セティ・スキバ点

セティ・スキバ点[ 1] [2] [3] [4]は、DNSS点とも呼ばれ、複数の最適解が存在する最適制御問題において発生します。セティ・スキバ点とは、最適制御問題における無差別点であり、この点を起点とすると、問題には複数の異なる最適解が存在することになります。この点に関する詳細な議論は、Grass et al. [2] [5] [6]に記載されています。

意味

ここで特に興味深いのは、自律的な割引無限時間最適制御問題である。[2]これらの問題は次のように定式化できる。

最大 あなた （ t ） ∈ Ω ∫ 0 ∞ e − ρ t φ （ × （ t ） 、 あなた （ t ） ） d t {\displaystyle \max_{u(t)\in\Omega}\int_{0}^{\infty}e^{-\rho t}\varphi\left(x(t),u(t)\right)dt}

st

× ˙ （ t ） ＝ f （ × （ t ） 、 あなた （ t ） ） 、 × （ 0 ） ＝ × 0 、 {\displaystyle {\dot {x}}(t)=f\left(x(t),u(t)\right),x(0)=x_{0},}

ここで、 は割引率、はそれぞれ時間 における状態変数と制御変数であり、関数と は引数 に関して連続的に微分可能であり、時間 に明示的に依存しないと仮定されます。は実行可能な制御の集合であり、時間 からも明示的に独立しています。さらに、積分は任意の許容解 に対して収束すると仮定されます。1 次元の状態変数 を伴うこのような問題では、初期状態は、その状態から出発するシステムが複数の最適解または均衡を示す場合、セティ・スキバ点と呼ばれます。したがって、少なくとも の近傍では、システムは に対して 1 つの均衡に移動し、 に対して別の均衡に移動します。この意味で、 はシステムが 2 つの均衡のどちらにも移動できる無差別点です。 ρ > 0 {\displaystyle \rho >0} × （ t ） {\displaystyle x(t)} あなた （ t ） {\displaystyle u(t)} t {\displaystyle t} φ {\displaystyle \varphi } f {\displaystyle f} t {\displaystyle t} Ω {\displaystyle \オメガ} t {\displaystyle t} （ × （ 。 ） 、 あなた （ 。 ） ） {\displaystyle \left(x(.),u(.)\right)} × {\displaystyle x} × 0 {\displaystyle x_{0}} × 0 {\displaystyle x_{0}} × > × 0 {\displaystyle x>x_{0}} × < × 0 {\displaystyle x<x_{0}} × 0 {\displaystyle x_{0}}

2次元最適制御問題については、Grassら[5]とZeilerら[7]がDNSS曲線を示す例を示している。

セティ・スキバポイントの応用に関する参考文献としては、Caulkins et al.、[8] Zeiler et al.、[9] Carboni and Russu [10]などがある。

歴史

スレシュ・P・セティは1977年に初めてこのような無差別点を特定した[11] 。さらに、スキバ[12] 、セティ[13]、[14]、[15]、そしてデッカートとニシムラ[16]は、経済モデルにおけるこれらの無差別点を研究した。グラスら[5]によって導入されたDNSS（デッカート、ニシムラ、セティ、スキバ）点という用語は、これらの著者の貢献を（アルファベット順に）表すものである。これらの無差別点は、以前の文献ではスキバ点またはDNS点とも呼ばれていた[5]。

例

この動作を示す単純な問題は および で与えられます。Grass et al. [5]では、最適経路が または のいずれかとなるため、はこの問題の Sethi-Skiba 点であることが示されています。 の場合、最適経路は であり、の場合、最適経路は であることに注意してください。 φ （ × 、 あなた ） ＝ × あなた 、 {\displaystyle \varphi \left(x,u\right)=xu,} f （ × 、 あなた ） ＝ − × + あなた 、 {\displaystyle f\left(x,u\right)=-x+u,} Ω ＝ [ − 1 、 1 ] {\displaystyle \Omega =\left[-1,1\right]} × 0 ＝ 0 {\displaystyle x_{0}=0} × （ t ） {\displaystyle x(t)} （ 1 − e − t ） {\displaystyle \left(1-e^{-t}\right)} （ − 1 + e − t ） {\displaystyle \left(-1+e^{-t}\right)} × 0 < 0 {\displaystyle x_{0} × （ t ） ＝ − 1 + e − t （ × 0 + 1 ） {\displaystyle x(t)=-1+e^{-t\left(x_{0}+1\right)}} × 0 > 0 {\displaystyle x_{0}>0} × （ t ） ＝ 1 + e − t （ × 0 − 1 ） {\displaystyle x(t)=1+e^{-t\left(x_{0}-1\right)}}

拡張機能

さらに詳しい内容については、Grass et al. [5]を参照してください。

参考文献

  1. ^ Caulkins, Jonathan P.; Grass, Dieter; Feichtinger, Gustav; Hartl, Richard F.; Kort, Peter M.; Prskawetz, Alexia ; Seidl, Andrea; Wrzaczek, Stefan (2021-03-01). 「COVID-19に対する最適なロックダウン強度」. Journal of Mathematical Economics . 疫病と新興感染症の経済学. 93 102489. doi :10.1016/j.jmateco.2021.102489. hdl : 10067/1777560151162165141 . ISSN  0304-4068. PMC 7857053.  PMID 33558783  .
  2. ^ abc Sethi, Suresh P. (2021).最適制御理論. doi :10.1007/978-3-319-98237-3. ISBN 978-3-319-98236-6。
  3. ^ コールキンス、ジョナサン・P.; グラス、ディーター; ファイヒティンガー、グスタフ; ハートル、リチャード・F.; コート、ピーター・M.;プルスカヴェッツ、アレクシア; ザイドル、アンドレア; ヴルザチェク、ステファン（2022年）、ボアド・ペナス、マリア・デル・カルメン; アイゼンバーグ、ジュリア; シャヒン、シュール（編）「COVID-19と最適なロックダウン戦略：新たな、より毒性の強い株の影響」パンデミック：保険と社会保障、シュプリンガー・アクチュアリー、Cham：シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング、pp.  163– 190、doi：10.1007/978-3-030-78334-1_9、hdl：10419/229887、ISBN 978-3-030-78334-1{{citation}}: CS1 maint: ISBNによる作業パラメータ（リンク）
  4. ^ Caulkins, Jonathan; Grass, Dieter; Feichtinger, Gustav; Hartl, Richard; Kort, Peter M.; Prskawetz, Alexia ; Seidl, Andrea; Wrzaczek, Stefan (2020-12-02). 「COVID-19のロックダウンはいつまで継続すべきか？」PLOS ONE . 15 (12) e0243413. Bibcode :2020PLoSO..1543413C. doi : 10.1371/journal.pone.0243413 . ISSN  1932-6203. PMC 7710360 . PMID  33264368. 
  5. ^ abcdef Grass, D.; Caulkins, JP; Feichtinger, G.; Tragler, G.; Behrens, DA (2008). 『非線形プロセスの最適制御：麻薬、汚職、テロへの応用』 Springer. ISBN 978-3-540-77646-8。
  6. ^ Caulkins, JP, Grass, D., Feichtinger, G., Hartl, RF, Kort, PM, Prskawetz, A. , Seidl, A., Wrzaczek, A. (2020). 「COVID-19によるロックダウンはいつ終了すべきか？」OR News, Ausgabe 69: 10-13
  7. ^ Zeiler, Irmgard; Caulkins, Jonathan P.; Grass, Dieter; Tragler, Gernot (2010). 「選択肢をオープンに保つ：DNSS点に正の時間で到達する軌道を持つ最適制御モデル」SIAM Journal on Control and Optimization . 48 (6): 3698– 3707. doi :10.1137/080719741.
  8. ^ Caulkins, JP; Feichtinger, G.; Grass, D.; Tragler, G. (2009). 「テロリズムと世界的な評判の最適制御：新たな閾値行動を用いたケーススタディ」.オペレーションズ・リサーチ・レターズ. 37 (6): 387– 391. doi :10.1016/j.orl.2009.07.003.
  9. ^ I. Zeiler、JP Caulkins、G. Tragler. 「二人が一つになるとき：相互作用する薬物の最適制御」ワーキングペーパー、ウィーン工科大学、オーストリア、ウィーン
  10. ^ Carboni, Oliviero A.; Russu, Paolo (2021-06-01). 「課税、汚職、そして処罰：進化ゲームを政府政策の最適制御に統合する」 .国際ゲーム理論レビュー. 23 (2): 2050019. doi :10.1142/S021919892050019X. ISSN  0219-1989.
  11. ^ Sethi, SP (1977). 「最適制御問題における最近傍実行可能経路：理論、例、反例」.最適化理論応用ジャーナル. 23 (4): 563– 579. doi :10.1007/BF00933297. S2CID  123705828.
  12. ^ Skiba, AK (1978). 「凸凹生産関数による最適成長」. Econometrica . 46 (3): 527– 539. doi :10.2307/1914229. JSTOR  1914229.
  13. ^ Sethi, SP (1977-12-01). 「最適制御問題における最近傍実行可能経路：理論、例、反例」. Journal of Optimization Theory and Applications . 23 (4): 563– 579. doi :10.1007/BF00933297. ISSN  1573-2878.
  14. ^ Sethi, SP (1979). 「伝染モデルを用いた最適広告政策」.最適化理論応用ジャーナル. 29 (4): 615– 627. doi :10.1007/BF00934454. S2CID  121398518.
  15. ^ Sethi, SP, 「疫病蔓延抑制のための最適検疫プログラム」『オペレーションズ・リサーチ・ソサイエティ誌』 29(3), 1978, 265-268. JSTOR 3009454 SSRN 3587573
  16. ^ Deckert, DW; Nishimura, K. (1983). 「非凹型生産関数を持つ集約モデルにおける最適成長経路の完全な特徴づけ」. Journal of Economic Theory . 31 (2): 332– 354. doi :10.1016/0022-0531(83)90081-9.
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