ファイゲンバウム関数

力学系の研究において、ファイゲンバウム関数という用語は、物理学者ミッチェル・ファイゲンバウムによって導入された2つの異なる関数を説明するために使用されている。^[1]

• ファイゲンバウム-クヴィタノヴィッチ関数方程式の解。そして
• ロジスティック写像のアトラクターの被覆を記述するスケーリング関数

アイデア

周期倍増による混乱への道

ロジスティックマップでは、

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),}$

1

関数 があり、この写像を何度も反復すると何が起こるかを調べたいとします。写像は固定点、固定サイクル 、またはカオス に陥る可能性があります。写像が長さ の安定した固定サイクル に陥ると、 のグラフと のグラフが点で交差し、 のグラフの傾きがそれらの交点で で有界になることがわかります。 ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

たとえば、 のとき、 の傾きを持つ単一の交点があり、これは安定した単一の固定点であることを示します。 ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

が を超えて に増加すると、交点は2つに分裂し、周期倍加が発生します。例えば のとき、交点は3つあり、中央の交点は不安定で、他の2つは安定です。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle r=3.4}$

が に近づくと、同様に周期倍増が起こります。周期倍増は次第に頻繁に起こり、ある に達すると周期倍増は無限になり、写像はカオス状態になります。これが周期倍増からカオス状態への経路です。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.45}$ ${\displaystyle r\approx 3.56994567}$

スケーリング制限

下から近づくにつれてスケーリング限界に近づきます。${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

カオスの時点では、周期の倍増を繰り返すにつれて、グラフは互いに似ているように見えますが、中央に向かって縮小され、180 度回転してフラクタルに収束します。${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

画像を見ると、カオス点においての曲線がフラクタルのように見えることがわかります。さらに、周期倍加を繰り返すと、グラフは中央に向かって縮小し、180度回転している点を除けば、互いに似ているように見えます。 ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

これはスケーリング限界を示唆しています。関数を繰り返し2倍にし、ある定数 までスケールアップすると、その限界において を満たす関数が得られます。さらに、周期倍増間隔が短くなるにつれて、 2つの周期倍増間隔の比は、最初のファイゲンバウム定数 という限界に収束します。${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }$

スケーリング係数 の値が間違っていると、マップは極限まで収束しませんが、 の場合は収束します。${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

カオスの点では、関数方程式の反復を で繰り返すと、マップが極限に収束することがわかります。${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

定数は、多くの可能な値を試すことで数値的に求めることができます。間違った値では写像は極限に収束しませんが、極限に達すると収束します。これが第二ファイゲンバウム定数です。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

混沌とした政権

カオス状態では、マップの反復の限界は、非カオス的な明るい帯が点在するカオス的な暗い帯になります。 ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

カオス状態では、マップの反復の限界は、非カオス的な明るい帯が点在するカオス的な暗い帯になります。${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

その他のスケーリング制限

が に近づく と、周期が2倍になるカオスへの別のアプローチが得られますが、今回は周期が3、6、12、…となります。この場合もファイゲンバウム定数は同じです。 の極限も同じ関数です。これは普遍性の例です。${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.8494344}$ ${\displaystyle \delta ,\alpha }$ ${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$

周期倍加カオスのスケーリング極限に下から近づくロジスティック写像。極限では、カオスに至る周期倍加経路はすべて同じであるため（普遍性）、これは のロジスティック写像と同じ形になる。${\displaystyle r^{*}=3.84943\dots }$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

分岐図の周期窓で が最低値となるようなのシーケンスを選ぶことによって、カオスへの周期 3 倍ルートを考えることもできます。たとえば、 となり、極限 となります。これは、異なるファイゲンバウム定数のペアを持ちます。^[2]そして、は不動点 に収束します。別の例として、周期 4 倍化には 2 回の周期 2 倍化によって到達しますが、周期 4 倍化には周期 2 倍化とは異なるファイゲンバウム定数のペアがあります。詳しくは、 を定義して、分岐図の周期窓で が最低値となるようにします。すると、 となり、極限 となります。これは、異なるファイゲンバウム定数のペアを持ちます。 ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 3^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty}=3.854077963\dots }$ ${\displaystyle \delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots }$ ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 4^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty}=3.96155658717\dots}$ ${\displaystyle \delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots }$

一般的に、カオスに至る周期倍加経路にはそれぞれ独自のファイゲンバウム定数のペアが存在する。実際には、通常は複数存在する。例えば、周期7倍加経路の場合、少なくとも9つの異なるファイゲンバウム定数のペアが存在する。^[2]

一般に、であり、関係は両方の数が無限大に増加するにつれて正確になります。 ${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \lim \delta /\alpha ^{2}=2/3}$

ファイゲンバウム-クヴィタノヴィッチ関数方程式

この関数方程式は、パラメータの関数として周期倍加カスケードを経る1次元写像の研究で生じる。ミッチェル・ファイゲンバウムとプレドラグ・クヴィタノヴィッチ[ ^{3]によって発見されたこの方程式は、周期倍加の}普遍性を数学的に表現したものである。この方程式は、関数gとパラメータαを以下の関係で 規定する。

${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$

初期条件は、 x = 0付近の解が二次依存性を持つ特定の形式の解の場合、 α = 2.5029...はファイゲンバウム定数の 1 つです。 $${\displaystyle {\begin{cases}g(0)=1,\\g'(0)=0,\\g''(0)<0.\end{cases}}}$$

のべき級数はおよそ^[4]${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x)=1-1.52763x^{2}+0.104815x^{4}+0.026705x^{6}+O(x^{8})}$$

繰り込み

ファイゲンバウム関数は再正規化議論によって導くことができる。^[5]

ファイゲンバウム関数はカオス発生時の 実数直線上の任意の写像に対して^{[6]を満たす。}$${\displaystyle g(x)=\lim _{n\to \infty}{\frac {1}{F^{\left(2^{n}\right)}(0)}}F^{\left(2^{n}\right)}\left(xF^{\left(2^{n}\right)}(0)\right)}$$ ${\displaystyle F}$

スケーリング機能

ファイゲンバウムのスケーリング関数は、周期倍加カスケードの終点におけるロジスティック写像のアトラクターを完全に記述する。アトラクターはカントール集合であり、中間の3分の1カントール集合と同様に、最小サイズd _nよりも大きい有限の線分の集合で覆われる。固定されたd _nに対して、線分の集合はアトラクターの被覆Δ _nを形成する。連続する2つの被覆Δ _nとΔ _{n +1}からの線分の比は、関数σ、すなわちファイゲンバウムのスケーリング 関数に近似するように調整できる。

参照

• ロジスティックマップ
• プレゼンテーション機能

注記

1. ファイゲンバウム、MJ (1976)「複素離散力学における普遍性」、ロスアラモス理論部門年次報告書1975-1976
2. Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1985-01-01). 「非線形写像における普遍定数の乗算周期への依存性」 . Physical Review A. 31 ( 1): 514– 516. Bibcode :1985PhRvA..31..514D. doi :10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN  0556-2791. PMID  9895509.
3. Feigenbaum (1978) の 46 ページの脚注には、「この方程式は、著者との議論および共同作業の中で P. Cvitanović によって発見されたものです」と記載されています。
4. Iii, Oscar E. Lanford (1982年5月). 「ファイゲンバウム予想のコンピュータ支援による証明」.アメリカ数学会報（新シリーズ） . 6 (3): 427– 434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X . ISSN  0273-0979.
5. フェルドマン、デイビッド・P. (2019).カオスと動的システム. プリンストン. ISBN 978-0-691-18939-0. OCLC  1103440222.
6. Weisstein, Eric W. 「ファイゲンバウム関数」. mathworld.wolfram.com . 2023年5月7日閲覧。

参考文献

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