動的緩和

動的緩和は数値解析法であり、ケーブルや布構造の「形状探索」などに使用できます。目的は、すべての力が釣り合う形状を見つけることです。過去には、吊り下げられたチェーンと重り（ Gaudiを参照）を使用した直接モデリング、または「極小曲面」 を見つけるために調整する特性を持つ石鹸膜を使用して行われていました

動的緩和法は、対象とする連続体を離散化し、質量を節点に集中させ、節点間の関係を剛性によって定義する（有限要素法も参照）。システムは荷重の影響下で平衡位置を中心に振動する。反復処理の後、擬似動的過程を時間的にシミュレートする。各反復はジオメトリの更新に基づいており、^[1]リープフロッグ積分に類似し、速度ベルレ積分と関連している。

使用される主な方程式

ニュートンの運動の第二法則（力は質量と加速度の積）を、時刻 番目の節点^における方向について考慮すると： ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle R_{ix}(t)=M_{i}A_{ix}(t){\frac {}{}}}$

ここで

${\displaystyle R}$ は残留力

${\displaystyle M}$ は節点質量

${\displaystyle A}$ は節点加速度

形状検出のプロセスを高速化するために、架空の節点質量が選択される場合があることに注意してください。

速度、形状、残差の関係は、加速度の二重数値積分（ここでは中心差分形式^[2] ）を実行することによって得られる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=V_{ix}\left(t-{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{M_{i}}}R_{ix}(t)}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t)=X_{i}(t)+\Delta t\times V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)}$

ここで

${\displaystyle \Delta t}$ 2 回の更新間の時間間隔です。

力の平衡の原理により、残差と形状の関係は次のようになります。

${\displaystyle R_{ix}(t+\Delta t)=P_{ix}(t+\Delta t)+\sum {\frac {T_{m}(t+\Delta t)}{l_{m}(t+\Delta t)}}\times (X_{j}(t+\Delta t)-X_{i}(t+\Delta t))}$

ここで：

${\displaystyle P}$ は適用される荷重成分です

${\displaystyle T}$ はノードとノード間のリンクの張力です${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle l}$ リンクの長さです。

合計は、ノードと他のノード間のすべての接続における力を網羅する必要があります。残差と形状の関係、および形状と残差の関係を繰り返すことで、擬似動的プロセスをシミュレートします。

反復手順

1. 初期の運動エネルギーとすべての節点速度成分をゼロに 設定する

${\displaystyle E_{k}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

${\displaystyle V_{i}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

2. ジオメトリセットと適用された荷重コンポーネントを計算します。

${\displaystyle X_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

${\displaystyle P_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

3.残差を計算する。

${\displaystyle T_{m}(t){\frac {}{}}}$

${\displaystyle R_{i}(t){\frac {}{}}}$

4. 制約ノードの残差をゼロにリセットする

5. 速度と座標を更新します。

${\displaystyle V_{i}(t+{\frac {\Delta t}{2}}){\frac {}{}}}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t){\frac {}{}}}$

6. 構造が静的平衡状態になるまでステップ3に戻る

減衰

減衰を用いることで、動的緩和をより計算効率よく（反復回数を減らして）行うことができます。^[1] 減衰には2つの方法があります。

• 粘性減衰は、ノード間の接続に粘性力成分があることを前提としています。
• 運動エネルギーの減衰では、ピーク運動エネルギーの座標 (平衡位置) が計算され、ジオメトリがこの位置に更新され、速度がゼロにリセットされます。

粘性減衰の利点は、粘性特性を持つケーブルの実態を再現できることです。さらに、速度が既に計算されているため、容易に実現できます。運動エネルギー減衰は人工的な減衰であり、実際の効果ではありませんが、解を求めるために必要な反復回数を大幅に削減できます。ただし、運動エネルギーとピーク位置を計算し、その後、その位置に合わせてジオメトリを更新する必要があるという計算上のペナルティがあります。

参照

• 張力構造
• 最適化（数学）

さらに詳しく

• ASデイ「動的緩和入門」エンジニア誌 1965年、219:218–221
• HA BUCHHOLDT,ケーブル屋根構造入門、第2版、ロンドン、テルフォード、1999年

参考文献

1. WJルイス著、『張力構造：形態と行動』、ロンドン、テルフォード、2003年
2. DS WAKEFIELD、「張力構造の工学解析：理論と実践」、Bath、Tensys Limited、1999年