ガウスの連分数

複素解析において、ガウスの連分数は、超幾何関数から導かれる連分数の特別なクラスです。これは数学において最初に知られた解析的連分数の一つであり、いくつかの重要な基本関数だけでなく、より複雑な超越関数の一部を表すために使用できます。

歴史

ランバートは1768年にこの形式の連分数の例をいくつか発表し、オイラーとラグランジュも同様の構成を研究したが^{[ 1 ]} 、次のセクションで説明する代数を利用してこの連分数の一般形を導出したのは1813年のカール・フリードリヒ・ガウスであった^{[ 2 ]。}

ガウスはこの連分数の形を与えたものの、その収束性の証明は示さなかった。ベルンハルト・リーマン^{[ 3 ]}とLWトーメ^{[ 4 ]}は部分的な結果を得たが、この連分数が収束する領域に関する最終的な結論は、1901年にエドワード・バー・ヴァン・ヴレック^{[ 5 ]}によって初めて示された。

導出

3項再帰関係に従う解析関数の列とする。${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$

${\displaystyle f_{i-1}=f_{i}+k_{i}\,z\,f_{i+1}}$

すべての に対して、 は定数です。 ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle k_{i}}$

それから

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ など }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}$

設定${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}$

それで

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}=\cdots .\ }$

これを無限に繰り返すと連分数式が得られる。

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}$

ガウスの連分数において、関数は、、、の形をとる超幾何関数であり、方程式はパラメータが整数だけ異なる関数間の恒等式として現れます。これらの恒等式は、級数を展開して係数を比較する、あるいは複数の方法で導関数を取り、生成された方程式からそれを消去するなど、いくつかの方法で証明できます。 ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$

シリーズ₀ F ₁

最も単純なケースは

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

アイデンティティから始める

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}$

私たちは取るかもしれない

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}$

与える

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}$

または

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.}$

この展開は、2 つの収束級数の比によって定義される有理型関数に収束します(もちろん、aは 0 でも負の整数でもないことが条件です)。

シリーズ₁ F ₁

次のケースは

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }$

2つのアイデンティティ

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

交互に使用されます。

させて

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$

等

これにより、 となり 、${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

または

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

同様に

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

または

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

なので、最初の連分数で aを0に設定し、b  + 1をbに置き換えると、単純化された特別なケースが得られます。${\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

シリーズ₂ F ₁

最後のケースは

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}$

ここでも、2 つの ID が交互に使用されます。

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}$

これらは本質的に、 aとbを入れ替えた同じものです。

させて

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$

等

これにより、^{[ 6 ]}${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

または

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

なので、aを0に設定し、c  + 1をcに置き換えると、連分数の簡略化された特殊なケースが得られます。 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

収束特性

この節では、1つ以上のパラメータが負の整数となるケースは除外する。これは、これらのケースでは超幾何級数が定義されていないか、または多項式であるため連分数が停止するためである。その他の自明な例外も同様に除外する。

および の場合、級数はどこでも収束するので、左辺の分数は有理型関数となる。右辺の連分数は、この関数の極を含まない任意の閉有界集合上で一様収束する。 ^{[ 7 ]}${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$

の場合、級数の収束半径は1であり、左辺の分数はこの円内の有理型関数である。右辺の連分数は、この円内のどこでも関数に収束する。 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

円の外側では、連分数は、 +1から無限遠点ま​​での正の実軸を除いた複素平面への関数の解析接続を表す。ほとんどの場合、 +1は分岐点であり、 +1から正の無限遠点ま​​での直線はこの関数の分岐切断である。連分数はこの定義域上で有理型関数に収束し、この定義域の任意の閉有界部分集合（極を含まない）上で一様収束する。^{[ 8 ]}

アプリケーション

シリーズ₀ F ₁

我々は持っています

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

それで

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}$

この特定の展開はランバートの連分数として知られており、1768年に遡ります。^{[ 9 ]}

すると、

${\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}$

tanh の展開は、任意の非ゼロ整数nに対してe ^{n が}無理数であることを証明するために使用できます（残念ながら、これだけではeが超越数であることを証明するには不十分です）。tan の展開は、ランベールとルジャンドルの両者によって、π が無理数であることを証明するために使用されました。

ベッセル関数は 次のように書ける。 ${\displaystyle J_{\nu }}$

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

そこから

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

これらの式はあらゆる複素数zに対しても有効です。

シリーズ₁ F ₁

以来、${\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}$ ${\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}$

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}$

少し操作すれば、 eの単純な連分数表現を証明することができます 。

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

誤差関数erf( z )は、

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,}$

クンマーの超幾何関数を使って計算することもできる。

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}$

ガウスの連分数を適用することで、あらゆる複素数zに対して有効な展開が得られる。^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

同様の議論は、フレネル積分、ドーソン関数、不完全ガンマ関数の連分数展開を導く際にも適用できる。より簡略化された議論は、指数関数の2つの有用な連分数展開を与える。^{[ 11 ]}

シリーズ₂ F ₁

から

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

ゼロ近傍におけるarctan zのテイラー級数展開は[ 12 ^{]で与えられる。}

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}$

ガウスの連分数をこの恒等式に適用すると、展開が得られる。

${\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}$

これは、切断された複素平面上の逆正接関数の主枝に収束し、切断は虚軸に沿ってiから無限遠点ま​​で、また−iから無限遠点ま​​で伸びている。^{[ 13 ]}

この連分数はz = 1のときにかなり早く収束し、9次収束によってπ/4の値が小数点以下7桁まで得られる。対応する級数は

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }$

収束ははるかに遅く、小数点7桁の精度を得るには100万項以上が必要となる。^{[ 14 ]}

この議論のバリエーションは、自然対数、アークサイン関数、および一般化二項級数の連分数展開を生成するために使用できます。

注記

1. ジョーンズ＆スロン（1980）5ページ
2. CF Gauss (1813)、 Werke、vol. 3、134～38ページ。
3. B. リーマン (1863)、「無限に続く無限幾何学における無限の可能性」。 400–406ページ。 （死後の断片）。
4. LW Thomé (1867)、「Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...」、 Jour.数学のために。巻。 67、299-309ページ。
5. EB Van Vleck (1901)「ガウスの連分数とその他の連分数の収束について」 Annals of Mathematics、第3巻、1～18頁。
6. Frank, E. (1956). 「超幾何関数の比に対する新しい連分数展開」. Trans. Am . Math. Soc . 81 (2): 453– 476. doi : 10.2307/1992927 . JSTOR  1992927. MR  0076937 .
7. ジョーンズ＆スロン（1980）206ページ
8. ウォール、1973年（339ページ）
9. ウォール（1973）349頁。
10. ジョーンズ＆スロン (1980) p. 208.
11. e ^zをガウスの連分数として例については、 Padé 表の記事を参照してください。
12. 証明Wiki
13. Wall (1973) p. 343. iと−iは逆正接関数の分岐点である
14. ジョーンズ＆スロン (1980) p. 202.

参考文献

• ジョーンズ、ウィリアム・B.; スロン、WJ (1980).連分数：理論と応用. マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー出版社. pp.  198–214 . ISBN 0-201-13510-8。
• ウォール, HS (1973).連分数の解析理論.チェルシー出版社. pp.  335– 361. ISBN 0-8284-0207-8。(これは1948 年にD. Van Nostrand Company, Inc.によって最初に出版された本の復刻版です。)
• ワイスタイン、エリック W. 「ガウスの連分数」MathWorld。