デルジャガン近似
有限サイズ物体間の力分布相互作用の表現
Derjaguin 近似は、2 つの球体間の力 (上) と 2 つのプレート間の相互作用エネルギー (下) を関連付けます。

デルジャガン近似（または近接近似とも呼ばれる）は、ロシアの科学者ボリス・デルジャガンにちなんで名付けられ、有限サイズの物体間に作用する力のプロファイルを、2つの平面半無限壁間の力のプロファイルで表す。[1]この近似は、2つの平面物体間の力の計算がはるかに容易なため、コロイド粒子間の力を推定するために広く用いられている。デルジャガン近似は、2つの物体間の力F ( h )を表面距離の関数として次のように表す。 [2]

F （ h ） ＝ 2 π R e f f W （ h ） 、 {\displaystyle F(h)=2\pi R_{\rm {eff}}W(h),}

ここで、W ( h ) は2つの平面壁間の単位面積あたりの相互作用エネルギー、R eff は有効半径である。2つの物体がそれぞれ半径R 1とR 2の球体である場合、有効半径は次のように与えられる。

R e f f − 1 ＝ R 1 − 1 + R 2 − 1 。 {\displaystyle R_{\rm {eff}}^{-1}=R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}.}

表面力装置（SFA）[3]またはコロイドプローブ法[4]で測定された巨視的物体間の実験的な力のプロファイルは、しばしば比F ( h )/ Reffとして報告される。

関係する数量と妥当性

2物体間の力F ( h )は相互作用自由エネルギーU ( h )と次のように 関係する。

F （ h ） ＝ − d あなた d h 、 {\displaystyle F(h)=-{dU \over dh},}

ここでhは表面間の距離である。逆に、力のプロファイルが分かっている場合、相互作用エネルギーは次のように評価できる。

あなた （ h ） ＝ ∫ h ∞ F （ h ′ ） d h ′ 。 {\displaystyle U(h)=\int _{h}^{\infty }F(h')\,dh'.}

二つの平面壁を考えるとき、対応する量は単位面積あたりで表されます。分離圧力は単位面積あたりの力であり、微分で表すことができます。

Π （ h ） ＝ − d W d h 、 {\displaystyle \Pi (h)=-{dW \over dh},}

ここでW ( h )は単位面積あたりの表面自由エネルギーである。逆に、

W （ h ） ＝ ∫ h ∞ Π （ h ′ ） d h ′ 。 {\displaystyle W(h)=\int _{h}^{\infty }\Pi (h')\,dh'.}

デルジャガン近似の主な制約は、関係する物体の大きさよりもはるかに小さい距離、すなわちh ≪ R 1およびh ≪ R 2でのみ有効であることです。さらに、これは連続体近似であるため、分子の長さスケールよりも大きな距離でも有効です。粗い表面が関係する場合でも、この近似は多くの状況で有効であることが示されています。[5]その有効範囲は、表面粗さの特徴的なサイズ（例えば、二乗平均平方根粗さ）よりも大きな距離に制限されます。

特殊なケース

デルジャガン近似でよく使われる幾何学的形状。2つの同一球、平面壁と球、そして2つの直交する円筒（左から右）。

よく考えられる幾何学的形状は、半径Rの2つの同一の球の相互作用を含み、有効半径は

R e f f ＝ R / 2. {\displaystyle R_{\rm {eff}}=R/2.}

半径Rの球と平面 との相互作用の場合、

R e f f ＝ R 。 {\displaystyle R_{\rm {eff}}=R.}

上記の2つの関係式は、前述のR effの式の特別なケースとして得られる。表面力測定装置で用いられる直交する円筒の場合、

R e f f ＝ R 1 R 2 、 {\displaystyle R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},}

ここで、R 1とR 2は、関係する 2 つの円筒の曲率半径です。

簡略化された導出

2 つの同一球面に対する Derjaguin 近似の導出に関する説明。

例として、半径Rの2つの同一の球面間に働く力F ( h )を考えてみましょう。図に示すように、2つの球面はそれぞれ幅dr、半径rの微小円板に分割されていると仮定します。この力は、2つの円板間の対応する膨張圧力の和で表されます。

F ＝ ∫ Π （ × ） d あ 、 {\displaystyle F=\int \Pi (x)\,dA,}

ここで、xは円板間の距離、dAは円板の面積である。この距離はx = h +2 yと表される。図中の灰色の三角形について ピタゴラスの定理を考慮すると、

R 2 ＝ （ R − y ） 2 + r 2 。 {\displaystyle R^{2}=(Ry)^{2}+r^{2}.}

この式を展開し、y ≪ Rであることに気づくと、円板の面積は次のように表せることがわかる。

d あ ＝ 2 π r d r ＝ 2 π R d y ＝ π R d × 。 {\displaystyle dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.}

この力は次のように表される。

F （ h ） ＝ π R ∫ h ∞ Π （ × ） d × ＝ π R W （ h ） 、 {\displaystyle F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x)\,dx=\pi RW(h),}

ここで、W ( h ) は上記で導入した単位面積あたりの表面自由エネルギーです。上記の式を導入する際に、積分の上限を無限大に置き換えましたが、h ≪ Rである限り、これはほぼ正しい値です。

一般的なケース

2つの凸体の一般的な場合、有効半径は次のように表される[6]。

1 R e f f 2 ＝ （ 1 R 1 ′ + 1 R 2 ′ ） （ 1 R 1 ″ + 1 R 2 ″ ） + （ 1 R 1 ′ − 1 R 1 ″ ） （ 1 R 2 ′ − 1 R 2 ″ ） 罪 2 ⁡ φ 、 {\displaystyle {\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}}+{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_{2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,}

ここで、R' iとR" iは、 i = 1 と 2の面の最接近距離における主曲率半径であり、φ は、より小さい曲率半径を持つ円が張る平面間の角度である。物体が最接近位置の周りで非球面である場合、 2つの物体の間にトルクが発生し、 [6]で与えられる。

T ＝ π R e f f 3 V （ h ） （ 1 R 1 ′ − 1 R 1 ″ ） （ 1 R 2 ′ − 1 R 2 ″ ） 罪 ⁡ 2 φ 、 {\displaystyle T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,}

どこ

V （ h ） ＝ ∫ h ∞ W （ h ′ ） d h ′ 。 {\displaystyle V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.}

2つの球に対する上記の式は、R' i = R" i = R iと設定することで復元されます。この場合、トルクはゼロになります。

2つの直交する円筒の式は、R' i = R iおよびR" i → ∞ から得られます。この場合、斥力の場合、トルクは円筒を垂直に向ける傾向があります。引力の場合、トルクは円筒を一直線に並べる傾向があります。

これらの一般的な公式は、楕円体間の相互作用力を近似的に評価するために使用されてきた。[7]

デルジャガン近似を超えて

デルジャガン近似は、その単純さと汎用性から他に類を見ない近似法です。この近似を改良するために、二物体間の力のより正確な表現を得るために、面要素積分法と面積分アプローチが提案されました。これらの手法では、接近する面の相対的な向きも考慮されます。[8] [9]

参照

参考文献

  1. ^ デルジャギン、BV (1934)。 「Untersuchungen über die Reibung und Adhäsion, IV. Theorie des Anhaftens kleiner Teilchen」 [摩擦と付着の分析、IV。小さな粒子の付着の理論]。コロイド Z. (ドイツ語)。69 (2): 155–164。土井:10.1007/BF01433225。S2CID  101526931。
  2. ^ Russel, WB; Saville, DA; Schowalter, WR (1989).コロイド分散液. Cambridge University Press. ISBN 978-0521426008。
  3. ^ J. Israelachvili,分子間力と表面力、Academic Press、ロンドン、1992年。
  4. ^ Ducker, WA; Senden, TJ; Pashley, RM (1991). 「原子間力顕微鏡を用いたコロイド力の直接測定」. Nature . 353 (6341): 239. Bibcode :1991Natur.353..239D. doi :10.1038/353239a0. S2CID  4311419.
    Butt, HJR (1991). 「原子間力顕微鏡を用いた電解質溶液中の静電力、ファンデルワールス力、および水和力の測定」. Biophysical Journal . 60 (6): 1438– 1444. Bibcode :1991BpJ....60.1438B. doi :10.1016/S0006-3495(91)82180-4. PMC 1260203.  PMID 19431815  .
  5. ^ Rentsch, S.; Pericet-Camara, R.; Papastavrou, G.; Borkovec, M. (2006). 「不均質コロイド粒子に対するDerjaguin近似の妥当性の検証」(PDF) . Physical Chemistry Chemical Physics . 8 (21): 2531– 2538. Bibcode :2006PCCP....8.2531R. doi :10.1039/B602145J. PMID  16721438.
  6. ^ ab White, LR (1983). 「マクロボディの相互作用におけるデリヤギン近似について」.コロイド・インターフェース・サイエンス誌. 95 (1): 286– 288. Bibcode :1983JCIS...95..286W. doi :10.1016/0021-9797(83)90103-0.
  7. ^ Adamczyk, Z.; Weroński, P. (1999). 「DLVO理論の粒子沈着問題への応用」.コロイドおよび界面科学の進歩. 83 ( 1–3 ): 137– 226. doi :10.1016/S0001-8686(99)00009-3.
  8. ^ Bhattacharjee, S.; Elimelech, M. (1997). 「表面要素積分：粒子と平板間のDLVO相互作用を評価するための新しい手法」. Journal of Colloid and Interface Science . 193 (2): 273– 285. Bibcode :1997JCIS..193..273B. doi :10.1006/jcis.1997.5076. PMID  9344528.
  9. ^ Dantchev, D.; Valchev, G. (2012). 「表面積分アプローチ：様々な形状の物体とプレート間の形状依存力を評価する新しい手法」. Journal of Colloid and Interface Science . 372 (1): 148– 163. Bibcode :2012JCIS..372..148D. doi :10.1016/j.jcis.2011.12.040. PMID  22261271.

さらに読む

  • Zypman, FR (2006). 「コロイド面–粒子相互作用力とエネルギーの厳密な表現と原子間力顕微鏡への応用」J. Phys.: Condens. Matter . 8 (10): 2795– 2803. Bibcode :2006JPCM...18.2795Z. doi :10.1088/0953-8984/18/10/005.
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