Gδ集合

位相幾何学の数学分野において、Gδ集合は位相空間の部分集合であり_、開集合の可算な共通集合です。この表記法はドイツ語の名詞Gebiet 「開集合」とDurchschnitt 「共通集合」に由来します。^[1] 歴史的にはGδ_集合は内極限集合とも呼ばれていましたが^[2]、この用語は現在では使われていません。Gδ_集合とその双対であるFδ集合は_、ボレル 階層の第2レベルです

定義

位相空間において、_Gδ集合は開集合の可算な 共通集合である。Gδ集合_はまさにレベルΠである⁰
₂ボレル 階層の集合

例

• 任意の開集合は自明にGδ集合である_。
• 無理数は実数におけるGδ集合_である。無理数は、開集合の可算な共通部分（上付き文字は補集合を表す）として表すことができ、ここで は有理数である${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{q\}^{c}}$ ${\displaystyle q}$
• 有理数全体の集合はにおけるG _δ集合ではない。もしが開集合の共通集合ならば、 は において稠密であるため、それぞれにおいて稠密となる。しかし、上記の構成では、無理数は開稠密部分集合の可算共通集合として与えられている。これら2つの集合の共通集合をとると、空集合はにおける開稠密集合の可算共通集合として与えられ、これはベールのカテゴリ定理に違反する。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 任意の実数値関数の連続集合はその定義域の G δ サブセットです(より_一般的な説明については、「プロパティ」セクションを参照してください)。
• 上のどこでも微分可能な実数値関数の導関数の零集合はG _{δ集合である。これは、}ポンペイウの構成で示されるように、内部が空である稠密集合になることもある。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• [0, 1]内のどの点でも微分不可能な関数の集合には、距離空間の稠密なG _δ部分集合が含まれます。（ワイエルシュトラス関数の§どこでも微分不可能な関数の密度を参照してください。）${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle C([0,1])}$

性質

計量空間（および位相空間）におけるGδ集合_の概念は、計量空間の完全性の概念とベールの圏定理に関連しています。以下の性質のリストで、完全に計量化可能な空間に関する結果を参照してください。 集合とその補集合は、 実解析、特に測度論においても重要です${\displaystyle \mathrm {G_{\delta}}}$

基本的な性質

• _Gδ集合の補集合はFσ集合_であり、その逆も同様です
• _{可算個の G δ}集合の交差は G _δ集合です。
• 有限個の G _δ集合の和集合は G _δ集合である。
• _{G δ}集合の可算和（G _δσ集合と呼ばれる）は、一般には G _δ集合ではない。例えば、有理数はにおいてG _δ集合を形成しない。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 位相空間では、すべての実数値連続関数の零集合は（閉じた）G _δ集合です。これは、が開集合、の交差であるためです。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \{x\in X:-1/n<f(x)<1/n\}}$ ${\displaystyle (n=1,2,\ldots)}$
• 計量化可能空間においては、すべての閉集合はGδ集合であり、双対的に、すべての開集合はFσ集合である_。 [ ^3] 実際、閉集合は_連続関数の零集合であり、ここで は点から集合 までの距離を表す。擬計量化可能空間においても同様である。${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle f(x)=d(x,F)}$ ${\displaystyle d}$
• 最初の可算 T ₁空間では、すべてのシングルトンは_Gδ集合である。^[4]
• 完全に計量化可能な空間の部分空間は、それ自体が完全に計量化可能であることと、それが における G _δ集合である場合に限ります。^{[5] [6]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• ポーランド空間 の部分空間がポーランド空間となるための必要十分条件は、それが の G _δ集合となることである。これは、完全に計量化可能な部分空間に関する前述の結果と、可分計量空間のすべての部分空間が可分であるという事実から導かれる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• 位相空間がポーランド空間であるための必要十分条件は、それがコンパクト計量空間のGδ部分集合_に同相であるときである。^{[7] [8]}${\displaystyle X}$

実数値関数の連続集合

位相空間から計量空間への関数が連続する点の集合は集合である。これは、ある点における連続性が次の式で定義できるためである。 のすべての正の整数に対して、のすべての に対してとなるような を含む開集合が存在する。 の値が固定されている場合、そのような対応する開集合が存在する の集合自体が開集合（開集合の和集合）であり、の普遍量化子はこれらの集合の（可算な）共通集合に対応する。結果として、無理数が関数の連続点の集合となることは可能であるが（ポップコーン関数 を参照）、有理数上でのみ連続する関数を構成することは不可能である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi_{2}^{0}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(f(x),f(y))<1/n}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$

実数直線では逆も成り立ち、実数直線の任意のGδ部分集合に対して、その点で正確に連続する関数が存在_する。[ 9 ^]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$

G_δ空間

Gδ空間^[10]は_、すべての閉集合がGδ集合である位相空間である。^[11] _Gδ空間でもある正規空間は_、完全正規空間と呼ばれる。例えば、すべての計量化可能空間は完全正規空間である

参照

• Fσ集合、双対概念。ドイツ語の Gebiet （開集合）の「G」とフランス語の fermé（ 閉集合）の「F」_{を対比してください}
• P空間、すべての_Gδ集合が開集合であるという性質を持つ任意の空間

注釈

1. スタイン、エリアス・M.、シャカーチ、ラミ (2009). 『実解析：測度論、積分、そしてヒルベルト空間』プリンストン大学出版局. p. 23. ISBN 9781400835560。
2. ヤング、ウィリアム、ヤング、グレース・チザム(1906). 点の集合論. ケンブリッジ大学出版局. 63ページ
3. ウィラード、15C、105ページ
4. エンゲルキング 1989年、37ページ。
5. ウィラード、定理24.12、p.179
6. Engelking、274 ページの定理 4.3.23 と 4.3.24。276 ページの歴史的注釈によると、前向き含意は特殊なケースで S. Mazurkiewicz によって、一般的なケースで M. Lavrentieff によって示されました。また、逆向き含意は特殊なケースで P. Alexandroff によって、一般的なケースで F. Hausdorff によって示されました。
7. フレムリン、334ページ
8. 条件の十分性は、すべてのコンパクト距離空間が可分かつ完全であり、したがってポーランド語であるという事実を利用しています。
9. 斉藤 真吾. 「R {\displaystyle \mathbb {R} } の Gδ 部分集合の性質」(PDF) .
10. スティーン＆シーバッハ、162ページ
11. ジョンソン 1970.

参考文献

• エンゲルキング、リザード（1989年）『一般位相幾何学』ベルリン：ヘルダーマン出版、ISBN 3-88538-006-4。
• Fremlin, DH (2003) [2003]. 「4 一般位相幾何学」測度論 第4巻. ピーターズバーグ、イギリス: Digital Books Logostics. ISBN 0-9538129-4-42010年11月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年4月1日閲覧
• ジョンソン、ロイ A. (1970). 「すべての閉部分集合がG-デルタとなるコンパクト非計量化空間」アメリカ数学月刊誌. 77 (2): 172– 176. doi :10.2307/2317335. JSTOR  2317335.
• ケリー、ジョン・L. (1955).一般位相幾何学.ヴァン・ノストランド. p. 134.
• スティーン、リン・アーサー；シーバッハ、J・アーサー・ジュニア（1995）[1978].位相幾何学における反例（ドーバー 編）. ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-486-68735-3 MR  0507446
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970].一般位相幾何学（ドーバー 編）. アディソン・ウェスレー