最終値定理

数学的解析において、最終値定理（FVT）は、周波数領域表現と時間が無限大に近づくにつれて時間領域で起こる挙動を関連付けるために使用されるいくつかの類似の定理の1つです。 ^{[1] [2] [3] [4]} 数学的には、連続時間で（片側）ラプラス変換がある場合、最終値定理は、次の条件を確立します。 同様に、離散時間で（片側）Z変換がある場合、最終値定理は、次の条件を確立します。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$ $${\displaystyle \lim _{t\,\to \,\infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}.}$$ ${\displaystyle f[k]}$ ${\displaystyle F(z)}$ $${\displaystyle \lim _{k\,\to \,\infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}.}$$

アーベル終値定理は、 の時間領域の動作について仮定し、を計算します。 逆に、タウバー終値定理は、 の周波数領域の動作について仮定し、を計算します (積分変換についてはアーベル定理とタウバー定理を参照)。 ${\displaystyle f(t){\text{ (or }}f[k])}$ ${\textstyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}.}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$ ${\displaystyle {\text{(or }}\lim _{k\to \infty }f[k])}$

ラプラス変換の最終値定理

推論する限界_{t → ∞} f ( t )

以下の文では、表記は が0 に近づくことを意味し、一方、はが正の数を通じて 0 に近づくこと を意味します。${\displaystyle {\text{‘}}s\to 0{\text{’}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\text{‘}}s\downarrow 0{\text{’}}}$ ${\displaystyle s}$

標準最終値定理

の全ての極が開左半平面か原点にあり、その極は原点に最大で1つしかないとする。すると^[5]${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}sF(s).}$

微分のラプラス変換を用いた最終値定理

とが両方ともすべてのに対して存在するラプラス変換を持つと仮定する。が存在し、が存在する場合、 ^{[3] ：定理2.36  [4] ：20  [6]}${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f'(t)}$ ${\displaystyle s>0.}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$ ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}.}$

述べる

定理が成立するためには、両方の極限が存在する必要がある。例えば、の場合、 は存在しないが、^{[3] ： 例2.37  [4] ： 20}${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$ $${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{\frac {s}{s^{2}+1}}=0.}$$

改良タウバー逆最終値定理

が有界かつ微分可能で、 も 上で有界であるとする。 がならば[ ^7]${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle tf'(t)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s\to 0}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L.}$

拡張された最終値定理

の全ての極が左開半平面上か原点にある と仮定する。その場合、以下のいずれかが生じる。${\displaystyle F(s)}$

1. ${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {R} }$ としてそして${\displaystyle s\downarrow 0,}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L.}$
2. ${\displaystyle sF(s)\to +\infty \in \mathbb {R} }$ として、そしてとして${\displaystyle s\downarrow 0,}$ ${\displaystyle f(t)\to +\infty }$ ${\displaystyle t\to \infty .}$
3. ${\displaystyle sF(s)\to -\infty \in \mathbb {R} }$ として、そしてとして${\displaystyle s\downarrow 0,}$ ${\displaystyle f(t)\to -\infty }$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

特に、がの多重極である場合、ケース2または3が適用される^[5]${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle (f(t)\to +\infty {\text{ or }}f(t)\to -\infty ).}$

一般化された最終値定理

がラプラス変換可能であるとする。が存在し、 が存在する 場合、${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \lambda >-1}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}}$ ${\textstyle \lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)}}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}={\frac {1}{\Gamma (\lambda +1)}}\lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)},}$

ここでガンマ関数を表す。^[5]${\displaystyle \Gamma (x)}$

アプリケーション

最終値定理は、システムの長期安定性を確立する際に応用されます。 ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$

推論する限界_{s → 0} s  F ( s )

アーベル終値定理

が有界かつ測定可能であり、すべてのに対してが存在すると仮定する。^[7]${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\alpha \in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \lim _{s\,\downarrow \,0}{sF(s)}=\alpha .}$

初等的証明^[7]

便宜上、を とし、 とする。 を とすると、すべての に対して となる。すべて の に対して となる ので 、${\displaystyle |f(t)|\leq 1}$ ${\displaystyle (0,\infty ),}$ ${\displaystyle \alpha =\lim _{t\to \infty }f(t)}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |f(t)-\alpha |<\epsilon }$ ${\displaystyle t>A.}$ $${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t=1,}$$ ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle sF(s)-\alpha =s\int _{0}^{\infty }(f(t)-\alpha )e^{-st}\,\mathrm {d} t;}$

したがって

${\displaystyle |sF(s)-\alpha |\leq s\int _{0}^{A}|f(t)-\alpha |e^{-st}\,\mathrm {d} t+s\int _{A}^{\infty }|f(t)-\alpha |e^{-st}\,\mathrm {d} t\leq 2s\int _{0}^{A}e^{-st}\,\mathrm {d} t+\epsilon s\int _{A}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t\equiv I+II.}$

今、私たちが持っている ものすべてについて${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle II<\epsilon s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t=\epsilon .}$

一方、は固定されているため、 であることは明らかであり、が十分に小さい場合は となります。 ${\displaystyle A<\infty }$ ${\displaystyle \lim _{s\to 0}I=0}$ ${\displaystyle |sF(s)-\alpha |<\epsilon }$ ${\displaystyle s>0}$

微分のラプラス変換を用いた最終値定理

次の条件がすべて満たされていると仮定します。

1. ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$ は連続的に微分可能であり、との両方がラプラス変換を持つ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$
2. ${\displaystyle f'}$ 絶対積分可能、つまり有限である${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f'(\tau )|\,\mathrm {d} \tau }$
3. ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$ 存在し、有限である

その後^[8] $${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}sF(s)=\lim _{t\to \infty }f(t).}$$

述べる

証明には優勢収束定理を用いる。^[8]

関数の平均の最終値定理

を連続かつ有界な関数とし、次の極限が存在するものと する。${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\,dt=\alpha \in \mathbb {C} }$

その後^[9]${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0,\,s>0}{sF(s)}=\alpha .}$

周期関数の漸近和の最終値定理

が連続かつ絶対積分可能であるとする。さらに、が漸近 的に周期関数の有限和に等しいとする。${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,\infty ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {as} },}$

${\displaystyle |f(t)-f_{\mathrm {as} }(t)|<\phi (t),}$

ここで はで絶対積分可能であり、無限大でゼロとなる。すると ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{s\to 0}sF(s)=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x.}$ ^[10]

無限大に発散する関数の最終値定理

以下の条件をすべて満たすもの とします。${\displaystyle f(t):[0,\infty )\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle f(t)}$ ゼロで無限に微分可能である
2. ${\displaystyle f^{(k)}(t)}$ すべての非負整数に対してラプラス変換を持つ${\displaystyle k}$
3. ${\displaystyle f(t)}$ 無限大に発散する${\displaystyle t\to \infty }$

をラプラス変換すると、は^[11]のように無限大に発散する。${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle sF(s)}$ ${\displaystyle s\downarrow 0.}$

不完全積分関数の最終値定理（アーベルの定理積分の場合

が測定可能で、(おそらく不正確な)積分がに対して収束するような場合、 これはアーベルの定理 のバージョンです。 ${\displaystyle h:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}h(t)\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle x\to \infty .}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }h(t)\,\mathrm {d} t:=\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{s\downarrow 0}\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,\mathrm {d} t.}$$

これを確認するには、部分積分の後に最終値定理を適用することに注意する。${\displaystyle f'(t)=h(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s>0,}$

${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t={\Big [}-e^{-st}f(t){\Big ]}_{t=o}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,\mathrm {d} t.}$

最終値定理により、左辺は次のように収束する。${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle s\to 0.}$

実用上、不定積分の収束性を確認するには、不定積分に対するディリクレの検定が役立つことが多い。一例として、ディリクレ積分が挙げられる。 ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$

アプリケーション

最終値定理は確率統計において、確率変数のモーメントを計算するために応用されています。連続確率変数の累積分布関数を とし、のラプラス・スティルチェス変換をとします。すると、 の- 次モーメントは次のように計算できます。 この戦略では、 が連続で、 の各 関数について と書きます。各について、の逆ラプラス変換を と書きます。 を取得し 、最終値定理を適用して を導き出します 。 ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}}$ ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle R(x).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}={\mathcal {F}}{\bigl (}G_{1}(s),G_{2}(s),\dots ,G_{k}(s),\dots {\bigr )},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\dots )}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle G_{k}(s)=sF_{k}(s)}$ ${\displaystyle F_{k}(s).}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle f_{k}(t)}$ ${\displaystyle F_{k}(s),}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f_{k}(t),}$ ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{G_{k}(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{sF_{k}(s)}=\lim _{t\to \infty }f_{k}(t).}$

${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}={\mathcal {F}}{\Bigl (}\lim _{s\,\to \,0}G_{1}(s),\lim _{s\,\to \,0}G_{2}(s),\dots ,\lim _{s\,\to \,0}G_{k}(s),\dots {\Bigr )},}$

そして、それが得られます。 ${\displaystyle E[X^{n}]}$

例

FVTが成立する例

例えば、伝達関数で記述されるシステムの場合

${\displaystyle H(s)={\frac {6}{s+2}},}$

インパルス応答は収束する

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.}$

つまり、システムは短いインパルスによって擾乱された後、ゼロに戻る。しかし、単位ステップ応答のラプラス変換は

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}}$

そしてステップ応答は次のように収束する。

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

したがって、ゼロ状態のシステムは、最終値 3 まで指数関数的に上昇します。

FVTが成立しない例

伝達関数によって記述されるシステムの場合

${\displaystyle H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}},}$

最終値定理は、インパルス応答の最終値が0、ステップ応答の最終値が1であると予測するように見える。しかし、どちらの時間領域制限も存在しないため、最終値定理の予測は有効ではない。実際には、インパルス応答とステップ応答はどちらも振動しており、（この特殊なケースでは）最終値定理は応答が振動する平均値を記述する。

制御理論では、最終値定理の有効な結果を確認するための 2 つのチェックが実行されます。

1. の分母のゼロでない根はすべて、負の実部を持たなければなりません。${\displaystyle H(s)}$
2. ${\displaystyle H(s)}$ 原点に複数の極を持つことはできません。

この例では、分母の根が以下の通りであるため、ルール1は満たされていない。${\displaystyle 0+j3}$ ${\displaystyle 0-j3.}$

Z変換の最終値定理

推論するlim _{k → ∞} f [ k ]

最終値定理

が存在し、存在する場合^{[4] ：101}${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]}$ ${\displaystyle \lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}.}$

線形システムの最終値

連続時間LTIシステム

システムの最終価値

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)}$

振幅のあるステップ入力に対する応答は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathbf {y} (t)=-\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} R}$

サンプルデータシステム

上記の連続時間LTIシステムの非周期的サンプリング時間におけるサンプルデータシステムは離散時間システムである。 ${\displaystyle t_{i},i=1,2,...}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }(t_{i+1})=\mathbf {\Phi } (h_{i})\mathbf {x} (t_{i})+\mathbf {\Gamma } (h_{i})\mathbf {u} (t_{i})}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t_{i})=\mathbf {C} \mathbf {x} (t_{i})}$

どこでそして ${\displaystyle h_{i}=t_{i+1}-t_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (h_{i})=e^{\mathbf {A} h_{i}}}$ 、 ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } (h_{i})=\int _{0}^{h_{i}}e^{\mathbf {A} s}\,\mathrm {d} s}$

振幅のあるステップ入力に対するこのシステムの最終値は、元の連続時間システムの最終値と同じである。^[12]${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle R}$

参照

• 初期値定理
• Z変換
• ラプラス変換
• アーベル定理とタウバー定理

注記

1. Wang, Ruye (2010-02-17). 「初期値定理と最終値定理」。2017年12月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年10月21日閲覧。
2. アラン・V・オッペンハイム、アラン・S・ウィルスキー、S・ハミド・ナワブ (1997). Signals & Systems . ニュージャージー州、アメリカ合衆国: プレンティス・ホール. ISBN 0-13-814757-4。
3. Schiff, Joel L. (1999). 『ラプラス変換：理論と応用』 ニューヨーク: Springer. ISBN 978-1-4757-7262-3。
4. Graf, Urs (2004).科学者とエンジニアのための応用ラプラス変換とZ変換. バーゼル: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2427-9。
5. Chen, Jie; Lundberg, Kent H.; Davison, Daniel E.; Bernstein, Dennis S. (2007年6月). 「最終値定理の再考 - 無限極限と無理関数」. IEEE Con​​trol Systems Magazine . 27 (3): 97– 99. doi :10.1109/MCS.2007.365008.
6. 「ラプラス変換の最終値定理」。ProofWiki 。2020年4月12日閲覧。
7. Ullrich, David C. (2018-05-26). 「タウバーの最終値定理」. Math Stack Exchange .
8. Sopasakis, Pantelis (2019-05-18). 「支配収束定理を用いた最終値定理の証明」. Math Stack Exchange .
9. Murthy, Kavi Rama (2019-05-07). 「ラプラス変換における最終値定理の代替版」. Math Stack Exchange .
10. Gluskin, Emanuel (2003年11月1日). 「最終値定理のこの一般化を教えよう」. European Journal of Physics . 24 (6): 591– 597. doi :10.1088/0143-0807/24/6/005.
11. Hew, Patrick (2025-01-06). 「無限大に発散する関数の最終値定理は？」Math Stack Exchange .
12. Mohajeri, Kamran; Madadi, Ali; Tavassoli, Babak (2021). 「遅延とドロップアウトのあるネットワークにおける非周期的サンプリングによるトラッキング制御」. International Journal of Systems Science . 52 (10): 1987– 2002. doi :10.1080/00207721.2021.1874074.

外部リンク

• https://web.archive.org/web/20101225034508/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=最終値定理
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html 2017年12月26日アーカイブWayback Machine : ラプラスの最終値
• https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf: Z変換の最終値の証明