ディリクレ形式

ポテンシャル理論（調和関数の研究）と関数解析において、ディリクレ形式はラプラス演算子（スカラー場上の数学演算子）を一般化します。ディリクレ形式は、偏微分を考慮せずに、任意の測度空間上で定義できます。これにより、数学者は、例えばフラクタルのような多様体ではない空間上で、ラプラス方程式や熱方程式を研究することができます。これらの空間での利点は、勾配演算子を必要とせずにこれを行うことができ、特に、ディリクレ形式から始めることで、このように「ラプラス演算子」を弱く定義することさえ可能であることです。

意味

を扱う場合、「古典的な」ディリクレ形式は次のように与えられます。 ここで、関数 の「エネルギー」と呼ばれることが多いについては、ディリクレ エネルギーを参照してください。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} E （ あなた 、 v ） ＝ ∫ R n ∇ あなた （ × ） ⋅ ∇ v （ × ） d × {\displaystyle {\mathcal {E}}(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\;dx} E （ あなた ） := E （ あなた 、 あなた ） ＝ ‖ ∇ あなた ‖ 2 2 {\displaystyle {\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}} あなた （ × ） {\displaystyle u(x)}

より一般的には、ディリクレ形式はL 2 -空間上のマルコフ 閉 対称形式である。[1]特に、測度空間上のディリクレ形式は 、 （ X 、 あ 、 μ ） {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} E : D × D → R {\displaystyle {\mathcal {E}}:D\times D\to \mathbb {R} }

  1. D {\displaystyle D} は の稠密な部分集合です。 L 2 （ μ ） {\displaystyle L^{2}(\mu )}
  2. E {\displaystyle {\mathcal {E}}} は対称的であり、任意の に対してとなります。 E （ あなた 、 v ） ＝ E （ v 、 あなた ） {\displaystyle {\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)} あなた 、 v ∈ D {\displaystyle u,v\in D}
  3. E （ あなた 、 あなた ） ≥ 0 {\displaystyle {\mathcal {E}}(u,u)\geq 0} すべての について。 あなた ∈ D {\displaystyle u\in D}
  4. によって定義される内積を備えた集合は実ヒルベルト空間である。 D {\displaystyle D} （ あなた 、 v ） E := （ あなた 、 v ） L 2 （ μ ） + E （ あなた 、 v ） {\displaystyle (u,v)_{\mathcal {E}}:=(u,v)_{L^{2}(\mu )}+{\mathcal {E}}(u,v)}
  5. それぞれに対して、およびが存在します。 あなた ∈ D {\displaystyle u\in D} あなた ∗ ＝ 分 （ 最大 （ あなた 、 0 ） 、 1 ） ∈ D {\displaystyle u_{*}=\min(\max(u,0),1)\in D} E （ あなた ∗ 、 あなた ∗ ） ≤ E （ あなた 、 あなた ） {\displaystyle {\mathcal {E}}(u_{*},u_{*})\leq {\mathcal {E}}(u,u)}

言い換えれば、ディリクレ形式は、4) と 5) が成り立つような の稠密部分集合上で定義された非負対称双線形形式に他なりません。 L 2 （ X 、 μ ） {\displaystyle L^{2}(X,\mu )}

あるいは、二次形式自体はディリクレ形式として知られており、 と表記されるので、 となります。 あなた ↦ E （ あなた 、 あなた ） {\displaystyle u\mapsto {\mathcal {E}}(u,u)} E {\displaystyle {\mathcal {E}}} E （ あなた ） := E （ あなた 、 あなた ） {\displaystyle {\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)}

調和関数

特定の境界条件を与えられた場合にエネルギーを最小化する関数は調和関数と呼ばれ、関連するラプラシアン (弱または強) は予想どおり内部でゼロになります。

例えば、次のよう に定義される標準ディリクレ形式があるとする。 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} あなた ∈ H 1 （ R n ） {\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})} E （ あなた ） ＝ ∫ R n | ∇ あなた | 2 d × {\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\;dx}

すると、標準的な意味での調和関数、つまり となる関数は、部分積分でわかるように となる。 Δ あなた ＝ 0 {\displaystyle \Delta u=0} E （ あなた ） ＝ 0 {\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=0}

別の例として、標準的なグラフのディリクレ形式は次のように表されます。 ここで、は辺で接続されていることを意味します。頂点集合のサブセットを選択し、それをグラフの境界と呼びます。ディリクレ境界条件を割り当てます（境界の各頂点に実数を選択します）。グラフのエネルギーを最小化する関数を見つけることができ、それは調和関数になります。特に、グラフラプラシアンによって具体化される平均化特性を満たします。つまり、がグラフ調和関数である場合、これは平均化特性と等価です。 E G （ あなた 、 v ） ＝ ∑ × 〜 y （ （ あなた （ × ） − あなた （ y ） ） （ v （ × ） − v （ y ） ） {\displaystyle {\mathcal {E}}_{G}(u,v)=\sum _{x\sim y}((u(x)-u(y))(v(x)-v(y))} × 〜 y {\displaystyle x\sim y} あなた G （ × ） {\displaystyle u_{G}(x)} Δ G あなた G （ × ） ＝ ∑ y 〜 × （ あなた G （ y ） − あなた G （ × ） ） ＝ 0 {\displaystyle \Delta _{G}u_{G}(x)=\sum _{y\sim x}(u_{G}(y)-u_{G}(x))=0} あなた G （ × ） ＝ 1 | { y : y 〜 × } | ∑ y 〜 × あなた G （ y ） 。 {\displaystyle u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y).}

技術的には、このような対象は、古典的なディリクレの原理に基づく抽象ポテンシャル理論で研究されます。ディリクレ形式の理論は、ディリクレ空間に関するベーリングとデニー（1958、1959）の研究に端を発しています。

積分カーネル

ディリクレ形式の別の例は、 で与えられます。 ここで、 は非負対称積分核です。 E （ あなた ） ＝ ∬ R n × R n （ あなた （ y ） − あなた （ × ） ） 2 け （ × 、 y ） d × d y {\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}(u(y)-u(x))^{2}k(x,y)\,dx\,dy} け : R n × R n → R {\displaystyle k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }

核が境界 を満たす場合、二次形式は で有界となる。さらに の場合、形式は の2乗ノルムと同等であり、その場合、上で定義された集合はで与えられる。したがって、ディリクレ形式は、が正対称行列 であるディリクレ積分の自然な一般化である。ディリクレ形式のオイラー・ラグランジュ方程式は、発散形式における楕円方程式の非局所的類似である。この種の方程式は変分法を用いて研究されており、同様の性質を満たすことが期待される。[2] [3] [4] け {\displaystyle k} け （ × 、 y ） ≤ Λ | × − y | − n − s {\displaystyle k(x,y)\leq \Lambda |xy|^{-ns}} H ˙ s / 2 {\displaystyle {\dot {H}}^{s/2}} λ | × − y | − n − s ≤ け （ × 、 y ） {\displaystyle \lambda |xy|^{-ns}\leq k(x,y)} H ˙ s / 2 {\displaystyle {\dot {H}}^{s/2}} D ⊂ L 2 （ R n ） {\displaystyle D\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} H s / 2 （ R n ） {\displaystyle H^{s/2}(\mathbb {R}^{n})} E （ あなた ） ＝ ∫ （ あ ∇ あなた 、 ∇ あなた ） d × 、 {\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\int (A\nabla u,\nabla u)\;dx,} A ( x ) {\displaystyle A(x)}

参考文献

  1. ^ 福島正則・大島雄三・武田正之 (1994).ディリクレ形式と対称マルコフ過程. Walter de Gruyter & Co., ISBN 3-11-011626-X
  2. ^ バーロウ、マーティン・T.; バス、リチャード・F.; チェン、ジェン・チン; カスマン、モーリッツ (2009)、「非局所ディリクレ形式と対称ジャンプ過程」、アメリカ数学会誌、361 (4): 1963– 1999、arXiv : math/0609842、doi :10.1090/S0002-9947-08-04544-3、ISSN  0002-9947、S2CID  14411096
  3. ^ Kassmann, Moritz (2009)、「測定可能なカーネルを持つ積分微分演算子の事前推定」、変分法と偏微分方程式、34 (1): 1– 21、doi :10.1007/s00526-008-0173-6、ISSN  0944-2669、S2CID  122914875
  4. ^ Caffarelli, Luis; Chan, Chi Hin; Vasseur, Alexis (2011)、「放物型非線形積分演算子の正則性理論」、アメリカ数学会誌、24 (3): 849– 869、doi : 10.1090/S0894-0347-2011-00698-X、ISSN  0894-0347
  • ベーリング、アルネ。 Deny, J. (1958)、「Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire」、Acta Mathematica、99 (1): 203–224、doi : 10.1007/BF02392426、ISSN  0001-5962、MR  0098924
  • Beurling, Arne; Deny, J. (1959)、「ディリクレ空間」、米国科学アカデミー紀要、45 (2): 208– 215、Bibcode :1959PNAS...45..208B、doi : 10.1073/pnas.45.2.208、ISSN  0027-8424、JSTOR  90170、MR  0106365、PMC  222537、PMID  16590372
  • 福島正敏 (1980)、「ディリクレ形式とマルコフ過程」、北ホランド数学図書館、第23巻、アムステルダム：北ホランド、ISBN 978-0-444-85421-6、MR  0569058
  • ヨスト、ユルゲン; ケンドール、ウィルフリッド; モスコ、ウンベルト; ロックナー、ミヒャエル;シュトゥルム、カール・テオドール(1998) 「ディリクレ形式の新しい方向」 、AMS/IP 先端数学研究、第8巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、p. xiv+277、ISBN 978-0-8218-1061-3、MR  1652277。
  • 「抽象ポテンシャル理論」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
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