平坦擬スペクトル法

平坦擬スペクトル法は、ロスとファルーによって導入されたロス・ファルー擬スペクトル法の一種である。^{[1] [2]この手法は}、微分平坦性 の概念と擬スペクトル最適制御を組み合わせて 、いわゆる平坦空間に出力を生成する。^{[3] [4]}

コンセプト

擬スペクトル法における微分行列 は正方行列であるため、任意の多項式 の高階微分は のべき乗で得られる。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}&=DY\\{\ddot {y}}&=D^{2}Y\\&{}\ \vdots \\y^{(\beta )}&=D^{\beta }Y\end{aligned}}}$

ここで、 は擬スペクトル変数であり、は有限の正の整数である。微分平坦性により、状態変数と制御変数が次のように表される 関数 とが存在する。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a(y,{\dot {y}},\ldots ,y^{(\beta )})\\u&=b(y,{\dot {y}},\ldots ,y^{(\beta +1)})\end{aligned}}}$

これらの概念を組み合わせることで、平坦擬スペクトル法が生成される。つまり、xとuは次のように表される。

${\displaystyle x=a(Y,DY,\ldots ,D^{\beta }Y)}$

${\displaystyle u=b(Y,DY,\ldots ,D^{\beta +1}Y)}$

このように、最適制御問題は、Y擬似スペクトル変数のみを持つ問題に迅速かつ容易に変換することができる。^[1]

参照

• ロスのπ補題
• ロス・ファールーの補題
• ベルマン擬スペクトル法

参考文献

1. Ross, IM および Fahroo, F.、「微分平坦システムの最適動作計画のための擬似スペクトル法」、IEEE Transactions on Automatic Control、Vol.49、No.8、pp. 1410–1413、2004 年 8 月。
2. Ross, IM および Fahroo, F.、「リアルタイム最適制御のための統合フレームワーク」、IEEE 意思決定および制御会議の議事録、マウイ島、ハワイ、2003 年 12 月。
3. Fliess, M., Lévine, J., Martin, Ph., Rouchon, P., “非線形システムの平坦性と欠陥：入門理論と例,” International Journal of Control, vol. 61, no. 6, pp. 1327–1361, 1995.
4. Rathinam, M. および Murray, RM、「1 つの制御によってアンダーアクチュエートされたラグランジュシステムの構成平坦性」SIAM Journal on Control and Optimization、36、164、1998。