ディラック構造

数学において、ディラック構造はシンプレクティック構造とポアソン構造の両方を一般化した幾何学的構造であり、力学にも様々な応用がある。ポール・ディラックによって導入されたディラック括弧拘束の概念に基づいており、テッド・クーラントとアラン・ワインスタインによって初めて導入された。

線形ディラック構造

を実ベクトル空間とし、その双対をとする。上の（線型）ディラック構造は、を満たす の線型部分空間である。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V\times V^{*}}$

• 持っているものすべてに対して、${\displaystyle (v,\alpha )\in D}$ ${\displaystyle \left\langle \alpha ,\,v\right\rangle =0}$
• ${\displaystyle D}$ この特性に関しては最大である。

特に、が有限次元の場合、 のとき2番目の基準は満たされます。他の体上のベクトル空間についても同様の定義が可能です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim D=\dim V}$

よく使用される代替の（同等の）定義は、が を満たすというものです。ここで、直交性はによって与えられた 上の対称双線形形式に関してです。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=D^{\perp }}$ ${\displaystyle V\times V^{*}}$ ${\displaystyle {\bigl \langle }(v,\alpha ),\,(u,\beta ){\bigr \rangle }=\left\langle \alpha ,u\right\rangle +\left\langle \beta ,v\right\rangle }$

例

1. がベクトル部分空間である場合、 は上のディラック構造であり、は の消滅子、つまり となります。${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle D=U\times U^{\circ }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{\alpha \in V^{*}\mid \alpha _{\vert U}=0\right\}}$
2. を歪対称線形写像とすると、 のグラフはディラック構造になります。${\displaystyle \omega :V\to V^{*}}$ ${\displaystyle \omega }$
3. 同様に、が歪対称線形写像である場合、そのグラフはディラック構造です。${\displaystyle \Pi :V^{*}\to V}$

多様体上のディラック構造

滑らかな多様体上のディラック構造は 、各 に対して、における接空間上の（線型）ディラック構造の への割り当てである。つまり、 ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\in M}$

• 各 に対して、空間 のディラック部分空間。${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle D_{m}}$ ${\displaystyle T_{m}M\times T_{m}^{*}M}$

多くの著者、特に力学の応用ではなく幾何学の著者は、次のような追加の積分条件を満たすディラック構造を要求します。

• がディラックバンドル（）のセクションであるとすると、${\displaystyle (X_{i},\alpha _{i})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}\to M}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \left\langle L_{X_{1}}(\alpha _{2}),\,X_{3}\right\rangle +\left\langle L_{X_{2}}(\alpha _{3}),\,X_{1}\right\rangle +\left\langle L_{X_{3}}(\alpha _{1}),\,X_{2}\right\rangle =0.}$

力学の文献では、これは閉じた、あるいは積分可能なディラック構造と呼ばれます。

例

1. を多様体 上の定数階数の滑らかな分布とし、各 に対して、上のこれらの部分空間の和集合は上にディラック構造を形成します。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle D_{m}=\{(u,\alpha )\in T_{m}M\times T_{m}^{*}M\mid u\in \Delta (m),\,\alpha \in \Delta (m)^{\circ }\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$
2. を多様体 上のシンプレクティック形式とすると、そのグラフは（閉じた）ディラック構造となる。より一般に、これは任意の閉じた2次元形式に対して成り立つ。もし2次元形式が閉じていない場合、結果として得られるディラック構造も閉じていない。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$
3. を多様体上のポアソン構造とすると、そのグラフは（閉じた）ディラック構造になります。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle M}$
4. ポアソン多様体の任意の部分多様体はディラック構造を誘導する。^[1]

アプリケーション

ポート・ハミルトン系

非ホロノミック制約

熱力学

参考文献

1. Bursztyn, Henrique (2013), Cardona, Alexander; Reyes-Lega, Andrés F.; Contreras, Iván (eds.), "A brief introduction to Dirac manifolds", Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory: Proceedings of the 2009 Villa de Leyva Summer School , Cambridge: Cambridge University Press, pp.  4– 38, ISBN 978-1-107-02683-4

• Bursztyn, Henrique (2013), Cardona, Alexander; Reyes-Lega, Andrés F.; Contreras, Iván (eds.), "A brief introduction to Dirac manifolds", Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory: Proceedings of the 2009 Villa de Leyva Summer School , Cambridge: Cambridge University Press, pp.  4– 38, ISBN 978-1-107-02683-4
• Bursztyn, Henrique; Crainic, Marius (2005). 「ディラック構造、運動量写像、および準ポアソン多様体」. シンプレクティック幾何学とポアソン幾何学の広がり. 『数学の進歩』第232巻. Birkhauser-Verlag. pp.  1– 40.

• クーラント、セオドア(1990). 「ディラック多様体」.アメリカ数学会誌. 319 (2): 631– 661. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0998124-1 .

• セオドア・クーラント;アラン・ワインスタイン(1988)。 「ポアソン構造を超えて」。南ローダニアン幾何学セミナー VIII。トラヴォー・アン・クール。 Vol. 27. パリ：ヘルマン。

• ドルフマン、イレーヌ (1993).ディラック構造と非線形発展方程式の積分可能性. ワイリー.

• ゲイ＝バルマズ, フランソワ; 吉村 浩明 (2020). 「単純開放系の非平衡熱力学におけるディラック構造」. Journal of Mathematical Physics . 61 (9): 092701 (45 pp). arXiv : 1907.13211 . Bibcode :2020JMP....61i2701G. doi :10.1063/1.5120390. S2CID  199001204.

• ファン・デル・シャフト, アルジャン; マシュケ, ベルンハルト・M. (2002). 「境界エネルギーフローを伴う分布定数系のハミルトン定式化」(PDF) . Journal of Geometry and Physics . 42 ( 1– 2): 166– 194. Bibcode :2002JGP....42..166V. doi :10.1016/S0393-0440(01)00083-3.

• 吉村 弘明;マースデン, ジェロルド E. (2006). 「ラグランジュ力学におけるディラック構造．I. 暗黙的ラグランジュ系」. Journal of Geometry and Physics . 57 : 133– 156. doi :10.1016/j.geomphys.2006.02.009.

• 吉村 弘明;マースデン, ジェロルド E. (2006). 「ラグランジュ力学におけるディラック構造. II. 変分構造」. Journal of Geometry and Physics . 57 : 209– 250. CiteSeerX  10.1.1.570.4792 . doi :10.1016/j.geomphys.2006.02.012.