固定効果モデル

統計学において、固定効果モデルとは、モデルパラメータが固定または非ランダムな量である統計モデルである。これは、モデルパラメータのすべてまたは一部がランダム変数であるランダム効果モデルおよび混合モデルとは対照的である。計量経済学[ 1 ]や生物統計学[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]を含む多くの用途において、固定効果モデルは、グループ平均が固定（非ランダム）である回帰モデルを指し、グループ平均が母集団からのランダムサンプルであるランダム効果モデルとは対照的である。[ 7 ] [ 6 ]一般に、データは観測された複数の因子に従ってグループ化することができる。グループ平均は、各グループ化に対して固定効果またはランダム効果としてモデル化することができる。固定効果モデルでは、各グループ平均はグループ固有の固定量である。

同一被験者について縦断的な観察データが存在するパネルデータにおいて、固定効果は被験者固有の平均値を表します。パネルデータ分析において、 「固定効果推定量」（または「群内推定量」とも呼ばれる）という用語は、これらの固定効果（被験者ごとに1つの時間不変切片）を含む回帰モデルの係数の推定量を指します。

定性的な説明

このようなモデルは、観測されない異質性が時間経過にわたって一定である場合、その異質性に起因する欠落変数バイアスを制御するのに役立ちます。この異質性は、差分法、例えばグループレベルの時間経過平均を減算する、あるいはモデルの時間不変成分を除去する一次差分法などによってデータから除去できます。

個人固有の効果については、ランダム効果仮定と固定効果仮定という2つの一般的な仮定がなされている。ランダム効果仮定は、個人固有の効果が独立変数と無相関であるという仮定である。固定効果仮定は、個人固有の効果が独立変数と相関しているという仮定である。ランダム効果仮定が成り立つ場合、ランダム効果推定値は固定効果推定値よりも効率的である。しかし、この仮定が成り立たない場合、ランダム効果推定値は一貫性がない。ダービン・ウー・ハウスマン検定は、固定効果モデルとランダム効果モデルを区別するためによく用いられる。[ 8 ] [ 9 ]

形式モデルと仮定

観測と期間 に対する線形非観測効果モデルを考えてみましょう。北{\displaystyle N}T{\displaystyle T}

y私t＝X私tβ+α私+あなた私t{\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta} +\alpha_{i}+u_{it}}および​t＝1、…、T{\displaystyle t=1,\dots ,T}私＝1、…、北{\displaystyle i=1,\dots ,N}

どこ：

  • y私t{\displaystyle y_{it}}は、時刻 における個体の観測された従属変数です。私{\displaystyle i}t{\displaystyle t}
  • X私t{\displaystyle X_{it}}時間変動（独立変数の数）回帰ベクトルです。1×け{\displaystyle 1\times k}
  • β{\displaystyle \beta}パラメータの行列です。け×1{\displaystyle k\times 1}
  • α私{\displaystyle \alpha _{i}}観測されない時間不変の個人効果。例えば、個人の場合は生来の能力、国の場合は歴史的・制度的要因などが挙げられます。
  • あなた私t{\displaystyle u_{it}}は誤差項です。

とは異なり、直接観察することはできません。 X私t{\displaystyle X_{it}}α私{\displaystyle \alpha _{i}}

観測されていない変数がすべてのに対して独立であるランダム効果モデルとは異なり、固定効果（FE）モデルでは、を回帰行列 と相関させることができます。ただし、固有誤差項に関する厳密な外生性は依然として必要です。 α私{\displaystyle \alpha _{i}}X私t{\displaystyle X_{it}}t＝1、。。。、T{\displaystyle t=1,...,T}α私{\displaystyle \alpha _{i}}X私t{\displaystyle X_{it}}あなた私t{\displaystyle u_{it}}

統計的推定

固定効果推定量

は観測不可能であるため、直接制御することはできません。FEモデルは、within変換 を用いて変数の意味を消去することで、次のようにします。α私{\displaystyle \alpha _{i}}α私{\displaystyle \alpha _{i}}

y私t−y¯私＝（X私t−X¯私）β+（α私−α¯私）+（あなた私t−あなた¯私）⟹y¨私t＝X¨私tβ+あなた¨私t{\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha }}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\implies {\ddot {y}}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}

ここで、、、およびです。 y¯私＝1T∑t＝1Ty私t{\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}y_{it}}X¯私＝1T∑t＝1TX私t{\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}X_{it}}あなた¯私＝1T∑t＝1Tあなた私t{\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}u_{it}}

は定数であるため、その効果は排除されます。FE推定値は、に対するOLS 回帰によって得られます。 αi{\displaystyle \alpha _{i}}αi¯=αi{\displaystyle {\overline {\alpha _{i}}}=\alpha _{i}}β^FE{\displaystyle {\hat {\beta }}_{FE}}y¨{\displaystyle {\ddot {y}}}X¨{\displaystyle {\ddot {X}}}

within変換には、バリエーションを伴った少なくとも 3 つの代替手段が存在します。

  • 一つは、各個体にダミー変数を追加することです（多重共線性のため最初の個体は除外します）。これは数値的には固定効果モデルと同等ですが、計算的には同等ではありません。また、系列数とグローバルパラメータ数の合計が観測数よりも小さい場合にのみ機能します。[ 10 ]ダミー変数アプローチは、コンピュータのメモリ使用量に関して特に厳しいため、利用可能なRAM容量や適用プログラムのコンパイル能力を超える規模の問題には推奨されません。i>1{\displaystyle i>1}
  • 2番目の選択肢は、局所的および全体的な推定に連続反復アプローチを使用することです。[ 11 ]このアプローチは、メモリ容量の少ないシステムに非常に適しており、ダミー変数アプローチよりもはるかに計算効率が高くなります。
  • 3つ目のアプローチは、個々の系列のローカル推定がモデル定義の一部としてプログラムされているネスト推定である。[ 12 ]このアプローチは計算とメモリの効率が最も良いが、熟練したプログラミングスキルとモデルプログラミングコードへのアクセスが必要である。ただし、SASを含めてプログラムすることは可能である。[ 13 ] [ 14 ]

最後に、上記の各代替案は、系列固有の推定が線形（非線形モデル内）である場合に改善することができ、その場合には、個々の系列の直接的な線形解を非線形モデル定義の一部としてプログラムすることができる。[ 15 ]

第一差分推定量

内部変換の代替として、異なる推定値を生成する第一差分変換があります。 t=2,…,T{\displaystyle t=2,\dots ,T}

yit−yi,t−1=(Xit−Xi,t−1)β+(αi−αi)+(uit−ui,t−1)⟹Δyit=ΔXitβ+Δuit.{\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-\alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}\beta +\Delta u_{it}.}

次に、のOLS 回帰によってFD 推定値が得られます。 β^FD{\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}Δyit{\displaystyle \Delta y_{it}}ΔXit{\displaystyle \Delta X_{it}}

のとき、一次差分推定値と固定効果推定値は数値的に等しくなります。 のときは等しくありません。誤差項が等分散で、系列相関がない場合、固定効果推定値は一次差分推定値よりも効率的です。しかし、 がランダムウォークに従う場合、一次差分推定値の方が効率的です。[ 16 ]T=2{\displaystyle T=2}T>2{\displaystyle T>2}uit{\displaystyle u_{it}}uit{\displaystyle u_{it}}

T=2の場合の固定効果と第一差分推定値の等価性

特殊な2期間のケース（）では、固定効果（FE）推定値と一次差分（FD）推定値は数値的に等しくなります。これは、FE推定値がFD推定値で使用されるデータセットを実質的に「2倍にする」ためです。これを確認するには、固定効果推定値が以下の式で表されていることを確認してください。 T=2{\displaystyle T=2}FET=2=[(xi1−x¯i)(xi1−x¯i)′+(xi2−x¯i)(xi2−x¯i)′]−1[(xi1−x¯i)(yi1−y¯i)+(xi2−x¯i)(yi2−y¯i)]{\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})'+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})'\right]^{-1}\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(y_{i1}-{\bar {y}}_{i})+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(y_{i2}-{\bar {y}}_{i})\right]}

それぞれはと書き直すことができるので、この行を次のように書き直します。 (xi1−x¯i){\displaystyle (x_{i1}-{\bar {x}}_{i})}(xi1−xi1+xi22)=xi1−xi22{\displaystyle (x_{i1}-{\dfrac {x_{i1}+x_{i2}}{2}})={\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}}

FET=2=[∑i=1Nxi1−xi22xi1−xi22′+xi2−xi12xi2−xi12′]−1[∑i=1Nxi1−xi22yi1−yi22+xi2−xi12yi2−yi12]{\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}'+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {y_{i1}-y_{i2}}{2}}+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}

=[∑i=1N2xi2−xi12xi2−xi12′]−1[∑i=1N2xi2−xi12yi2−yi12]{\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}
=2[∑i=1N(xi2−xi1)(xi2−xi1)′]−1[∑i=1N12(xi2−xi1)(yi2−yi1)]{\displaystyle =2\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})\right]}
=[∑i=1N(xi2−xi1)(xi2−xi1)′]−1∑i=1N(xi2−xi1)(yi2−yi1)=FDT=2{\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})={FD}_{T=2}}

チェンバレン法

ゲイリー・チェンバレン法は、インサイド推定量の一般化であり、説明変数への 線形射影に置き換えます。線形射影は次のように書きます。αi{\displaystyle \alpha _{i}}

αi=λ0+Xi1λ1+Xi2λ2+⋯+XiTλT+ei{\displaystyle \alpha _{i}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}}

この結果、次の式が得られます。

yit=λ0+Xi1λ1+Xi2λ2+⋯+Xit(λt+β)+⋯+XiTλT+ei+uit{\displaystyle y_{it}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{it}(\lambda _{t}+\mathbf {\beta } )+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}

これは最小距離推定によって推定できる。[ 17 ]

ハウスマン・テイラー法

複数の時間変動回帰変数 ( ) と時間不変回帰変数 ( ) が必要であり、と相関のない変数が 少なくとも 1 つと1 つ必要です。 X{\displaystyle X}Z{\displaystyle Z}X{\displaystyle X}Z{\displaystyle Z}αi{\displaystyle \alpha _{i}}

および変数を、およびがと相関しないとなるように分割します。 が必要です。 X{\displaystyle X}Z{\displaystyle Z}X=[X1itTN×K1⋮X2itTN×K2]Z=[Z1itTN×G1⋮Z2itTN×G2]{\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}]\\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}X1{\displaystyle X_{1}}Z1{\displaystyle Z_{1}}αi{\displaystyle \alpha _{i}}K1>G2{\displaystyle K1>G2}

およびを道具として使用して OLS で推定すると、一貫した推定値が得られます。 γ{\displaystyle \gamma }di^=Ziγ+φit{\displaystyle {\widehat {di}}=Z_{i}\gamma +\varphi _{it}}X1{\displaystyle X_{1}}Z1{\displaystyle Z_{1}}

入力の不確実性を伴う一般化

データに入力の不確実性がある場合、残差の二乗和ではなく、その値を最小化する必要があります。 [ 18 ]これは置換規則から直接達成できます。 y{\displaystyle y}δy{\displaystyle \delta y}χ2{\displaystyle \chi ^{2}}

yitδyit=βXitδyit+αi1δyit+uitδyit{\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta } {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha _{i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}}、

およびの値と標準偏差は、古典的な最小二乗分析と分散共分散行列によって決定できます。 β{\displaystyle \mathbf {\beta } }αi{\displaystyle \alpha _{i}}

一貫性をテストするために使用する

ランダム効果の推定値は、ランダム効果が誤って指定されている場合（つまり、ランダム効果用に選択されたモデルが不正確である場合）、長期時系列の限界において矛盾が生じることがあります。しかし、固定効果モデルは状況によっては依然として一貫性を保つことがあります。例えば、モデル化対象の時系列が定常でない場合、定常性を前提とするランダム効果モデルは長期時系列の限界において一貫性を保てない可能性があります。一例として、時系列が上昇傾向にある場合が挙げられます。その場合、時系列が長くなるにつれて、モデルは以前の期間の平均推定値を上方修正し、係数の予​​測値の偏りが大きくなります。しかし、固定時間効果モデルは時系列をまたいで情報をプールしないため、結果として以前の推定値は影響を受けません。

このような状況では、固定効果モデルが一貫していることが分かっている場合、選択したランダム効果モデルが一貫しているかどうかを検定するために、ダービン・ウー・ハウスマン検定を使用することができます。が真の場合、との両方が一貫していますが、効率的であるのは のみです。が真の場合、の一貫性は保証されません。 H0{\displaystyle H_{0}}β^RE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}β^FE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{FE}}β^RE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}Ha{\displaystyle H_{a}}β^RE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}

参照

注記

  1. ^ Greene, WH, 2011.計量経済分析、第7版、Prentice Hall
  2. ^ディグル、ピーター J.ヒーガティ、パトリック。リャン・クンイー。ゼガー、スコット L. (2002)。縦断データの分析(第 2 版)。オックスフォード大学出版局。169 ～ 171ページ 。ISBN 0-19-852484-6。
  3. ^フィッツモーリス, ギャレット・M.; レアード, ナン・M.; ウェア, ジェームズ・H. (2004). 『応用縦断分析』 ホーボーケン: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  326– 328. ISBN 0-471-21487-6。
  4. ^ Laird, Nan M.; Ware, James H. (1982). 「縦断的データのためのランダム効果モデル」.バイオメトリクス. 38 (4): 963– 974. doi : 10.2307/2529876 . JSTOR 2529876 . 
  5. ^ Gardiner, Joseph C.; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). 「固定効果、ランダム効果、そしてGEE：その違いは何か？」. Statistics in Medicine . 28 (2): 221– 239. doi : 10.1002/ sim.3478 . PMID 19012297. S2CID 16277040 .  
  6. ^ a b Gomes, Dylan GE (2022年1月20日). 「混合効果モデルにおいて、グループ化因子のレベルが5未満の場合、固定効果とランダム効果のどちらを使用すべきか？」 . PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID 35116198 .  
  7. ^ラムゼイ、F.、シェーファー、D.、2002年。『統計探偵：データ分析方法講座』第2版、ダックスベリー・プレス
  8. ^ Cameron, A. Colin; Trivedi, Pravin K. (2005).ミクロ計量経済学：方法と応用. Cambridge University Press. pp.  717–19 . ISBN 978-0-521-84805-3。
  9. ^ネルロヴ、マーク（2005年）『パネルデータ計量経済学エッセイ集』ケンブリッジ大学出版局、  36～ 39頁。ISBN 978-0-521-02246-0。
  10. ^ガルシア、オスカー (1983). 「森林の樹高成長に関する確率微分方程式モデル」.バイオメトリクス. 39 (4): 1059–1072 . doi : 10.2307/2531339 . JSTOR 2531339 . 
  11. ^ Tait, David; Cieszewski, Chris J.; Bella, Imre E. (1986). 「ロッジポールパインの林分動態」. Can. J. For. Res . 18 (10): 1255– 1260. doi : 10.1139/x88-193 .
  12. ^ Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2006). 「サイト指数モデルのパラメータを推定する2つの手法における基準齢不変性特性」. Forest Science . 52 (2): 182– 186. doi : 10.1093/forestscience/52.2.182 .
  13. ^ Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2003). Burkhart, HA (編).区画または樹木サイト指数を局所的なニューサンスパラメータとして扱う場合のグローバルサイト指数パラメータのフィッティング. 森林統計情報技術シンポジウム議事録; 2002年9月8日～12日; バージニア州ブラックスバーグ: バージニア工科大学. pp.  97～ 107.
  14. ^ Cieszewski, Chris J.; Harrison, Mike; Martin, Stacey W. (2000). 「自己参照型成長・収量モデルにおける非バイアスパラメータ推定のための実用的手法」(PDF) . PMRC技術報告書. 2000 (7): 12. 2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2015年12月24日閲覧。
  15. ^ Schnute, Jon; McKinnell, Skip (1984). 「応答曲面分析への生物学的に意味のあるアプローチ」. Can. J. Fish. Aquat. Sci . 41 (6): 936– 953. doi : 10.1139/f84-108 .
  16. ^ウッドリッジ、ジェフリー・M. (2001). 『クロスセクションとパネルデータの計量分析』MITプレス. pp.  279–291 . ISBN 978-0-262-23219-7。
  17. ^チェンバレン、ゲイリー（1984年）第22章パネルデータ. 計量経済学ハンドブック第2巻. pp.  1247– 1318. doi : 10.1016/S1573-4412(84)02014-6 . ISBN 978-0-444-86186-3. ISSN  1573-4412 .
  18. ^レン・ビン; ドン・ルオビン; エスポジト・トーマス・M; プエヨ・ローラン; デベス・ジョン・H; ポティート・チャールズ・A; ショケ・エロディ; ベニスティ・ミリアム; チアン・ユージン; グレイディ・キャロル・A; ハインズ・ディーン・C; シュナイダー・グレン; ソウマー・レミ (2018). 「MWC 758ディスク画像の10年間：渦巻き腕駆動惑星はどこにあるのか？」 .アストロフィジカル・ジャーナル・レターズ. 857 (1): L9. arXiv : 1803.06776 . Bibcode : 2018ApJ...857L...9R . doi : 10.3847/2041-8213/aab7f5 . S2CID 59427417。 

参考文献

  • クリステンセン、ロナルド（2002年）『複雑な疑問への平易な解答：線形モデル理論（第3版）』ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-95361-2。
  • グジャラーティ、ダモダール・N.;ポーター、ドーン・C. (2009). 「パネルデータ回帰モデル」.基礎計量経済学（第5版）. ボストン：マグロウヒル. pp.  591– 616. ISBN 978-007-127625-2。
  • Hsiao, Cheng (2003). 「固定効果モデル」 . 『パネルデータ分析』（第2版）. ニューヨーク: Cambridge University Press. pp.  95– 103. ISBN 0-521-52271-4。
  • ウッドリッジ、ジェフリー・M. (2013). 「固定効果推定」.入門計量経済学：現代的アプローチ（第5版）. オハイオ州メイソン：サウスウェスタン社. pp.  466– 474. ISBN 978-1-111-53439-4。
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