エリツァーの定理
ゲージ対称性は自発的に破れることはない

量子場の理論と統計場の理論において、エリツァーの定理は、ゲージ理論において、ゼロでない期待値を持つことができる演算子は、局所ゲージ変換に対して不変な演算子のみであると述べている。重要な含意は、ゲージ対称性が自発的に破れることはないということである。この定理は、1975年にシュムエル・エリツァーによって格子場の理論で初めて証明されたが、[1]連続体の極限でも同じ結果が成り立つと予想される。この定理は、ヒッグス機構をゲージ対称性の自発的な対称性の破れとして単純に解釈するのは誤りであることを示しているが、この現象は、フレーリッヒ・モルキオ・ストロッキ機構として知られるゲージ不変量によって完全に再定式化することができる。[2]

理論

場の理論は様々な種類の対称性を許容しますが、最も一般的な2つは大域対称性と局所対称性です。大域対称性は、場の変換がどこでも同じように作用するのに対し、局所対称性は場の位置に依存して作用します。後者は、システムの記述における冗長性に対応します。これは、各局所対称自由度がオイラー・ラグランジュ方程式間の関係に対応し、システムを不確定にするというノイマンの第二定理の結果です。不確定性は、運動方程式が一意の解を持つように、非伝播自由度のゲージ固定を必要とします。 [3]

自発的対称性の破れは、理論の作用が対称性を持つものの、真空状態がこの対称性を破る場合に発生します。この場合、対称性の下で不変でない局所演算子が存在し、その演算子の真空期待値は非ゼロになります。このような不変でない局所演算子は、有限サイズの系に対して常に真空期待値がゼロになり、自発的対称性の破れを阻止します。これは、大きな時間スケールにおいて、有限系は常にすべての可能な基底状態の間を遷移し、演算子の期待値を平均化するためです。 [4]

大域的対称性では対称性の自発的な破れが起こり得るが、エリツァーの定理によれば、ゲージ対称性では同じことは起こらない。ゲージ非不変演算子の真空期待値はすべて、無限サイズのシステムであってもゼロになる。[5]格子上では、ゲージ非不変観測量を群測度で積分すると、コンパクトゲージ群に対して常にゼロになるという事実から、この定理が導かれる。[6]測度の正値性とゲージ不変性は、定理を証明するのに十分である。[7]これは、運動方程式を解く必要がないため、適切問題を定義する必要がない格子場の理論において、ゲージ対称性が単なる冗長性である理由の説明でもある。その代わりに、エリツァーの定理によれば、対称性の下で不変でない観測量は期待値がゼロになるため、観測できず、したがって冗長となる。

システムが自発的に対称性の破れを許すことを示すには、対称性を破り好ましい基底状態を生じる弱い外部ソース フィールドを導入する必要がある。次に、システムを熱力学的極限まで持って行き、その後、外部ソース フィールドをオフにする。対称性非不変演算子の真空期待値がこの極限でゼロでない場合、自発的に対称性が破れる。[8]物理的には、システムが外部フィールドによって置かれた元の基底状態から決して離れないことを意味します。グローバル対称性の場合、さまざまな基底状態間のエネルギー障壁が体積に比例するためにこれが発生します。そのため、熱力学的極限ではこれが発散し、システムが基底状態に固定されます。局所対称性では、2 つの基底状態間のエネルギー障壁が局所的な特徴のみに依存するため、この構成を回避し、異なるゲージに関連する基底状態への遷移が局所的に発生し、グローバル対称性の場合のようにフィールドがすべての場所で同時に変化する必要はありません。

制限と影響

この定理には多くの制限がある。特に、ゲージ対称性の自発的な破れは、無限の空間次元を持つシステムや無限数の変数を持つ対称性を持つシステムで許容される。なぜなら、これらの場合には、ゲージに関連する構成の間に無限のエネルギー障壁が存在するからである。この定理は、原理的には自発的に破れる可能性がある残差ゲージ自由度[9]や大ゲージ変換[ 10]にも適用されない。さらに、現在の証明はすべて格子場の理論の定式化に依存しているため、真の連続体場の理論では無効である可能性がある。したがって、ゲージ対称性が自発的に破れる可能性のあるエキゾチックな連続体理論が存在する可能性は原理的には考えられるが、既知の例がないため、そのようなシナリオは可能性が低いままである。

ランダウの位相分類では、局所演算子の期待値を用いて系の位相を決定します。しかし、エリツァーの定理は、ヤン＝ミルズ理論など、局所演算子が閉じ込めの秩序演算子として作用しない特定の系では、このアプローチは受け入れられないことを示しています。代わりに、この定理を回避するには、期待値がゼロである必要のない非局所ゲージ不変演算子を構築する必要があります。最も一般的なものは、ウィルソンループと、その熱的等価物であるポリヤコフループです。秩序演算子として作用する別の非局所演算子は、トフーフトループです。

ゲージ対称性は自発的に破れることはないので、ヒッグス機構の妥当性に疑問が生じる。通常の説明では、ヒッグス場は、ヒッグス場にゼロではない真空期待値を与えるようなポテンシャルを持つように見える。しかし、これは単にゲージ固定、通常はユニタリーゲージを課した結果に過ぎない。真空期待値の任意の値は、適切なゲージ固定の選択によって得ることができる。ゲージ不変な方法で期待値を計算すると、常にゼロになり、エリツァーの定理と一致する。しかし、ヒッグス機構は、対称性の自発的な破れを伴わないフレーリッヒ・モルキオ・ストロッキ機構として知られる方法で、ゲージ不変な方法で完全に再定式化することができ、[11]これは、ゲージ対称性縮小のドレッシング場法の特別なケースである。[12]部分群を持つ非アーベルゲージ群の場合、このメカニズムはヒッグス機構と一致するが、他のゲージ群では2つのアプローチの間に矛盾が生じる可能性がある。 SU （ 2 ） {\displaystyle {\text{SU}}(2)}

エリツァーの定理は、より広い概念である局所対称性へと一般化することができ、D次元空間においては、d次元超平面上に一様に作用する対称性が存在する可能性がある。この見方では、大域対称性はD次元超平面に作用し、局所対称性は0次元超平面に作用する。一般化されたエリツァーの定理は、このようなd次元対称性の下で不変ではない演算子の真空期待値に上限を与える。[13]この定理は、このような対称性が現れる凝縮系において多くの応用がある。

参照

参考文献

  1. ^ Elitzur, S. (1975). 「局所対称性の自発的破れの不可能性」 . Phys. Rev. D. 12 ( 12): 3978– 3982. Bibcode :1975PhRvD..12.3978E. doi :10.1103/PhysRevD.12.3978.
  2. ^ Fröhlich, J. ; Morchio, G.; Strocchi, F. (1981). 「対称性を破る秩序パラメータのないヒッグス現象」. Nuclear Physics B. 190 ( 3): 553– 582. Bibcode :1981NuPhB.190..553F. doi :10.1016/0550-3213(81)90448-X.
  3. ^ Friedreich, S. (2012). 「ヒッグス機構の哲学的考察」.一般科学哲学ジャーナル. 45 (2): 335– 350. doi :10.1007/s10838-014-9257-5. JSTOR  44113589.
  4. ^ Shankar, R. (2017). "10". 『量子場の理論と凝縮物質：入門』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. pp.  164– 165. ISBN 978-0-521-59210-9。
  5. ^ Fradkin, E. (2021). "18.6".量子場の理論：統合的アプローチ. プリンストン大学出版局. pp.  533– 534. ISBN 978-0-691-14908-0。
  6. ^ Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "3".格子上の量子色力学：入門プレゼンテーション. Lecture Notes in Physics 788. Springer. p. 53. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3-642-01849-7。
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  8. ^ Baulieu, L.; I​​liopoulos, J .; Sénéor, R. (2017). 「25.古典場から量子場へ」オックスフォード: オックスフォード大学出版局. pp.  722– 724. ISBN 978-0-19-878840-9。
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  11. ^ Axel, M. (2019). 「Brout-Englert-Higgs物理学：基礎から現象論へ」. Prog. Part. Nucl. Phys . 106 : 132– 209. arXiv : 1712.04721 . Bibcode :2019PrPNP.106..132M. doi :10.1016/j.ppnp.2019.02.003.
  12. ^ フランソワ、ジョーダン (2019). 「人工ゲージ対称性と実質的ゲージ対称性：基準と電弱模型への応用」.科学哲学. 86 (3): 472– 496. arXiv : 1801.00678 . doi :10.1086/703571.; François, Jordan T.; Ravera, Lucrezia (2024). 「一般相対論的ゲージ場理論のための幾何学的関係枠組み」. Fortschritte der Physik . 2024 2400149. arXiv : 2407.04043 . doi :10.1002/prop.202400149.
  13. ^ Batista, CD; Nussinov, Z. (2005). 「一般化されたエリツァーの定理と次元縮小」. Phys. Rev. B. 72 ( 4) 045137. arXiv : cond-mat/0410599 . Bibcode :2005PhRvB..72d5137B. doi :10.1103/PhysRevB.72.045137.
  • 村松明生による格子ゲージ理論に関するノート
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