最小二乗調整

最小二乗調整は、観測残差の最小二乗原理に基づく過剰決定方程式系の解モデルです。測量、測地学、写真測量（総称して地理情報学）の分野で広く用いられています。

処方

最小二乗調整には、パラメトリック、条件付き、組み合わせの 3 つの形式があります。

• パラメトリック調整では、観測値YをパラメータXに関して明示的に関連付ける観測方程式h ( X ) = Yを見つけることができます(以下の A モデルにつながります)。
• 条件付き調整では、観測値Yのみ（以下のBモデルにつながる）を含む条件方程式g ( Y )=0が存在します（パラメータXはまったくありません）。
• 最後に、複合調整では、パラメータXと観測値Yの両方が、混合モデル方程式f ( X , Y )=0に暗黙的に含まれます。

明らかに、パラメトリック調整と条件付き調整は、それぞれf ( X , Y ) = h ( X ) - Yおよびf ( X , Y ) = g ( Y )というより一般的な組み合わせの場合に対応します。しかし、特殊なケースでは、以下に詳述するように、より単純な解法が必要になります。文献では、Y はしばしばLと表記されます。

解決

上記の等式は推定パラメータと観測値にのみ成立するため、 となります。対照的に、測定された観測値と近似パラメータは非ゼロの誤閉包を生成します。 方程式のテイラー級数展開 に進むと、ヤコビ行列または計画行列が得られます。最初の行列 と 2 番目の行列 です。 線形化モデルは次のようになります。 ここで、 は事前値に対する推定パラメータ補正値、は適合後の観測残差です。 ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0}$ ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ $${\displaystyle {\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).}$$ $${\displaystyle A=\partial {f}/\partial {X};}$$ $${\displaystyle B=\partial {f}/\partial {Y}.}$$ $${\displaystyle {\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {Y}}-{\チルダ {Y}}}$

パラメトリック調整では、2番目の計画行列は恒等行列B =- Iであり、ミスクロージャベクトルは適合前残差 と解釈できるため、システムは次のように簡略化されます 。これは通常の最小二乗法 の形をとります。条件付き調整では、最初の計画行列はヌル行列A = 0です。より一般的なケースでは、 2つのヤコビ行列を関連付けるためにラグランジュ乗数が導入され、制約付き最小二乗法の問題が制約なしの問題（ただし、より大きな問題）に変換されます。いずれの場合も、これらの操作により、ベクトルとベクトル、およびそれぞれのパラメータと観測値の事後共分散行列が得られます。 ${\displaystyle {\チルダ {y}}={\チルダ {w}}=h({\チルダ {X}})-{\チルダ {Y}}}$ $${\displaystyle A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\チルダ {y}},}$$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$

計算

上記の行列とベクトルが与えられれば、その解は標準的な最小二乗法によって求められます。たとえば、正規行列を形成してコレスキー分解を適用する、ヤコビ行列にQR 分解を直接適用する、非常に大規模なシステムには 反復法などを適用します。

アプリケーション

• 水準測量、横断測量、および制御ネットワーク
• バンドル調整
• 三角測量、三辺測量、三角測量
• GPS / GNSS測位
• ヘルマート変換

関連概念

• パラメトリック調整は、ほとんどの回帰分析と似ており、ガウス・マルコフモデルと一致する。
• 複合調整とも呼ばれるガウス・ヘルメルトモデル（ドイツの数学者・測地学者CFガウスとFRヘルメルトにちなんで名付けられた） ^{[ 1 ] [ 2 ]}は、変数誤差モデルや全最小二乗法と関連している。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• 事前パラメータ共分散行列の使用は、ティホノフ正則化に似ている。

拡張機能

ランク不足が発生した場合、多くの場合、パラメータや観測値に制約を課す追加の方程式を追加して、制約付き最小二乗法を実行することで修正できます。

参考文献

1. Kotz, Samuel; Read, Campbell B.; Balakrishnan, N.; Vidakovic, Brani; Johnson, Norman L. (2004-07-15). 「ガウス・ヘルマートモデル」.統計科学百科事典. ホーボーケン, ニュージャージー州, 米国: John Wiley & Sons, Inc. doi : 10.1002/0471667196.ess0854.pub2 . ISBN 978-0-471-66719-3。
2. フォルストナー、ヴォルフガング;ローベル、ベルンハルト P. (2016)。 "推定"。写真測量コンピュータビジョン。幾何学とコンピューティング。 Vol. 11. チャム: Springer International Publishing。 pp.  75–190。土井：10.1007/978-3-319-11550-4_4。ISBN 978-3-319-11549-8. ISSN  1866-6795 .
3. Schaffrin, Burkhard; Snow, Kyle (2010). 「ティホノフ型の全最小二乗正規化とコリントスの古代競馬場」線形代数とその応用432 (8) . Elsevier BV: 2061– 2076. doi : 10.1016/j.laa.2009.09.014 . ISSN 0024-3795 . 
4. Neitzel, Frank (2010-09-17). 「重み付けなしおよび重み付け2D相似変換の例における合計最小二乗法の一般化」. Journal of Geodesy . 84 (12). Springer Science and Business Media LLC: 751– 762. Bibcode : 2010JGeod..84..751N . doi : 10.1007/s00190-010-0408- ​​0. ISSN 0949-7714 . S2CID 123207786 .