フーグルデの定理

数学において、フーグルデの定理は作用素論における結果であり、ベント・フーグルデにちなんで名付けられました。

結果

定理（フーグルデ）TとN を複素ヒルベルト空間上の有界作用素とし、Nは正規作用素とする。TN = NTならば、TN * = N*Tとなる。ここでN* はNの随伴作用素を表す。

T = Nとすれば、 Nの正規性は必須であることがわかる。T が自己随伴な場合、 N が正規分布であるかどうかに関わらず、この主張は自明である。

T N ∗ = ( N T ) ∗ = ( T N ) ∗ = N ∗ T . {\displaystyle TN^{*}=(NT)^{*}=(TN)^{*}=N^{*}T.}

仮証明：基礎となるヒルベルト空間が有限次元の場合、スペクトル定理によれば、 NはP iが直交射影の 対である形をとる 。TN = NTはTP i = P i Tのときのみ成り立つと予想される。実際、これは初等的な議論によって真であることが証明できる（例えば、すべてのP i はNの多項式として表現可能であり、この理由から、T がNと可換であるならば、 P iとも可換である必要がある…）。したがって、 T はNとも可換である 。 N = ∑ i λ i P i {\displaystyle N=\sum _{i}\lambda _{i}P_{i}} N ∗ = ∑ i λ ¯ i P i . {\displaystyle N^{*}=\sum _{i}{{\bar {\lambda }}_{i}}P_{i}.}

一般に、ヒルベルト空間が有限次元でない場合、正規作用素Nは​​そのスペクトルσ ( N )上に射影値測度 Pを生じ、 σ ( N )の各ボレル部分集合に射影PΩを割り当てる。Nは次のように表される 。 N = ∫ σ ( N ) λ d P ( λ ) . {\displaystyle N=\int _{\sigma (N)}\lambda dP(\lambda ).}

有限次元の場合とは異なり、 TN = NT がTP Ω = P Ω Tを意味することは決して自明ではない。したがって、 T が以下の形の任意の単純な関数と可換である ことも自明ではない。 ρ = ∑ i λ ¯ P Ω i . {\displaystyle \rho =\sum _{i}{\bar {\lambda }}P_{\Omega _{i}}.}

実際、有界で正規の、自己随伴でない演算子Tのスペクトル分解の構築に従うと、 T がと可換であることを確認するための最も簡単な方法は、T がNとN* の両方と可換であると仮定することであることがわかりますが、これは悪循環を生じさせます。 P Ω i {\displaystyle P_{\Omega _{i}}}

それがフーグレデの定理の関連性です。後者の仮説は実際には必要ありません。

パトナムの一般化

以下は、フーグルデの結果を特別なケースとして示したものです。下に示すローゼンブラムの証明は、フーグルデがN = Mと仮定して定理に対して示した証明そのものです。

定理（カルヴィン・リチャード・パトナム）[1] T、M、Nを複素ヒルベルト空間上の線型作用素とし、 MとNが正規、Tが有界、MT = TNと仮定する。このとき、M * T = TN *となる。

第一証明（マーヴィン・ローゼンブラム）：帰納法によって、この仮定は任意のkに対してM k T = TN kとなることを意味する。したがって、 における任意の λ に対して、 C {\displaystyle \mathbb {C} } e λ ¯ M T = T e λ ¯ N . {\displaystyle e^{{\bar {\lambda }}M}T=Te^{{\bar {\lambda }}N}.}

関数を考える。 これは と等しい 。なぜならは正規分布であり、同様に で あるからである。しかし、 となるので U はユニタリであり、したがってすべてのλに対してノルム1を持つ。V (λ) についても同様であり、 F ( λ ) = e λ M ∗ T e − λ N ∗ . {\displaystyle F(\lambda )=e^{\lambda M^{*}}Te^{-\lambda N^{*}}.} e λ M ∗ [ e − λ ¯ M T e λ ¯ N ] e − λ N ∗ = U ( λ ) T V ( λ ) − 1 , {\displaystyle e^{\lambda M^{*}}\left[e^{-{\bar {\lambda }}M}Te^{{\bar {\lambda }}N}\right]e^{-\lambda N^{*}}=U(\lambda )TV(\lambda )^{-1},} U ( λ ) = e λ M ∗ − λ ¯ M {\displaystyle U(\lambda )=e^{\lambda M^{*}-{\bar {\lambda }}M}} M {\displaystyle M} V ( λ ) = e λ N ∗ − λ ¯ N {\displaystyle V(\lambda )=e^{\lambda N^{*}-{\bar {\lambda }}N}} U ( λ ) ∗ = e λ ¯ M − λ M ∗ = U ( λ ) − 1 {\displaystyle U(\lambda )^{*}=e^{{\bar {\lambda }}M-\lambda M^{*}}=U(\lambda )^{-1}} ‖ F ( λ ) ‖ ≤ ‖ T ‖   ∀ λ . {\displaystyle \|F(\lambda )\|\leq \|T\|\ \forall \lambda .}

したがって、Fは有界解析ベクトル値関数であり、定数であり、F (0) = Tに等しい。λ が小さい場合の展開における1次の項を考慮すると、M*T = TN*となる。

フーグルデの最初の論文は1950年に発表され、1951年にパトナムによって上記のような形に拡張されました。[1]上記の簡潔な証明は、1958年にローゼンブラムによって初めて発表されました。これは非常に簡潔ですが、非有界作用素の場合も考慮した元の証明ほど一般性はありません。パトナムの定理のもう一つの簡単な証明は次のとおりです。

第二の証明：行列を考える

T ′ = [ 0 0 T 0 ] and N ′ = [ N 0 0 M ] . {\displaystyle T'={\begin{bmatrix}0&0\\T&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad N'={\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}}.}

演算子N'は正規演算子であり、仮定によりT' N' = N' T'となる。フーグルデの定理によれば、 T ′ ( N ′ ) ∗ = ( N ′ ) ∗ T ′ . {\displaystyle T'(N')^{*}=(N')^{*}T'.}

エントリを比較すると、目的の結果が得られきます。

パトナムの一般化から、次のことが推測できます。

系2 つの正規演算子MとNが類似している場合、それらはユニタリ的に同等です。

証明：MS = SNと仮定する。ただしSは有界可逆作用素である。パトナムの結果からM*S = SN*が成り立つ。すなわち S − 1 M ∗ S = N ∗ . {\displaystyle S^{-1}M^{*}S=N^{*}.}

上の式の随伴項をとると、 S ∗ M ( S − 1 ) ∗ = N . {\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=N.}

それで S ∗ M ( S − 1 ) ∗ = S − 1 M S ⇒ S S ∗ M ( S S ∗ ) − 1 = M . {\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=S^{-1}MS\quad \Rightarrow \quad SS^{*}M(SS^{*})^{-1}=M.}

S*=VRとし、Vはユニタリ（Sは可逆なので）、RはSS*の正の平方根とする。R は SS* 上の多項式の極限なので、上記はR が M と可換であることを意味する。また、R は可逆である。すると N = S ∗ M ( S ∗ ) − 1 = V R M R − 1 V ∗ = V M V ∗ . {\displaystyle N=S^{*}M(S^{*})^{-1}=VRMR^{-1}V^{*}=VMV^{*}.}

系MとN が正規演算子であり、MN = NM である場合、MNも正規演算子です。

証明：この議論はフーグルデの定理のみを引用している。直接計算できる。 ( M N ) ( M N ) ∗ = M N ( N M ) ∗ = M N M ∗ N ∗ . {\displaystyle (MN)(MN)^{*}=MN(NM)^{*}=MNM^{*}N^{*}.}

フーグレデによれば、上記は = M M ∗ N N ∗ = M ∗ M N ∗ N . {\displaystyle =MM^{*}NN^{*}=M^{*}MN^{*}N.}

しかしMとNは通常のものなので = M ∗ N ∗ M N = ( M N ) ∗ M N . {\displaystyle =M^{*}N^{*}MN=(MN)^{*}MN.}

C*-代数

この定理は、C*-代数の要素に関する記述として言い換えることができます。

定理（フーグルデ・パトナム・ローゼンブラム）C*代数AとZの二つの正規元をx、yとし、 xz = zyとする。すると、 x* z = zy*となる。

述べる
フーグルデ・パトナム定理のさらなる結果、一般化、応用については、MH Mortad 著の概説モノグラフ『フーグルデ・パトナム定理』 （Springer、2022 年）を参照してください。

参考文献

  1. ^ ab Putnam, CR (1951年4月). 「ヒルベルト空間における正規作用素について」 . American Journal of Mathematics . 73 (2): 357– 362. doi :10.2307/2372180. JSTOR  2372180.
  • フーグレデ、ベント。正規作用素の可換定理 — PNAS
  • ベルベリアン、スターリング・K.（1974）「関数解析と作用素論の講義」、数学大学院テキスト第15巻、ニューヨーク・ハイデルベルク・ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、p. 274、ISBN 0-387-90080-2、MR  0417727。
  • ルディン、ウォルター(1973).関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第25巻（初版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259。
  • Mortad, MH (2022), The Fuglede–Putnam Theory , Lecture Notes in Mathematics, vol. 2322, Cham: Springer, doi :10.1007/978-3-031-17782-8
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuglede%27s_theorem&oldid=1322708385"