ディリクレ代数

数学において、ディリクレ代数は、コンパクト・ハウスドルフ空間Xに付随する特別な種類の代数である。これは、 X上の有界連続関数の成す一様代数C ( X )の閉部分代数であり、その実部はX上の有界連続実関数の成す代数において稠密である。この概念はアンドリュー・グリーソン(1957)によって導入された 。

例

を で連続な有理関数全体の集合とする。言い換えれば、に極を持たない関数である。すると、 ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}(X)+{\overline {{\mathcal {R}}(X)}}}$

は の*-部分代数であり、 の* -部分代数である。が に稠密である場合、 はディリクレ代数であるという。 ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$

作用素がスペクトル集合としてを持ち、ディリクレ代数であるとき、 は正規境界拡大を持つことが示される。これはSz.-Nagy の拡大定理を一般化したものであり、この定理は次のように表すことができる 。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle X=\mathbb {D} .}$

参考文献

• Gleason, Andrew M. (1957), "Function algebras", Morse, Marston; Beurling, Arne; Selberg, Atle (eds.), Seminars on analytic functions: seminar III : Riemann faces; seminar IV : theory of automorphic functions; seminar V : analytic functions as related to Banach algebras , vol. 2, Institute for Advanced Study, Princeton, pp.  213– 226, Zbl  0095.10103
• Nakazi, T. (2001) [1994]、「ディリクレ代数」、数学百科事典、EMS Press
• 完全有界写像と作用素代数ヴァーン・ポールセン、2002年ISBN 0-521-81669-6
• ワーマー、ジョン（2009年11月）、ボルカー、イーサン・D.（編）、「グリーソンのバナッハ代数に関する研究」（PDF）、アンドリュー・M・グリーソン 1921–2008、アメリカ数学会報、56（10）：1248–1251。