ダウリング幾何学

組合せ 数学において、トーマス・A・ダウリングにちなんで名付けられたダウリング幾何学は、群に関連付けられたマトロイドです。各群には、各ランクのダウリング幾何学が存在します。ランクが3以上であれば、ダウリング幾何学によって群が一意に決定されます。ダウリング幾何学は、マトロイド理論において普遍対象としての役割を担っています（カーンとクン、1982年）。この点において、ダウリング幾何学は射影幾何学に類似していますが、体ではなく群に基づいています。

ダウリング格子は、ダウリング幾何学に関連する平面格子の幾何学的格子である。格子と幾何学は数学的に等価であり、どちらか一方が分かれば他方が決まる。ダウリング格子、そして必然的にダウリング幾何学は、ダウリング (1973a,b) によって導入された。

群Gのランクnのダウリング格子または幾何学は、しばしばQn ₍ G )と表記される。

元の定義

ダウリングは最初の論文（1973a）において、有限体Fの乗法群の階数n のダウリング格子を定義した。これは、最大で2つの非零座標を持つベクトルからなる集合Eの部分集合によって生成されるベクトル空間F ⁿの部分空間全体の集合である。対応するダウリング幾何学は、 Eの元によって生成される1次元ベクトル部分空間の集合である。

2 番目の論文 (1973b) で、ダウリングは、任意の有限群Gの階数n のダウリング格子の本質的な定義を与えました。Sを集合 {1,..., n } とします。Gラベル付き集合( T、α ) は、関数α : T → Gを伴う集合Tです。2 つのGラベル付き集合 ( T、α ) と ( T、β ) は、群元gがあってβ = gαとなる場合に同値です。同値類は [ T、α ]で示されます。Sの部分G分割は、 B _{1 、...、} B _{kが、2つずつ互いに素である}Sの空でない部分集合であるようなGラベル付き集合の同値類の集合γ = {[ B 1、α ₁ ]、 ... 、 [ B _k、α _k ]}です。 （kは0の場合もある。）部分G分割γは、他の部分G分割γ * と等しいとされる。

• 2番目のブロックはすべて1番目のブロックの結合であり、
• B * _jに含まれる各B _iについて、α _{i は}α * _jをドメインB _iに制限することと同等です。

これはSのすべての部分G分割の集合の半順序を与える。結果として得られる半順序集合はダウリング格子Q _n ( G ) である。

ダウリングは有限体と有限群についてのみ言及しているが、定義はFまたはGが無限の場合でも有効である。

グラフィカルな定義

その後、Doubilet、 Rota、Stanley (1972)によってグラフィカルな定義が与えられました。本稿では、ゲイングラフを用いて表現された、Zaslavsky (1991) によるやや簡略化された（しかし本質的には同等の）グラフィカルな定義を示します。

n個の頂点を取り、各頂点ペアvとwの間に、群Gのそれぞれの元でラベル付けされた 1 組の | G |平行辺を取ります。ラベルは方向付けられており、vからwの方向のラベルが群の元gである場合、反対方向、つまりwからvの方向の同じ辺のラベルはg ⁻¹です。したがって、辺のラベルは辺の方向に依存します。このようなラベルはゲインと呼ばれます。また、各頂点に、ゲインが 1 以外の任意の値であるループを追加します。(1 は群の単位元です。) これにより、 GK _n ^o (隆起した円に注意)と呼ばれるグラフが得られ、これは の完全展開と呼ばれます。(自明な群には少し異なる定義が必要です。追加される辺は半辺でなければなりません。) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K_{n}}$

グラフのサイクルにはゲインがあります。サイクルは、エッジのシーケンスe ₁ e ₂ ··· e _kです。サイクルの周りの固定方向におけるこれらのエッジのゲインがg ₁、g ₂、...、g _kであるとします。サイクルのゲインは、積g ₁ g ₂ ··· g _kです。このゲインの値は、サイクルに選択された方向と、サイクルの「最初の」エッジと呼ばれるものによって異なるため、完全には定義されません。これらの選択とは無関係なのは、ゲインが 1 に等しいかどうかという質問に対する答えです。1 つの選択セットでゲインが 1 に等しい場合、すべての選択セットでもゲインは 1 に等しくなります。

ダウリング幾何学を定義するために、回路（最小従属集合）を指定する。マトロイドの回路は

• ゲインが1であるサイクル、
• 両方のゲインが1に等しくなく、1つの頂点で交差し、他には何も交差しないサイクルのペア、および
• 3 つのサイクルのいずれもゲインが 1 にならないシータグラフ。

したがって、ダウリング幾何学Q _n ( G ) は、ゲイングラフGK _n ^oのフレームマトロイド（またはバイアスマトロイド）です（凸状の円はループの存在を示します）。その他の同等の定義については、ゲイングラフに関する記事で説明されています。

特性多項式

ダウリング格子が注目される理由の一つは、特性多項式が非常に単純であることだ。Lがm個の元を持つ有限群Gのランクnのダウリング格子であるとすると、

${\displaystyle p_{L}(y)=(y-1)(ym-1)\cdots (y-[n-1]m-1),}$

あらゆる幾何学的格子に対する非常に単純な式。

一般化

各準群には、階数3のみのダウリング幾何学も存在する。Dowling (1973b) を参照のこと。これは高階数には直接一般化できない。Zaslavsky (2012) によるさらなる一般化は、n元準群を含む。

Zaslavsky (1991) による別の一般化は、任意のグラフ の完全展開から得られる。このゲイングラフは、あるB _i上の誘導部分グラフが非連結となるようなすべての部分分割をダウリング格子から除外することによって得られる格子 を持つ。このマトロイドの特性多項式は、 の彩色多項式を代入してモニック多項式に正規化することで得られる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle \chi _{\Gamma }(t)}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle t=(y-1)/|G|}$

参考文献

• Peter Doubilet, Gian-Carlo Rota, Richard P. Stanley (1972), 「組合せ理論の基礎について (VI): 生成関数の考え方」『第6回バークレー数理統計・確率シンポジウム議事録』（カリフォルニア州バークレー、1970/71年）第2巻：確率論、pp. 267–318。カリフォルニア大学出版局、カリフォルニア州バークレー、1972年。
• TA Dowling (1973a),分割格子のq類似体。JN Srivastava 他編『組合せ理論概論』（国際シンポジウム議事録、コロラド州フォートコリンズ、1971年）、pp. 101–115、第11章。北ホランド、アムステルダム、1973年。
• TA Dowling (1973b), 有限群に基づく幾何学的格子のクラス. Journal of Combinatorial Theory, Series B , Vol. 14 (1973), pp. 61–86.
• カーン、ジェフ、クン、ジョセフ PS (1982)、「組合せ幾何学の多様性」アメリカ数学会誌、第271巻、485～499頁。
• Thomas Zaslavsky (1991), 「バイアスグラフ. II. 3つのマトロイド」. Journal of Combinatorial Theory, Series B , Vol. 51, pp. 46–72.
• Thomas Zaslavsky (2012)、複数準群の結合性: 偏った展開の方法。 「数学の方程式」、Vol. 83、いいえ。 1、1–66ページ。