拡張数理計画法

AIMMS、AMPL、GAMS 、MPLなどの代数モデリング言語は、問題を数学的な用語で記述しやすくし、抽象的な定式化をデータ管理システムと結び付け、適切な解法アルゴリズムを結び付けるために開発されてきました。線形計画法（ LP）、非線形計画法（NP）、混合整数計画法（MIP）、混合相補性計画法（MCP）など、多種多様な数理計画問題に対応する堅牢なアルゴリズムとモデリング言語インターフェースが開発されてきました。研究者は、特定のドメインアプリケーションでモデル化に使用したい問題の種類とアルゴリズムを常に更新しています。

拡張数理計画法（EMP）は、代数モデリング言語の拡張であり、EMPモデルを既存の数理計画法クラスに変換し、成熟したソルバーアルゴリズムで解くことで、新しいモデルタイプの自動再定式化を容易にします。多くの重要な問題クラスを解くことができます。具体的な例としては、変分不等式、 ナッシュ均衡、選言計画法、確率計画法などがあります。

EMPは使用されるモデリング言語に依存しませんが、現在はGAMSのみで実装されています。EMPでモデル化された新しいタイプの問題は、GAMSソルバーJAMSによって既存の問題タイプに再定式化され、再定式化されたモデルは適切なGAMSソルバーに渡されて解かれます。EMPの中核はemp.infoと呼ばれるファイルで、このファイルには再定式化に必要な注釈がモデルに追加されます。

均衡問題

均衡問題は、経済均衡の研究において生じる問題を数学的に抽象的な形でモデル化します。均衡問題には、変分不等式、ナッシュ均衡の問題、均衡制約条件付き多重最適化問題（MOPEC）などがあります。EMPのキーワードを用いて、これらの問題を混合相補性問題（MCP）として再定式化します。MCPは、成熟したソルバー技術が存在する問題群です。EMPキーワードを用いて再定式化した問題は、PATHソルバーまたは他のGAMS MCPソルバーを用いて解くことができます。

EMPを用いた均衡問題の解決例としては、クールノー・ナッシュ・ワルラス均衡の計算、[ 1 ] 、水配分のモデリング、[ 2 ]、[ 3 ]、電力網の送電線拡張の長期計画、[ 4 ] 、水力貯水池への流入量が不確実な水力熱発電市場におけるリスク回避型エージェントのモデリング[ 5 ] 、エネルギー市場における変分不等式のモデリング[ 6 ]などが挙げられる。

階層的最適化

階層的最適化問題は、制約条件に追加の最適化問題が含まれる数学プログラムです。簡単な例としては、上位レベルの目的関数を、別の下位レベルの最適化問題が含まれる制約条件に基づいて最適化する二レベル計画問題があります。二レベル計画は多くの分野で使用されています。一例は、最適な税務手段の設計です。税務手段は上位レベルでモデル化され、決済市場は下位レベルでモデル化されます。一般に、下位レベルの問題は、最適化問題または変分不等式です。階層的最適化問題を簡単に再定式化できるように、いくつかのキーワードが提供されています。EMP でモデル化された二レベル最適化問題は、均衡制約付き数学プログラム(MPEC) に再定式化され、その後、GAMS MPEC ソルバー (NLPEC またはKNITRO ) のいずれかで解決されます。

分離プログラミング

離散的な選択肢をモデル化するために2値変数と選言定義を含む数学的計画法は、選言計画法と呼ばれます。選言計画法は、生産プロセスにおけるタスクの順序付け、複雑なプロジェクトの時間節約のための組織化、回路における最適経路の選択など、多くの用途があります。線形および非線形選言計画法の拡張手順はEMPに実装されています。線形選言計画法は混合整数計画法（MIP）として、非線形選言計画法は混合整数非線形計画法（MINLP）として再定式化されます。これらの計画法は、ソルバーLogMIP 2.0、および場合によっては他のGAMSサブソルバーを使用して解かれます。

EMPを分離計画法に利用する例としては、化学産業におけるスケジューリング問題が挙げられる[ 7 ]

確率的計画法の場合

EMP SP は、EMP フレームワークの確率的拡張です。固定パラメータを持つ決定論的モデルは、一部のパラメータが固定ではなく確率分布で表される確率論的モデルに変換されます。これは、注釈と特定のキーワードを使用して行われます。単一および結合の離散的およびパラメトリック確率分布が可能です。さらに、期待値、リスク値(VaR)、条件付きリスク値(CVaR) のキーワードがあります。リスク尺度である変数は、目的方程式または制約で使用できます。EMP SP は、単一のリスク尺度またはリスク尺度の組み合わせ (たとえば、期待値と CVaR の加重合計) の最適化を容易にします。さらに、モデラーはリスク尺度のトレードオフを選択できます。特定の確率でのみ保持される制約 (機会制約) をモデル化することもできます。現在、EMP SP では DE、DECIS、JAMS、LINDOの GAMS ソルバーを使用できます。任意の GAMS ソルバーを使用して、事前にサンプリングされた決定論的等価問題を処理できます。

参照

参考文献

  1. ^ Outrata JV, Ferris MC, Červinka M, Outrata M (2016). 「クールノー・ナッシュ・ワルラス均衡とその計算について」.集合値解析と変分解析. 24 (3): 387– 402. doi : 10.1007/s11228-016-0377-4 . S2CID  255062482 .
  2. ^ Britz W, Ferris MC, Kuhn A (2013). 「均衡制約条件付き多重最適化問題に基づく水配分制度のモデリング」.環境モデリング＆ソフトウェア. 46 : 196–207 . doi : 10.1016/j.envsoft.2013.03.010 .
  3. ^ Bauman A, Goemans C, Pritchett J, McFadden DT (2015). 「米国西部における不完全競争水市場のモデル化」。2015年農業応用経済学会および西部農業経済学会年次総会（カリフォルニア州サンフランシスコ、7月26～28日）発表論文。
  4. ^ Tang, L; Ferris, MC (2015). 「長期電力計画モデルのための階層的フレームワーク」 . IEEE Transactions on Power Systems . 30 (1): 46– 56. Bibcode : 2015ITPSy..30...46T . doi : 10.1109/TPWRS.2014.2328293 .
  5. ^ Philpott A, Ferris MC, Wets R (2016). 「水熱発電システムにおける平衡、不確実性、およびリスク」.数理計画法、シリーズB. 157 ( 2): 483– 513. doi : 10.1007/s10107-015-0972-4 . S2CID 891228 . 
  6. ^ Gabriel SA, Conejo AJ, Fuller JD, Hobbs BF, Ruiz C (2013).エネルギー市場における補完性モデリング. オペレーションズ・リサーチ＆マネジメント・サイエンス国際シリーズ 第180巻 ニューヨーク: Springer. pp.  181– 220, 323– 384.
  7. ^ Grossmann, IE (2012). 「企業全体の最適化のための数理計画モデルの進歩」. Computers and Chemical Engineering . 47 : 2–18 . doi : 10.1016/j.compchemeng.2012.06.038 .
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