完全に正規化されたサブグループ

数学の群論の分野において、ある群の部分群は、その部分群のすべての自己同型が群全体の内部自己同型に持ち上がるとき、完全正規化されているという^{[1] 。言い換えれば、部分群の}ワイル群からその自己同型群への自然な埋め込みが射影的であるということである。

記号において、の自己同型が与えられたとき、 に制限されたときに の写像 がに等しいような が存在する場合、部分群はで完全に正規化されます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$

いくつかの事実:

• あらゆる群は、より大きな群の正規かつ完全に正規化された部分群として埋め込むことができます。この自然な構成は、自己同型群との半直積である正則写像です。
• 完全群は、そのすべての自己同型が内部的であるため、それが埋め込まれている任意のより大きな群内で完全に正規化されます。
• すべての完全に正規化された部分群は自己同型拡張特性を持ちます。

参考文献

1. Kızmaz, M. Yası̇r (2024年6月1日). 「アルペリン融合定理の一般化とその応用」. Journal of Algebra . 647 : 172–205 . arXiv : 2204.11303 . doi :10.1016/j.jalgebra.2024.02.016 . 2025年1月14日閲覧。