GPOPS-II
汎用MATLABソフトウェア
GPOPS-II
開発者マイケル・パターソン[1]とアニル・V・ラオ[2]
初回リリース2013年1月; 13年前 （2013年1月）
安定版リリース
2.0 / 2015年9月1日; 10年前 （2015年9月1日）
書かれたMATLAB
オペレーティング·システムMac OS X、Linux、Windows
入手可能な英語
タイプ非線形計画法
ライセンス独占的ライセンス。K-12（小中高）または教室での使用は無料。学術目的、非営利目的、商用目的（教室以外）での使用にはライセンス料がかかります。
Webサイトgpops2.com

GPOPS-II （発音は「GPOPS 2」）は、HP適応型ガウス求積法とスパース非線形計画法を用いて連続最適制御問題を解くための汎用MATLABソフトウェアです。頭字語のGPOPSは「General P urpose OP timal Control Software」の略で、ローマ数字の「II」は、GPOPS-IIがガウス求積法を用いるこの種のソフトウェアの中で2番目であることを示しています。

問題の定式化

GPOPS-II [3]は、次の数学的形式の多相最適制御問題を解くように設計されています（ここで、は相の数です）。 P {\displaystyle P}

分 J ＝ ϕ （ e （ 1 ） 、 … 、 e （ P ） ） {\displaystyle \min J=\phi (\mathbf {e} ^{(1)},\ldots ,\mathbf {e} ^{(P)})}
動的制約に従う
y ˙ （ p ） （ t ） ＝ 1つの （ p ） （ y （ p ） （ t ） 、 あなた （ p ） （ t ） 、 t 、 s ） 、 （ p ＝ 1 、 … 、 P ） 、 {\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}^{(p)}(t)=\mathbf {a} ^{(p)}(\mathbf {y} ^{(p)}(t),\mathbf {u} ^{(p)}(t),t,\mathbf {s} ),\quad (p=1,\ldots ,P),}
イベントの制約
b 分 ≤ b （ e （ 1 ） 、 … 、 e （ P ） 、 s ） ≤ b 最大 、 {\displaystyle \mathbf {b} _{\min }\leq \mathbf {b} (\mathbf {e} ^{(1)},\ldots ,\mathbf {e} ^{(P)},\mathbf {s} )\leq \mathbf {b} _{\max },}
不等式経路制約
c 分 （ p ） ≤ c （ y （ p ） （ t ） 、 あなた （ p ） （ t ） 、 t 、 s ） ≤ c 最大 （ p ） 、 （ p ＝ 1 、 … 、 P ） 、 {\displaystyle \mathbf {c} _{\min }^{(p)}\leq \mathbf {c} (\mathbf {y} ^{(p)}(t),\mathbf {u} ^{(p)}(t),t,\mathbf {s} )\leq \mathbf {c} _{\max }^{(p)},\quad (p=1,\ldots) 、P)、}
静的パラメータ制約
s 分 ≤ s ≤ s 最大 、 {\displaystyle \mathbf {s} _{\min }\leq \mathbf {s} \leq \mathbf {s} _{\max },}
そして積分制約
q 分 （ p ） ≤ q （ p ） ≤ q 最大 （ p ） 、 （ p ＝ 1 、 … 、 P ） 、 {\displaystyle \mathbf {q} _{\min }^{(p)}\leq \mathbf {q} ^{(p)}\leq \mathbf {q} _{\max }^{(p)},\quad (p=1,\ldots ,P),}
どこ
e （ p ） ＝ [ y （ p ） （ t 0 （ p ） ） 、 t 0 （ p ） 、 y （ p ） （ t f （ p ） ） 、 t f （ p ） 、 q （ p ） ] 、 （ p ＝ 1 、 … 、 P ） 、 {\displaystyle \mathbf {e} ^{(p)}=\left[\mathbf {y} ^{(p)}(t_{0}^{(p)}),t_{0}^{(p)},\mathbf {y} ^{(p)}(t_{f}^{(p)}),t_{f}^{(p)},\mathbf {q} ^{(p)}\right],\quad (p=1,\ldots ,P),}
そして各位相における積分は次のように定義される。
q 私 （ p ） ＝ ∫ t 0 （ p ） t f （ p ） グラム 私 （ p ） （ y （ p ） （ t ） 、 あなた （ p ） （ t ） 、 t 、 s ） d t 、 （ 私 ＝ 1 、 … 、 n q （ p ） 、 p ＝ 1 、 … 、 P ） 。 {\displaystyle q_{i}^{(p)}=\int _{t_{0}^{(p)}}^{t_{f}^{(p)}}g_{i}^{(p)}(\mathbf {y}^{(p)}(t),\mathbf {u}^{(p)}(t),t,\mathbf {s} )dt,\quad (i=1,\ldots ,n_{q}^{(p)},\;p=1,\ldots ,P).}

イベント制約には、任意のフェーズの開始時および／または終了時の情報を関連付ける任意の関数（静的パラメータと積分の両方を含む関係を含む）を含めることができ、フェーズ自体は必ずしも連続している必要はないことに留意することが重要です。フェーズをリンクするアプローチは、文献でよく知られている定式化に基づいていることに留意してください。[4]

GPOPS-IIで採用されている手法

GPOPS-IIは、ガウス求積法のノード（この場合はルジャンドル・ガウス・ラダウ[LGR]点）である、適応型ガウス求積法と呼ばれる手法群を用いる。メッシュは、各フェーズにおける全時間間隔を分割した区間で構成され、各区間においてLGR求積法が実行される。メッシュは、状態を近似するために使用される多項式の次数と各メッシュ区間の幅の両方が区間ごとに異なるように適応できるため、この手法は適応型法と呼ばれる（ここで、「」は各メッシュ区間の幅、「 」は各メッシュ区間における多項式の次数を表す）。LGR求積法は文献[5] [6] [7]で厳密に開発されており、LGR求積法に基づく適応型メッシュ改良法は文献[8] [9] [10] [11]に記載されている。 h p {\displaystyle hp} t （ p ） ∈ [ t 0 （ p ） 、 t f （ p ） ] {\displaystyle t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]} y （ p ） （ t ） {\displaystyle \mathbf {y} ^{(p)}(t)} h p {\displaystyle hp} h {\displaystyle h} p {\displaystyle p} h p {\displaystyle hp}

発達

GPOPS-IIの開発は2007年に始まりました。このソフトウェアのコード開発名はOptimalPrimeでしたが、ガウス擬スペクトル法を用いてグローバルコロケーションを実装したGPOPSのオリジナルバージョン[12]の系譜を踏襲するため、2012年後半にGPOPS-IIに変更されました。GPOPS-IIの開発は現在も継続されており、オープンソースのアルゴリズム微分化パッケージADiGator [13]の導入や、最適制御のための適応メッシュ細分化手法の継続的な開発など、改良が進められています。 h p {\displaystyle hp}

GPOPS-IIの応用

GPOPS-IIは、世界中の学術界と産業界の両方で広く利用されています。GPOPS-IIが使用された学術研究としては、文献[14] [15] [16]ではF1レースカーの性能最適化などのアプリケーションに使用されており、文献[17]では低推力軌道遷移の最短時間最適化に使用されており、文献[18]では人間のサイクリングパフォーマンスに使用されており、文献[19]では月面軟着陸に使用されており、文献[20]では二足歩行ロボットの動作最適化に使用されています。

参考文献

  1. ^ 「人々」.
  2. ^ アニル・V・ラオのウェブサイト
  3. ^ Patterson, MA; Rao, AV (2014). 「GPOPS-II: hp-適応型ガウス求積法とスパース非線形計画法を用いた多相最適制御問題の解法となるMATLABソフトウェア」. ACM Transactions on Mathematical Software . 41 (1): 1:1–1:37. doi : 10.1145/2558904 .
  4. ^ ベッツ、ジョン・T. (2010).非線形計画法を用いた最適制御と推定の実用的手法. フィラデルフィア: SIAM Press. doi :10.1137/1.9780898718577. ISBN 9780898718577。
  5. ^ Garg, D.; Patterson, MA; Hager, WW; Rao, AV; Benson, DA; Huntington, GT (2010). 「擬スペクトル法を用いた最適制御問題の数値解法のための統一的枠組み」. Automatica . 46 (11): 1843– 1851. doi :10.1016/j.automatica.2010.06.048.
  6. ^ Garg, D.; Hager, WW; Rao, AV; et al. (2011). 「無限時間最適制御問題を解くための擬スペクトル法」. Automatica . 47 (4): 829– 837. doi :10.1016/j.automatica.2011.01.085.
  7. ^ Garg, D.; Patterson, MA; Darby, CL; Francolin, C.; Huntington, GT; Hager, WW; Rao, AV; et al. (2011). 「Radau擬似スペクトル法を用いた有限時間領域および無限時間領域最適制御問題の直接軌道最適化とコステート推定」.計算最適化とその応用. 49 (2): 335– 358. CiteSeerX 10.1.1.663.4215 . doi :10.1007/s10589-009-9291-0. S2CID  8817072. 
  8. ^ Darby, CL; Hager, WW; Rao, AV; et al. (2011). 「最適制御問題を解くためのhp適応擬スペクトル法」.最適制御の応用と方法. 32 (4): 476– 502. doi :10.1002/oca.957. S2CID  16065706.
  9. ^ Darby, CL; Hager, WW; Rao, AV; et al. (2011). 「可変低次適応擬スペクトル法を用いた直接軌道最適化」. Journal of Spacecraft and Rockets . 48 (3): 433– 445. Bibcode :2011JSpRo..48..433D. CiteSeerX 10.1.1.367.7092 . doi :10.2514/1.52136. 
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  20. ^ Haberland, M.; McClelland, H.; Kim, S.; Hong, D. (2006). 「質量分布が二足歩行ロボットの効率に与える影響」. International Journal of Robotics Research . 25 (11): 1087– 1098. doi :10.1177/0278364906072449. S2CID  18209459.
  • GPOPS-IIホームページ
  • GPOPS-IIジャーナル記事がACM Transactions on Mathematical Softwareに掲載されました
  • アニル・V・ラオのウェブサイト
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