正確な完了

数学の一分野である圏論において、完全完備化は任意の有限完備圏からバール完全圏を構成する。これは有効トポスやその他の実現可能性トポスを形成するために用いられる。

工事

C を有限の極限を持つ圏とする。すると、Cの正確な完備化( C _exと表記) は、その対象に対してCにおける擬似同値関係を持つ。^[1] 擬似同値関係は、共同モニックである必要がないことを除いて同値関係に似ている。したがって、 C _exの対象は、2 つの対象X ₀とX _{1および X}₁からX ₀への2 つの平行射x ₀とx _{1から構成され、}X 0からX ₁への反射射rが存在してx ₀r = x ₁r = 1 _X_₀となる。また_、X ₁からそれ自身への対称射s が存在してx ₀s = x ₁かつx ₁s = x _{0 と}なる。そして、 X ₁ × _x_₁_、_X_₀_、_x_₀ X _1からX ₁への推移射t が存在し、 x ₀t = x ₀pかつx ₁t = x ₁qとなる。ここで、pとqは前述の引き戻しの2つの射影である。C _exにおける ( X ₀、X ₁、x ₀、x ₁ ) から ( Y ₀、Y ₁、y ₀、y ₁ )への射は、 X ₀からY ₀への射f ₀の同値類によって与えられ、 X ₁からY ₁への射f _{1が存在する。} y ₀f ₁ = f ₀x ₀かつy ₁f ₁ = f ₀x ₁であり、このような2つの射f ₀とg _0は、y ₀e = f ₀かつy ₁e = g ₀となるようなX ₀からY ₁への射e が存在する場合に同値である。

例

選択公理が成り立つ場合、 Set _exはSetと同等になります。
より一般に、C を有限極限を持つ小さな圏とする。すると、前層圏 Set ^{C ^{op は}}Cの余積完備化の完全完備化と同値となる。^[2]
有効なトポスは、アセンブリのカテゴリーの正確な完成である。^[2]

プロパティ

Cが加法圏ならばC ex_はアーベル圏である。^[3]
Cが直交閉もしくは局所直交閉であれば、 C _exも直交閉である。^[4]

参照

セトイド

参考文献

^ Menni, Matias (2000). 「正確な完了とトポス」(PDF) . 2016年9月18日閲覧。
^ ab Carboni, A. (1995年9月15日). 「実現可能性と証明理論におけるいくつかの自由構成」. Journal of Pure and Applied Algebra . 103 (2): 117– 148. doi :10.1016/0022-4049(94)00103-p.
^ Carboni, A.; Magno, R. Celia (1982年12月). 「左完全圏上の自由完全圏」.オーストラリア数学会誌. 33 (3): 295– 301. doi : 10.1017/s1446788700018735 .
^ Carboni, A.; Rosolini, G. (2000年12月1日). 「局所カルテシアン閉完全完備化」. Journal of Pure and Applied Algebra . 154 ( 1–3 ): 103–116 . doi :10.1016/s0022-4049(99)00192-9.

シュルマン、マイケル.「セトイドの派生語」arXivプレプリントarXiv:2105.08152 (2021). [1]

外部リンク

n ラボでの正確な完了

[1] Menni, Matias (2000). 「正確な完了とトポス」(PDF) . 2016年9月18日閲覧。

[journal1-2] Carboni, A. (1995年9月15日). 「実現可能性と証明理論におけるいくつかの自由構成」. Journal of Pure and Applied Algebra . 103 (2): 117– 148. doi :10.1016/0022-4049(94)00103-p.

[3] Carboni, A.; Magno, R. Celia (1982年12月). 「左完全圏上の自由完全圏」.オーストラリア数学会誌. 33 (3): 295– 301. doi : 10.1017/s1446788700018735 .

[4] Carboni, A.; Rosolini, G. (2000年12月1日). 「局所カルテシアン閉完全完備化」. Journal of Pure and Applied Algebra . 154 ( 1–3 ): 103–116 . doi :10.1016/s0022-4049(99)00192-9.