュバン反磁性やファン・ヴレック常磁性といった他の磁気効果が支配的になります。

量子力学による導出

逆温度の関数としての常磁性体の磁化

常磁性体の単純なモデルは、互いに相互作用しない構成粒子に着目したものである。各粒子は磁気モーメントを持ち、その値は である。磁場における 磁気モーメントのエネルギーは、 で与えられる。${\displaystyle {\vec {\mu }}}$

${\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$

ここで、磁場密度はテスラ(T) 単位で測定されます。 ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$

2状態（スピン1/2）粒子

計算を簡略化するために、 2状態粒子を扱います。この粒子は磁気モーメントを磁場と同方向に向けるか、逆方向に向けるかのいずれかです。したがって、磁気モーメントの取り得る値は と の2つだけです。そうであれば、このような粒子は、磁場と同方向に向けられているときと、磁場と逆方向に向けられているときの2つのエネルギーしか持ちません。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu }$ ${\displaystyle -\mu B}$ ${\displaystyle +\mu B}$

磁気モーメントが磁場とどの程度一致するかは、分配関数から計算できる。単一粒子の場合、これは

${\displaystyle Z_{1}=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh(\mu B\beta ).}$

N個のこのような粒子の集合に対する分配関数は、それらが相互作用しない場合には、

${\displaystyle Z=Z_{1}^{N},}$

そして自由エネルギーは

${\displaystyle G=-{\frac {1}{\beta }}\log Z=-Nk_{\rm {B}}T\log Z_{1}.}$

磁化は印加磁場に対する自由エネルギーの負の微分であり、したがって単位体積あたりの磁化は

${\displaystyle M=n\mu \tanh {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}},}$

ここで、nは磁気モーメントの数密度である。 ^{[1] : 117}上記の式はランジュバン常磁性方程式として知られている。 ピエール・キュリーは、彼の実験で用いられた比較的高い温度と低い磁場に適用されるこの法則の近似値を発見した。温度が上昇し磁場が減少するにつれて、双曲正接の引数は減少する。キュリー領域では、

${\displaystyle {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}}\ll 1.}$

さらに、 ならば、 ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle \tanh x\approx x,}$

したがって磁化は小さく、 と書くことができ、したがって ${\displaystyle B\approx \mu _{0}H}$

${\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k_{\rm {B}}}}{\frac {H}{T}}.}$

この領域では、磁化率は

${\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}$

利回り

${\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},}$

キュリー定数は（ケルビン（K）単位）で与えられる。 ^[2]${\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k_{\rm {B}}}$

低温または高磁場領域では、は最大値 に近づきます。これは、すべての粒子が磁場と完全に一直線になっていることに対応します。この計算は、パウリの排他原理によってスピン反転が禁じられているフェルミ面の奥深くに埋め込まれた電子を記述していないため、低温における問題の量子統計を例示していません。フェルミ・ディラック分布を用いると、低温では が磁場に線形依存し、磁化率が一定値に飽和することが わかります。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\mu }$ ${\displaystyle M}$

一般的なケース

粒子が任意のスピン（任意の数のスピン状態）を持つ場合、式はもう少し複雑になります。低磁場または高温では、スピンはキュリーの法則に従います。^[3]

${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$

ここで、 は全角運動量量子数、 はg因子（磁気モーメントが となるもの）である。磁気モーメント を持つ2準位系の場合、この式は上記のように簡約される 。一方、ガウス単位系 における対応する表現は以下の通りである 。${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu =gJ\mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu _{0}\mu ^{2},}$$ $${\displaystyle C={\frac {\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$$ $${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu ^{2}.}$$

このより一般的な式とその導出（高磁場、低温を含む）については、ブリルアン関数の記事を参照してください。スピンが無限大に近づくにつれて、磁化の式は次のセクションで導出される古典的な値に近づきます。

古典統計力学による導出

常磁性体が古典的な、自由に回転する磁気モーメントであると仮定した場合、別の扱い方が適用されます。この場合、常磁性体の位置は球座標における角度によって決定され、常磁性体のエネルギーは次のようになります。

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

ここで、磁気モーメントと磁場（ 座標系で指しているものと仮定する）の間の角度である。対応する分配関数は ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

角度に依存しないことがわかり、また変数を次の ように変更することもできます。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle y=\cos \theta }$

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}$

ここで、磁化成分の期待値は（他の2つは（ の積分により）当然ゼロとなる）次のように与えられる。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

計算を簡単にするために、これは の微分として表すことができます。 ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}$

(このアプローチは上記のモデルにも使用できますが、計算が非常に単純なため、あまり役に立ちません。)

導出を実行すると、

${\displaystyle M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),}$

ランジュバン関数は次のようになります。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}$

この関数は が小さい場合特異関数のように見えるが、実際にはそうではない。なぜなら、2つの特異項が互いに打ち消し合うからである。実際、引数が小さい場合の挙動は となる ため、キュリー限界も適用されるが、この場合のキュリー定数は3分の1になる。同様に、引数が大きい場合、関数は で飽和し、逆極限も同様に回復される。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(x)\approx x/3}$ ${\displaystyle 1}$

歴史

ピエール・キュリーは1895年に、酸素の磁化率が温度に反比例することを観察しました。ポール・ランジュバンは10年後にこの関係の古典的な導出を発表しました。^[4]

参照

• キュリー・ワイスの法則

参考文献

1. カルダール、メラン(2007).粒子の統計物理学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC  860391091。
2. Coey, JMD; Coey, JMD (2010-03-25). 磁性と磁性材料. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-81614-4。
3. キッテル、チャールズ（2004年11月11日）固体物理学入門（第8版）Wiley、304頁。ISBN 0-471-41526-X。
4. Van Vleck, JH (1978-07-14). 「量子力学：磁性を理解するための鍵」. Science . 201 (4351): 113– 120. doi :10.1126/science.201.4351.113.

外部リンク

• メリアム・ウェブスターのキュリーの法則