ドゥアディウサギ

ドゥアディラビットは、関数 のジュリア集合から派生したフラクタルです。このとき、パラメータは、複素二次写像のマンデルブロ集合の3 つの周期球のうちの 1 つの中心に近い値をとります。 ${\textstyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

フランスの 数学者 アドリアン・ドゥアディにちなんで名付けられました。

Douadyウサギの例。色は脱出に必要な反復回数を示しています。

背景

ドゥアディ・ラビットは、複素平面上のマンデルブロ集合写像を 反復処理することによって生成されます。ここで、パラメータ は、主カーディオイドから2周期3球のいずれかに位置するように固定され、平面上を移動します。結果の画像は、各ピクセルを初期値に対応させ、の値が境界領域から外れるまでに必要な反復回数を計算することで色付けできます。境界領域から外れると、 は無限大に向かって発散します。 ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{n}}$

これは複素二次写像のロジスティック写像形式を用いて記述することもできる。具体的には

${\displaystyle z_{n+1}={\mathcal {M}}z_{n}:=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right).}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}^{2}+c}$ 。

使用される特定の反復法に関わらず、（または）の特定の値に関連付けられた充填ジュリア集合は、反復法が有界となるすべての開始点（または）から構成されます。そして、マンデルブロ集合は、関連付けられた充填ジュリア集合が連結される（または）の値から構成されます。マンデルブロ集合は、または のいずれかに関して見ることができます。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$

が置換 に対して不変であることに注目すると、マンデルブロ集合 は に関して追加の水平対称性を持ちます。と は互いにアフィン変換、より具体的には拡大縮小、回転、および平行移動のみからなる相似変換であるため、上記の反復のどちらの形式でも 、充填されたジュリア集合は相似に見えます。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma \to 2-\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

詳細な説明

指数関数的家族のドゥアディウサギ

ウサギのジュリア集合の積層

ウサギの体内のダイナミクスの表現

上のグラフに示すように、マンデルブロ集合 を用いて に関するドゥアディ ラビットを記述することもできます。この図では、マンデルブロ集合は表面的には、右側の円板の1 時と 5 時の方向にある芽や、左側の円板の 7 時と 11 時の方向にある芽 のような、芽または蕾をもつ 2 つの背中合わせの単位円板として表示されます。がこれらの 4 つの芽のいずれかの内側にある場合、マッピング平面内の関連付けられた充填ジュリア集合はドゥアディ ラビットであると言われています。 のこれらの値に対して、 には ともう 1 つの点が不安定な（反発する）固定点として、またが吸引する固定点として存在することがわかります。さらに、この写像には 3 つの吸引する固定点があります。ドゥアディ ラビットは、3 つの吸引する固定点、、および とそれらの吸引域 で構成されます。${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$

例えば、図4は、右円板の5時の方向の芽の点 のときの、平面上のドゥアディ・ラビットを示しています。 のこの値に対して、写像は反発する固定点とを持ちます。 の3つの吸引する固定点（周期3の固定点とも呼ばれる）は、以下の位置にあります 。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{D}=2.55268-0.959456i}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=.656747-.129015i}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.499997032420304-(1.221880225696050\times 10^{-6})i{\;}{\;}{\mathrm {(red)} },\\z_{2}&=0.638169999974373-(0.239864000011495)i{\;}{\;}{\mathrm {(green)} },\\z_{3}&=0.799901291393262-(0.107547238170383)i{\;}{\;}{\mathrm {(yellow)} }.\end{aligned}}}$

赤、緑、黄色の点はそれぞれ 、 、 の盆地内にあります。白い点はの盆地内にあります。 ${\displaystyle B(z_{1})}$ ${\displaystyle B(z_{2})}$ ${\displaystyle B(z_{3})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$ ${\displaystyle B(\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

これらの固定点に対するの作用は、関係、、およびによって与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{1}=z_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{2}=z_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{3}=z_{1}}$

これらの関係に対応する結果は以下の通りである。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}B(z_{1})&=B(z_{2}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {red} }\subseteq {\mathrm {green} },\\{\mathcal {M}}B(z_{2})&=B(z_{3}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {green} }\subseteq {\mathrm {yellow} },\\{\mathcal {M}}B(z_{3})&=B(z_{1}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {yellow} }\subseteq {\mathrm {red} }.\end{aligned}}}$

図4: Douadyウサギまたは${\displaystyle \gamma =2.55268-0.959456i}$ ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$

2つ目の例として、図5は、左円板上の11時の芽の中の点（この変換に対して不変）のときのドゥアディ・ラビットを示しています。このラビットは平面上でより対称的です。周期3の不動点は、 ${\displaystyle \gamma =2-\gamma _{D}=-.55268+.959456i}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.500003730675024+(6.968273875812428\times 10^{-6})i{\;}{\;}({\mathrm {red} }),\\z_{2}&=-0.138169999969259+(0.239864000061970)i{\;}{\;}({\mathrm {green} }),\\z_{3}&=-0.238618870661709-(0.264884797354373)i{\;}{\;}({\mathrm {yellow} }).\end{aligned}}}$

自身の反発する不動点は、およびにあります。左側の3つの主要なローブには、周期3つの不動点、、およびが含まれており、これらは不動点 で交わり、右側の対応するローブは点 で交わります。原点付近の点に対する の影響は、 の原点、または に非常に近い原点を中心とした反時計回りの回転と、それに続く 倍の拡大（膨張）から成り立つことが示されています。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=1.450795+0.7825835i}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \arg(\gamma )}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle |\gamma |=1.1072538}$

図5: Douadyウサギまたは${\displaystyle \gamma =-0.55268+0.959456i}$ ${\displaystyle \mu =0.122565-0.744864i}$

変種

ねじれたウサギ[ ^1]は、ウサギの多項式を耳の周りにデーンねじれの累乗で構成したものです。 ^[2]${\displaystyle n}$

コラビットはウサギの対称像です。ここでパラメータは です。これは、ウサギの臨界集合と 同じ順列を誘導する他の2つの多項式のうちの1つです。${\displaystyle c\approx -0.1226-0.7449i}$

3D

ジュリア集合には、3 次元では直接類似するものはありません。

4D

パラメータと平面上の断面を持つ四元数ジュリア集合。断面にはドゥアディ・ラビットが見える。 ${\displaystyle c=-0.123+0.745i}$ ${\displaystyle xy}$

埋め込み

ジュリア集合の中心に埋め込まれたウサギの小さな同相コピー^[3]

脂肪

太ったウサギ、またはぽっちゃりウサギは、マンデルブロ集合の1/3肢の根元にcを持ちます。これは3つの花びらを持つ放物線状の不動点を持ちます。^[4]

• 
  太ったウサギ
• 
  放物線状のチェス盤

n番目の耳

一般的に、主カーディオイドの 番目の電球のウサギには耳があります^[5]たとえば、期間 4 の電球のウサギには 3 つの耳があります。 ${\displaystyle period-(n+1)}$ ${\displaystyle n}$

動揺した

動揺したウサギ^[6]

• 動揺したウサギ
• 
  動揺したウサギ
• 
  動揺したウサギのズーム

ねじれたウサギの問題

1980年代初頭、ハバードはいわゆる「ツイステッド・ラビット問題」と呼ばれる多項式分類問題を提起しました。その目的は、通常は式で表されない複素数関数（これらは位相多項式と呼ばれます）のサーストン同値型^{（定義が必要）を決定することです。 [7]}

• 分岐点が周期3の位相二次関数が与えられたとき、どの二次多項式がサーストン同値であるかを決定する
• ねじれたウサギの同値類、つまり、ウサギの耳の周りのデーンねじれの n 乗を持つウサギ多項式の合成を決定します。

この問題は、ローラン・バルトルディとヴォロディミル・ネクラシェヴィチ^[8]によって、反復モノドロミック群を用いて最初に解決されました。この問題を、事後臨界点の数が任意に大きい場合へと一般化することも解決されています^{[9] 。}

ギャラリー

• 
  グレーレベルは無限大または引力サイクルへの収束速度を示す
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  レベルセットの境界
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  二元分解
• 
• 
  背骨付き
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  外部光線付き
• 
  マルチブロット4ドゥアディウサギ
• 
  赤い背景に描かれたドゥアディウサギ
• 
  ドゥアディウサギの鎖

参照

• ドラゴンカーブ
• ハーマンリング
• シーゲルディスク

参考文献

1. 「ねじれたウサギ問題に対する幾何学的解法、ジム・ベルク著、セントアンドリュース大学」(PDF) 。 2022年11月1日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2022年5月3日閲覧。
2. Laurent Bartholdi; Volodymyr Nekrashevych (2006). 「位相多項式のサーストン同値性」. Acta Mathematica . 197 : 1–51 . arXiv : math/0510082 . doi :10.1007/s11511-006-0007-3.
3. “Period-n Rabbit Renormalization. 'Rabbit's show' by Evgeny Demidov”. 2022年5月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年5月3日閲覧。
4. 川平智樹による放物線の動的安定摂動に関するノート 2006年10月2日アーカイブ、Wayback Machineにて
5. 「Twisted Three-Eared Rabbits: Identifying Topological Quadratics Up To Thurston Equivalence by Adam Chodof」(PDF) 。 2022年5月3日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2022年5月3日閲覧。
6. 「最近の研究論文（1999年以降のみ）Robert L. Devaney：Rabbits, Basilicas, and Other Julia Sets Wrapped in Sierpinski Carpets」。2019年10月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年4月7日閲覧。
7. 「Polynomials, dynamics, and trees by Becca Winarski」(PDF) 。 2022年11月1日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2022年5月8日閲覧。
8. Laurent Bartholdi; Volodymyr Nekrashevych (2005). 「位相多項式のサーストン同値性」. arXiv : math/0510082v3 .
9. James Belk、Justin Lanier、Dan Margalit、Rebecca R. Winarski (2019). 「木の持ち上げによる位相多項式の認識」arXiv : 1906.07680v1 [math.DS].

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ドゥアディ・ラビット・フラクタル」。MathWorld。
• Dragt, A.「加速器物理学への応用を伴う非線形動力学のためのリー法」
• エイドリアン・ドゥアディ: La dynamique du lagin (1996) - YouTube のビデオ

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