架空ドメイン法
Numerical analysis method

数値解析において、仮想領域法（FD）は、複雑な形状上の偏微分方程式を解くために設計された数値解析手法であり、物理領域をより大規模かつ単純な計算領域に埋め込むことで実現されます。この手法は、方程式を物理境界を越えて拡張し、分布ラグランジュ乗数を用いて境界条件を強制することで、元の対象領域内で正しい解を復元します。 [1]

円形障害物のフィッティングメッシュの例
重なり合う円形の障害物がある背景の未適合メッシュの例

この手法は、より一般的な非フィッティング法（埋め込み法または浸漬法とも呼ばれる）に属し、複雑な領域や進化する領域上のインターフェース問題を、領域の境界に適合するメッシュを生成せずに解くことができます。[2]このため、架空領域法では、非フィッティング背景領域用のメッシュと、インターフェースに適合するがシミュレーション中に自由に移動できる重なり合うメッシュの 2 つの独立したメッシュの構築が検討されます。浸漬境界法[3]やレベルセット法[4]と同様に、架空領域法はメッシュを再構築する必要がなく、重なり合うメッシュを移動するだけで済むため、進化する形状の問題に特に効果的です。[5]

浸漬された閉界面上のディリクレ境界条件は、重なり合う領域全体に境界条件を強制する分布ラグランジュ乗数の導入によって弱く課される[6] 。 [1]

仮想領域法の具体的な応用例としては、流体とその中に埋め込まれた固体が相互作用し、界面を介して力をやり取りする流体構造連成（FSI）問題が挙げられる。 [7]この文脈では、固体は計算流体力学領域内に埋め込まれているものとみなされ、界面における結合条件は仮想流体領域全体にわたって弱く適用される。[8]

ディリクレ境界条件の弱い強制

非圧縮性ニュートン流体のストークス方程式を解く流体領域 とします。界面 によって表される浸漬円の境界にディリクレ境界条件を課します。この文脈において、仮想領域法を用いることで、領域 全体にわたってストークス方程式を解き、ラグランジュ乗数を用いて弱い制約を課すことができます。 Ω f ⊂ R d {\displaystyle \Omega _{f}\subset \mathbb {R} ^{d}} u = g {\displaystyle {\textbf {u}}={\textbf {g}}} Γ = ∂ Ω c {\displaystyle \Gamma =\partial \Omega _{c}} Ω = Ω f ∪ Ω c {\displaystyle \Omega =\Omega _{f}\cup \Omega _{c}} u = g {\displaystyle {\textbf {u}}={\textbf {g}}} λ {\displaystyle \mathbf {\lambda } }

固定された円形障害物の周りの速度場

架空領域の弱定式化は次のようになる：[9] { ∫ Ω μ ∇ u : ∇ v − ∫ Ω p ∇ ⋅ v + ⟨ λ , v ⟩ Ω c = 0 ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) ∫ Ω q   ∇ ⋅ u f = 0 ∀ q ∈ L 0 2 ( Ω ) ⟨ u − g , η ⟩ Ω c = 0 ∀ η ∈ Λ {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \int _{\Omega }\mu \nabla {\textbf {u}}:\nabla {\textbf {v}}-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\textbf {v}}+\langle \mathbf {\lambda } ,{\textbf {v}}\rangle _{\Omega _{c}}=0\quad &\forall {\textbf {v}}\in H_{0}^{1}(\Omega )\\[1ex]\displaystyle \int _{\Omega }q\ \nabla \cdot {\textbf {u}}_{f}=0\quad &\forall q\in L_{0}^{2}(\Omega )\\[1ex]\displaystyle \langle {\textbf {u}}-{\textbf {g}},\mathbf {\eta } \rangle _{\Omega _{c}}=0\quad &\forall \mathbf {\eta } \in \Lambda \end{cases}}}

システムの最後の方程式は、弱い意味で、界面条件が領域全体にわたって満たされること、特に界面上で満たされることを保証しますが、方程式では変化しません。[6] u = g {\displaystyle {\textbf {u}}={\textbf {g}}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} Γ {\displaystyle \Gamma } Ω f {\displaystyle \Omega _{f}}

ラグランジュ乗数は、円内の制約を満たすために仮想流体速度を強制する、流体にのみ定義される外力として作用します。 [8] λ {\displaystyle \mathbf {\lambda } } Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} u {\displaystyle {\textbf {u}}}

流体構造相互作用アプリケーション

流体構造連成問題において典型的に行われるように、ここではナビエ・ストークス方程式が通常解かれる流体領域と、構造物が占める領域を表す流体領域を考える。 [7]流体はオイラーの枠組みで記述され、固体はラグランジュの定式化で記述される。これは、固体領域がラグランジュ写像を通して固定された参照形状の像として表現できることを意味する。[7] Ω f ⊂ R d {\displaystyle \Omega _{f}\subset \mathbb {R} ^{d}} B ⊂ R d {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset \mathbb {R} ^{d}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} B ∗ {\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}} x = X ( s , t ) {\displaystyle x={\text{X}}(s,t)}

固体構造は界面を介して流体と相互作用し、数学的な観点からは、界面において以下の運動条件が満たされることが求められる。ここで、 は流体の速度、は時刻 におけるラグランジュ座標の位置である。後者の運動条件は、問題の未知数と の両方を含む、界面における特定のディリクレ境界条件と見なすことができる。 [7] Γ = ∂ B {\displaystyle \Gamma =\partial {\mathcal {B}}} Γ {\displaystyle \Gamma } u ( x , t ) = ∂ X ( s , t ) ∂ t | x = X ( s , t ) {\displaystyle {\textbf {u}}(x,t)={\dfrac {\partial {\text{X}}(s,t)}{\partial t}}{\Big |}_{x={\text{X}}(s,t)}} u {\displaystyle {\textbf {u}}} x = X ( s , t ) {\displaystyle x={\text{X}}(s,t)} s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} Γ {\displaystyle \Gamma } u {\displaystyle {\textbf {u}}} X {\displaystyle {\text{X}}}

したがって、仮想領域法の精神に則り、流体方程式を固定計算領域全体に拡張し、ラグランジュ乗数を介して運動学的結合条件を弱く課すことができ、仮想速度が固体領域内の弱い意味でラグランジュ写像の時間微分と一致することを要求します。[7] Ω = Ω f ∪ B {\displaystyle \Omega =\Omega _{f}\cup {\mathcal {B}}} λ {\displaystyle \mathbf {\lambda } } u {\displaystyle {\textbf {u}}} X {\displaystyle {\text{X}}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}}

心臓弁の数値シミュレーション

この要件は次のような弱い定式化につながる：[7] { a f ( u , v ) − b ( p , v ) + ⟨ λ , v ( X ) ⟩ B ∗ = F f ( v ) ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) b ( q , u ) = 0 ∀ q ∈ L 0 2 ( Ω ) a s ( X , Y ) − ⟨ λ , Y ⟩ B ∗ = F s ( Y ) ∀ Y ∈ H 1 ( B ∗ ) ⟨ u ( X ) − ∂ X ∂ t , η ⟩ B ∗ = 0 ∀ η ∈ Λ {\displaystyle {\begin{cases}a_{f}({\textbf {u}},{\textbf {v}})-b(p,{\textbf {v}})+\displaystyle \langle \mathbf {\lambda } ,{\textbf {v}}({\text{X}})\rangle _{{\mathcal {B}}^{*}}=F_{f}({\textbf {v}})\quad &\forall {\textbf {v}}\in H_{0}^{1}(\Omega )\\[1ex]b(q,{\textbf {u}})=0\quad &\forall q\in L_{0}^{2}(\Omega )\\[1ex]a_{s}({\text{X}},{\text{Y}})-\displaystyle \langle \mathbf {\lambda } ,{\text{Y}}\rangle _{{\mathcal {B}}^{*}}=F_{s}({\text{Y}})\quad &\forall {\text{Y}}\in H^{1}({\mathcal {B^{*}}})\\[1ex]\displaystyle \langle {\textbf {u}}({\text{X}})-{\dfrac {\partial {\text{X}}}{\partial t}},\mathbf {\eta } \rangle _{{\mathcal {B}}^{*}}=0\quad &\forall \mathbf {\eta } \in \Lambda \end{cases}}}

ここで、およびはナビエ・ストークス方程式から導かれる古典的な双線形形式であり、は固体を記述する弾性モデルに関連付けられた双線形形式である。 [7] a f ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle a_{f}(\cdot ,\cdot )} b ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle b(\cdot ,\cdot )} a s ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle a_{s}(\cdot ,\cdot )}

運動学的条件は最後の方程式によって弱い意味で表され、ラグランジュ乗数はこの条件を満たすために流体方程式と固体方程式の両方に対して体積力として作用する。[8] λ {\displaystyle \mathbf {\lambda } }

数値的な側面

仮想領域法は、固定された背景グリッドと障害物の形状を記述する独立した重なり合うメッシュという2つの独立したメッシュを使用するため、移動障害物の数値シミュレーションに効果的であることが証明されています。 [5]これまでの応用で見てきたように、インターフェース条件を弱く強制するためには、障害物領域上で双対性ペアリングを 計算する必要があります。[7] [8] [9] ⟨ λ , v ⟩ Ω o b {\textstyle \displaystyle \langle \mathbf {\lambda } ,{\textbf {v}}\rangle _{\Omega _{ob}}} Ω o b {\textstyle \Omega _{ob}}

ラグランジュ乗数は 上で定義されるのに対し、テスト関数は計算領域全体にわたって定義される。したがって、有限要素法による離散化において、離散ラグランジュ乗数は重なり合うメッシュ上で定義されるのに対し、離散テスト関数は背景メッシュ上で定義される。[10]結果として、上記の結合項を計算するには、重なり合うメッシュに属する位置における背景メッシュ上で定義された基底関数を評価する必要があり、これらの位置は時間とともに変化する可能性がある。このタスクは計算上容易ではなく、数値誤差や誤った解が生じる可能性がある。[10] λ {\displaystyle \mathbf {\lambda } } Ω o b {\textstyle \Omega _{ob}} v {\displaystyle \mathbf {v} } Ω {\displaystyle \Omega } λ h {\displaystyle \mathbf {\lambda } _{h}} v h {\displaystyle \mathbf {v} _{h}}

この問題はさまざまな戦略で対処することができます。[11]

  • 拡張求積法：重なり合う領域を部分三角分割し、結合項を正確に計算できる拡張求積法を採用する。このアプローチは正確ではあるが、計算コストが高くなる可能性がある。[11]
  • 不正確な求積法則：重なり合うメッシュに使用された元の求積法を維持し、メッシュサイズによって制御される求積法誤差を受け入れます。[10] h {\displaystyle h}
  • コロッケーション法：両方の関数が同じメッシュ上に定義されるように離散空間に投影する。 [8] λ h {\displaystyle \mathbf {\lambda } _{h}} v h {\displaystyle \mathbf {v} _{h}}

参照

参考文献

  1. ^ ab Glowinski, Roland; Pan, Tsorng-Whay; Periaux, Jacques (1994-01-01). 「ディリクレ問題に対する架空領域法とその応用」 .応用力学・工学におけるコンピュータ手法. 111 (3): 283– 303. Bibcode :1994CMAME.111..283G. doi :10.1016/0045-7825(94)90135-X. ISSN  0045-7825.
  2. ^ Bordas, Stéphane PA; Burman, Erik; Larson, Mats G.; Olshanskii, Maxim A. 編 (2017).幾何学的に非適合な有限要素法とその応用. 計算科学と工学の講義ノート. 第121巻. doi :10.1007/978-3-319-71431-8. ISBN 978-3-319-71430-1. ISSN  1439-7358.
  3. ^ Mittal, Rajat; Iaccarino, Gianluca (2005-01-21). 「浸漬境界法」 . Annual Review of Fluid Mechanics . 37 (1): 239– 261. Bibcode :2005AnRFM..37..239M. doi :10.1146/annurev.fluid.37.061903.175743. ISSN  0066-4189.
  4. ^ Gibou, Frederic; Fedkiw, Ronald; Osher, Stanley (2018-01-15). 「レベルセット法のレビューと最近の応用例」. Journal of Computational Physics . 353 : 82–109 . Bibcode :2018JCoPh.353...82G. doi :10.1016/j.jcp.2017.10.006. ISSN  0021-9991. OSTI  1562769.
  5. ^ ab Boffi, Daniele; Cavallini, Nicola; Gastaldi, Lucia (2015-03-04). 「分布型ラグランジュ乗数を用いた有限要素浸漬境界法」 . SIAM Journal on Numerical Analysis . 53 (6): 2584– 2604. doi :10.1137/140978399. ISSN  0036-1429.
  6. ^ ab Lu, Kaizhou; Augarde, Charles E.; Coombs, William M.; Hu, Zhendong (2019-05-01). 「固体力学におけるディリクレ境界条件の弱い適用：現行のアプローチの批判と部分的に規定された境界への拡張」.応用力学・工学におけるコンピュータ手法. 348 : 632– 659. Bibcode :2019CMAME.348..632L. doi :10.1016/j.cma.2019.01.035. ISSN  0045-7825.
  7. ^ abcdefgh ボフィ、ダニエレ;ガスタルディ、ルチア（2017）。 「流体構造相互作用に対するラグランジュ乗数を用いた架空領域アプローチ」。数学。135 (3 ) : 711–732.arXiv : 1510.06856 。土井：10.1007/s00211-016-0814-1。
  8. ^ abcde Yu, Zhaosheng (2005-07-20). 「流体/柔軟体相互作用のためのDLM/FD法」 . Journal of Computational Physics . 207 (1): 1– 27. Bibcode :2005JCoPh.207....1Y. doi :10.1016/j.jcp.2004.12.026. ISSN  0021-9991.
  9. ^ ab Bertrand, F.; Tanguy, PA; Thibault, F. (1997). 「非圧縮性流体流れ問題のための3次元仮想領域法」 . International Journal for Numerical Methods in Fluids . 25 (6): 719– 736. Bibcode :1997IJNMF..25..719B. doi :10.1002/(SICI)1097-0363(19970930)25:6<719::AID-FLD585>3.0.CO;2-K. ISSN  1097-0363.
  10. ^ abc Boffi, Daniele; Credali, Fabio; Gastaldi, Lucia (2024). 「流体構造相互作用問題のための架空領域フレームワークにおける非マッチンググリッド上の求積誤差推定」arXiv : 2406.03981 [math.NA].
  11. ^ ab Boffi, Daniele; Credali, Fabio; Gastaldi, Lucia (2022). 「仮想領域アプローチによる流体-構造相互作用問題における界面行列について」.応用力学・工学におけるコンピュータ手法. 401-115650 . arXiv : 2205.13350 . doi : 10.1016 /j.cma.2022.115650.
  • vanDANA – 仮想領域法に基づくFSIソルバー
  • ダニエレ・ボッフィのホームページ
  • ルチア・ガスタルディのホームページ
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