ディリクレ境界条件

数学において、ディリクレ 境界条件は常微分方程式または偏微分方程式に課され、解が領域の境界に沿って取る値は固定されます。このような方程式の解を求める問題は、ディリクレ問題として知られています。科学および工学において、ディリクレ境界条件は固定境界条件または第一種境界条件とも呼ばれます。この名前は、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレ（1805–1859）にちなんで付けられました。^[1]

有限要素解析では、必須境界条件またはディリクレ境界条件は、微分方程式の重み付き積分形式によって定義されます。^[2]境界式に現れる重み関数wと同じ形式の従属未知数uは主変数と呼ばれ、その指定が必須境界条件またはディリクレ境界条件を構成します。

例

常微分方程式

たとえば、常微分方程式の場合、区間[ a , b ]上のディリクレ境界条件は、 αとβに与えられた数値 という形式になります 。 $${\displaystyle y''+y=0,}$$ $${\displaystyle y(a)=\alpha ,\quad y(b)=\beta ,}$$

偏微分方程式

たとえば、偏微分方程式（ここで はラプラス演算子を表す）の場合、領域Ω ⊂ R ⁿ上のディリクレ境界条件は （ fは境界∂Ω上で定義された既知の関数） という形式になります 。 $${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega ,}$$

アプリケーション

たとえば、次のものはディリクレ境界条件と考えられます。

• 機械工学および土木工学（梁理論）において、梁の一端が空間内の固定位置に保持されます。
• 熱伝達において、表面は一定の温度に保たれます。
• 静電気学では、回路のノードが一定の電圧に保持されます。
• 流体力学では、粘性流体の無滑り条件は、固体境界では流体の速度が境界に対してゼロになることを定義します。

その他の境界条件

他にも多くの境界条件が考えられますが、その中にはコーシー境界条件や混合境界条件が含まれます。後者はディリクレ条件とノイマン条件を組み合わせたものです。

参照

• ノイマン境界条件
• ロビン境界条件
• 流体力学における境界条件

参考文献

1. Cheng, A.; Cheng, DT (2005). 「境界要素法の伝統と初期の歴史」.境界要素法による工学解析. 29 (3): 268– 302. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
2. Reddy, JN (2009). 「1次元における2次微分方程式：有限要素モデル」有限要素法入門（第3版）ボストン：McGraw-Hill. p. 110. ISBN 978-0-07-126761-8。