ファニャーノの問題

直交三角形:内接三角形:${\displaystyle \triangle DEF}$
${\displaystyle \triangle DEF\,,\triangle GHI}$
${\displaystyle |DE|+|EF|+|FD|\leq |GH|+|HI|+|IG|}$

幾何学において、ファグナーノの問題は 1775 年にジョヴァンニ ファグナーノによって初めて提唱された最適化問題です。

与えられた鋭角三角形に対して、最小周囲長の内接三角形を決定します。

解は、与えられた三角形の 高さの底点に頂点がある直交三角形です。

解決

与えられた三角形の頂角の底点を頂点とする直交三角形は、鋭角三角形に内接するすべての三角形の中で最小の周長を持つため、ファニャーノの問題の解となる。ファニャーノの最初の証明は微積分法と、彼の父であるジュリオ・カルロ・デ・トスキ・ディ・ファニャーノによって示された中間結果を用いて行われた。しかし後に、ヘルマン・シュヴァルツやリポット・フェイエルなどによって、いくつかの幾何学的証明も発見された。これらの証明は、反射の幾何学的性質を用いて、周長を表す最小の経路を決定する。

物理原理

物理学から解を得るには、フックの法則に従う輪ゴムを三角形の枠の3辺に巻き付け、滑らかに滑らせることを想像してみてください。すると、輪ゴムは弾性エネルギーが最小となる位置、つまり全長が最小となる位置に配置されます。この位置は、最小周囲長三角形を与えます。輪ゴム内の張力は、輪ゴムのどの部分でも同じなので、静止位置では、ラミの定理により、次の式が成り立ちます。${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle \angle bcA=\angle acB,\angle caB=\angle baC,\angle abC=\angle cbA}$

三角形abcは三角形ABCの​​直交三角形である。

したがって、この最小の三角形は直交三角形です。

絶対幾何学における証明

直交三角形の周囲の最小性は、より一般的な設定、つまり絶対幾何学やさらに弱い設定で証明することができます。^[1]

参照

• 集合TSP問題、集合族のそれぞれを最短経路で訪問するというより一般的な課題

参考文献

• ドーリエ、ハインリッヒ（1965）、「ファグナーノの高度基点問題」、アンティン、デイヴィッド訳 『初等数学100大問題』ドーバー、 359-361頁、ISBN 978-0-486-61348-2
• ポール・J・ナヒン著『最小が最善のとき：数学者はいかにして物事を可能な限り小さく（あるいは大きく）するための多くの巧妙な方法を発見したか』プリンストン大学出版局、2004年、ISBN 0-691-07078-4、67ページ
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL: Geometry Revisited . Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, pp. 88–89.
• HA Schwarz : Gesammelte Mathematische Abhandlungen、vol. ２．ベルリン、1890 年、344 ～ 345 ページ。 (インターネットアーカイブでオンライン、ドイツ語)
• パンブッチアン、ヴィクター；ストルーヴェ、ホルスト；ストルーヴェ、ロルフ（2025）「ファグナーノの定理が成り立つ公理的枠組みの包括的分析」、Journal of Geometry、116：1–28、doi：10.1215/00294527-2017-0019

参考文献

1. パンブッチアン、ヴィクター；ストルーヴェ、ホルスト；ストルーヴェ、ロルフ（2025）「ファグナーノの定理が成り立つ公理的枠組みの包括的分析」、Journal of Geometry、116：1–28、doi：10.1215/00294527-2017-0019

外部リンク

• ファニャーノの結び目を切る際の問題
• 数学百科事典におけるファグナーノの問題
• 三角形幾何学のウェブサイトにおけるファグナーノの問題
• ワイススタイン、エリック・W.、「ファグナーノの問題」、MathWorld