四指数関数予想

数学、特に超越数論の分野において、四指数関数予想（しゅうすうかんげんじょう）とは、指数に関する適切な条件が与えられた場合、 4つの指数関数のうち少なくとも1つが超越数であることを保証する予想である。この予想は、関連する2つのより強い予想とともに、指数関数の特定の数の値の算術的性質に関する予想と定理の階層構造の頂点に位置する。

声明

x 1、x 2とy 1、y 2が2つの複素数のペアであり、各ペアが有理数に対して線形独立である場合、次の4つの数のうち少なくとも1つは超越数です

e x 1 y 1 , e x 1 y 2 , e x 2 y 1 , e x 2 y 2 . {\displaystyle e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_{2}}.}

この予想を対数で述べる別の方法は次の通りである。1 ≤  i , j  ≤ 2 に対して、λ ij を複素数とし、exp(λ ij ) がすべて代数的となるものとする。λ 11とλ 12が有理数に関して線型独立であり、λ 11とλ 21も有理数に関して線型独立であるとすると、

λ 11 λ 22 ≠ λ 12 λ 21 . {\displaystyle \lambda _{11}\lambda _{22}\neq \lambda _{12}\lambda _{21}.\,}

線形代数による同等の定式化は次のようになる。Mを2×2行列とする。

M = ( λ 11 λ 12 λ 21 λ 22 ) , {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}\\\lambda _{21}&\lambda _{22}\end{pmatrix}},}

ここで、exp(λ ij ) は 1 ≤  i , j ≤ 2 に対して代数的である。M の2行が有理数上で線型独立であり、Mの2列が有理数上で線型独立であるとする。この場合、Mの階数は2である。

2×2行列は行と列が線形独立であるため、通常は階数が2であることを意味しますが、この場合はより小さな体での線形独立性を必要とするため、階数が2である必要はありません。例えば、

( 1 π π π 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\pi \\\pi &\pi ^{2}\end{pmatrix}}}

π は無理数なので、有理数に対して線型独立な行と列を持ちます。しかし、行列の階数は1です。したがって、この場合、予想はe、e π、e π 2の少なくとも1つが超越数であることを意味します（この場合、 eは超越数なので、これは既に分かっています）。

歴史

この予想は1940年代初頭にアトレ・セルバーグによって考察されましたが、正式には述べられていませんでした。[1]この予想の特殊なケースは、レオニダス・アラオグルとポール・エルデシュ の1944年の論文で言及されており、彼らはカール・ルートヴィヒ・ジーゲルがこの予想を考察していたことを示唆しています。[2] 同等の記述は、 1957年にテオドール・シュナイダーによって初めて印刷物で言及され、彼はこれを超越数論における8つの重要な未解決問題の最初の問題としました。[3]

関連する六指数定理は、 1960年代にセルジュ・ラング[4]とカナカナハリ・ラマチャンドラ[5]によって初めて明示的に言及され、両者とも上記の結果を明確に推測しています。[6] 確かに、六指​​数定理を証明した後、ラングは指数の数を6から4に減らすことの難しさについて言及しています。6指数に使用した証明は、4指数に適用しようとすると「ちょうど失敗する」のです。

帰結

オイラーの等式を用いると、この予想はeとπを含む多くの数の超越性を示唆する。例えば、x 1  = 1、x 2  =  √ 2、y 1  =  iπ、y 2  =  iπ √ 2とすると、この予想が正しいとすれば、以下の4つの数のうち1つが超越数であることが示唆される。

e i π , e i π 2 , e i π 2 , e 2 i π . {\displaystyle e^{i\pi },e^{i\pi {\sqrt {2}}},e^{i\pi {\sqrt {2}}},e^{2i\pi }.}

最初の値はちょうど −1 で、4 番目は 1 なので、この予想はe iπ √ 2が超越数であることを意味します (これはゲルフォンド・シュナイダーの定理の結果として既に知られています)。

この予想によって解決された数論の未解決問題は、 2 tと 3 tが両方とも整数であるような非整数の実数tが存在するかどうか、あるいは整数に関して乗法的に独立な整数のペアaとbに対してa tとb tが両方とも整数であるかどうかという問題である。2 tが整数となるtの値はすべて、ある整数mに対してt  = log 2 mの形式となるが、 3 tが整数であるためには、ある整数nに対してt  = log 3 nの形式となる必要がある。x 1  = 1、x 2  =  t、y 1  = log(2)、y 2  = log(3) と設定すると、4 指数関数予想により、 tが無理数であれば次の 4 つの数のうち 1 つが超越数になることが示される。

2 , 3 , 2 t , 3 t . {\displaystyle 2,3,2^{t},3^{t}.\,}

したがって、2 tと 3 t が両方とも整数である場合、この予想はt が有理数でなければならないことを意味する。2 tが有理数でもあるような有理数tは整数だけであるので、これは2 tと 3 tが両方とも整数となるような非整数の実数t は存在​​しないことを意味する。アラオグルとエルデシュが論文で望んだのは、任意の2つの素数（2と3だけでなく）についてこの帰結を得ることであり、これは2つの連続する非常に大きな数の商が素数であるという予想を導き出し、連続する優れた高合成数 tの商に関するラマヌジャンの結果を拡張するものである。[7]

シャープ4指数関数予想

四指数関数予想は、六指数関数定理の仮説における複素数のペアと三重項を2つのペアに縮減する。これは鋭い六指数関数定理でも可能であると予想されており、これが鋭い四指数関数予想である。[8] 具体的には、この予想は、x 1、x 2、y 1、y 2がそれぞれ有理数に関して線型独立な2つの複素数ペアであり、 β ijが 1 ≤ i、j ≤ 2の4つの代数的数で あり、 以下の4つの数が代数的であると主張する。

e x 1 y 1 − β 11 , e x 1 y 2 − β 12 , e x 2 y 1 − β 21 , e x 2 y 2 − β 22 , {\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},}

すると、1 ≤  i、j ≤ 2 に対してx i  y j  = β ij となります。つまり、4 つの指数はすべて実際には 1 です。

この予想は、3 番目のx値を必要とする鋭い 6 指数定理と、仮説においてさらに 1 つの指数が代数的であることを必要とする、まだ証明されていない鋭い 5 指数予想の両方を意味します。

強い4指数関数予想

さまざまなn指数問題間の論理的関係
この円内の様々な問題間の論理的帰結。赤字で示されているものはまだ証明されていないが、青字で示されているものは既知の結果である。一番上の結果はベイカーの定理で議論されたものを指し、下の2行は六指数定理の記事で詳細に説明されている。

この問題群においてこれまで予想されてきた最も有力な結果は、強い四指数関数予想である。[9] この結果は、前述の四指数関数に関する予想と、右図に示す五指数関数と六指数関数に関する予想と定理、そして以下に詳述する三つの指数関数予想のすべてを意味する。この予想の主張は、1と非零代数的数のすべての対数によって生成される代数的数上のベクトル空間（ここではL ∗と表記）を扱っている。したがって、 L ∗ は、以下の形式を持つすべての複素数の集合である。

β 0 + ∑ i = 1 n β i log ⁡ α i , {\displaystyle \beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\log \alpha _{i},}

n ≥ 0に対して 、すべての β iと α i が代数的であり、対数のすべての枝が考慮される。強四指数関数予想の主張は以下の通りである。x 1、x 2、y 1、y 2 を複素数の2組とし、各組が代数的数に関して線形独立であるとする。すると、 1 ≤  i、j ≤ 2 における4つの数x i  y jのうち少なくとも1つはL ∗ に含まれない。

三指数関数予想

四指数関数予想は、代数的数の対数間の非自明で同次な二次関係の特殊なケースを排除します。しかし、ベイカーの定理の予想的拡張は、代数的数の対数間には、同次であろうとなかろうと、非自明な代数的関係は全く存在しないはずであることを意味します。非同次二次関係の1つのケースは、まだ未解決の三指数関数予想によってカバーされています。[10] 対数形式では、次の予想となります。λ 1、λ 2、λ 3を任意の3つの代数的数の対数とし、γを非ゼロの代数的数とし、λ 1 λ 2  = γλ 3と仮定します。すると、λ 1 λ 2  = γλ 3  = 0と なります

この予想の指数形式は以下の通りである。x 1 、x 2、yを非零複素数とし、γを非零代数数とする。すると、以下の3つの数のうち少なくとも1つは超越数となる。

e x 1 y , e x 2 y , e γ x 1 / x 2 . {\displaystyle e^{x_{1}y},e^{x_{2}y},e^{\gamma x_{1}/x_{2}}.}

鋭い3指数予想もあり、 x 1、x 2、yが非ゼロ複素数であり、α、β 1、β 2、γが代数的数であり、次の3つの数が代数的数であると主張する。

e x 1 y − β 1 , e x 2 y − β 2 , e ( γ x 1 / x 2 ) − α , {\displaystyle e^{x_{1}y-\beta _{1}},e^{x_{2}y-\beta _{2}},e^{(\gamma x_{1}/x_{2})-\alpha },}

この場合、x 2 y  = β 2または γ x 1  = α x 2のいずれかになります。

一方、強い 3 つの指数関数の予想では、x 1 、x 2 、yが非ゼロの複素数で、x 1 y、x 2 y、x 1 / x 2がすべて超越数である場合、3 つの数x 1 y、x 2 y、x 1 / x 2の少なくとも 1 つはL ∗に含まれない、とされています。

このファミリーの他の結果と同様に、強い3指数関数予想はシャープ3指数関数予想を導き、シャープ3指数関数予想は3指数関数予想を導きます。しかし、強い3指数関数予想とシャープ3指数関数予想は、対応する4指数関数予想から導き出されており、これは通常の傾向に反しています。また、3指数関数予想は4指数関数予想から導き出されることも、4指数関数予想から導かれることもありません。

3 つの指数関数予想は、鋭い 5 つの指数関数予想と同​​様に、（対数バージョンで）λ 1  =  i π、λ 2  = − i π、および γ = 1 とすることで、 e π 2の超越性を意味します。

ベルトランの予想

指数関数に関する超越数論の定理や結果の多くには、モジュラー関数jに関する類似物があります。ダニエル・ベルトランは、ノームを q = e 2π i τ 、 j ( τ ) = J ( q )と書き、  q  1とq 2が複素単位円上 で乗法的に独立な非ゼロ代数的数であれば、 J ( q 1 ) とJ ( q 2 ) は有理数上で代数的に独立であると予想しました。 [11] ベルトランの予想は明らかに 4 指数関数予想とは関連がありませんが、実際には弱 4 指数関数予想と呼ばれる特殊なケースを示唆しています。[12] この予想は、x 1とx 2が2つの正の実代数的数で、どちらも1ではない場合、π 2と積log( x 1 )log( x 2 )は有理数に関して線型独立である、というものである。これは、y 1  =  i π、y 2  = − i π、x 1とx 2が実数となる四指数関数予想の特殊なケースに対応する。しかし意外かもしれないが、これはベルトラン予想の系でもあり、モジュラー関数jを介して完全な四指数関数予想に近づ​​く可能性があることを示唆している。

参照

注釈

  1. ^ Waldschmidt, (2006).
  2. ^ Alaoglu and Erdős, (1944), p.455：「 xが整数の場合を除いて、 q xとp x が同時に有理数となる可能性は非常に高い。…現時点ではこれを示すことはできない。シーゲル教授は、 xが整数の場合を除いて、 q x、 r x、 s x が同時に有理数となることはできないという結果を私たちに伝えている。」
  3. ^ シュナイダー（1957年）。
  4. ^ Lang（1966年）、第2章第1節。
  5. ^ ラマチャンドラ（1967/8年）。
  6. ^ Waldschmidt（2000年）、15ページ。
  7. ^ ラマヌジャン、(1915)、セクション IV。
  8. ^ Waldschmidt、「ホップ代数...」 (2005)、p.200。
  9. ^ Waldschmidt（2000）、予想11.17。
  10. ^ Waldschmidt、「バリエーション...」 (2005)、結果 1.9。
  11. ^ Bertrand (1997)、第5節の予想2。
  12. ^ Diaz、(2001)、セクション4。

参考文献

  • レオニダス・アラオグル、ポール・エルデシュ(1944).「高度に合成された数と相似な数について」アメリカ数学会誌 56 (3): 448–469 . doi :10.2307/1990319. JSTOR  1990319. MR  0011087
  • ベルトラン、ダニエル (1997). 「シータ関数と超越性」.ラマヌジャンジャーナル. 1 (4): 339– 350. doi :10.1023/A:1009749608672. MR  1608721. S2CID  118628723.
  • Diaz, Guy (2001). 「マーラー予想とその他の超越性の結果」.ネステレンコ, Yuri V. ; フィリッポン, Patrice (編).代数的独立性理論入門. 数学講義ノート. 第1752巻. Springer. pp.  13– 26. ISBN 3-540-41496-7 MR  1837824 [テキストソースの整合性？ ]
  • ラング、セルジュ(1966). 『超越数入門』 マサチューセッツ州レディング:アディソン・ウェスリー出版社 MR  0214547.
  • ラマチャンドラ、カナカナハリ(1967–1968). 「超越数理論への貢献 I, II」. Acta Arith. 14 : 65–72 , 73–88 . doi : 10.4064/aa-14-1-65-72 . MR  0224566.
  • ラマヌジャン、シュリニヴァサ(1915). 「高度合成数」. Proc. London Math. Soc . 14 (2): 347– 407. doi :10.1112/plms/s2_14.1.347. MR  2280858.
  • シュナイダー、テオドール(1957)。Einführung in die transzendenten Zahlen (ドイツ語)。ベルリン-ゲッティンゲン-ハイデルベルク：シュプリンガー。MR0086842  。
  • ヴァルトシュミット、ミシェル (2000)。線形代数群のディオファンティン近似。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 326. ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-66785-7 MR  1756786
  • Waldschmidt, Michel (2005). 「ホップ代数と超越数」. 青木 隆; 金光 茂; 中原 幹夫; 他編.ゼータ関数、位相幾何学、量子物理学：2003年3月3日～6日、大阪・近大で開催されたシンポジウム論文集. 数学の発展. 第14巻. Springer. pp.  197– 219. CiteSeerX  10.1.1.170.5648 . MR  2179279.
  • ヴァルトシュミット、ミシェル (2005). 「六指数定理の変奏」. タンドン、ラジャット (編). 『代数学と数論』 . デリー: ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー. pp.  338– 355. MR  2193363. [テキストソースの整合性？ ]
  • Waldschmidt, Michel (2006). 「ラマチャンドラの超越数論への貢献について」. Balasubramanian, B.; Srinivas, K. (編).リーマンゼータ関数と関連テーマ：K.ラマチャンドラ教授記念論文集. Ramanujan Math. Soc. Lect. Notes Ser. Vol. 2. マイソール: Ramanujan Math. Soc. pp.  155– 179. MR  2335194. [テキストソースの整合性？ ]
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