グリーン関数

数学的な熱伝導では、グリーン関数数は、熱方程式の特定の基本解を一意に分類し、既存の解の識別、保存、および取得を容易にするために 使用されます。

数値は境界条件の種類を識別するために長い間使用されてきました。[1] [2] [3]グリーン関数数体系は1988年にベックとリトコウヒによって提案され[4]、それ以来ますます利用されてきました。[5] [6] [7] [8]この数体系は、グリーン関数と関連する解の大規模なコレクションをカタログ化するために使用されてきました。[9] [10] [11]

以下の例は熱方程式に関するものですが、この数値体系は拡散、音響、電磁気、流体力学など の微分方程式で記述されるあらゆる現象に適用されます。

表記

グリーン関数番号は、座標系と、グリーン関数が満たす境界条件の種類を指定します。グリーン関数番号は、文字指定と番号指定の2つの部分で構成されます。文字は座標系を指定し、番号は満たす境界条件の種類を指定します。

表 1. グリーン関数数系の境界条件の指定。
名称 境界条件 番号
物理的な境界なし Gは有界である 0
ディリクレ G = 0 {\displaystyle G=0} 1
ノイマン ∂ G ∂ n = 0 {\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial n}}=0} 2
ロビン k ∂ G ∂ n + h G = 0 {\displaystyle k{\frac {\partial G}{\partial n}}+hG=0} 3

グリーン関数数系のいくつかの名称を次に示します。座標系の名称には、直交座標の場合はX、Y、Z、円筒座標の場合はR、Z、φ、球座標の場合はRS、φ、θがあります。いくつかの境界条件の名称は表1に示されています。ゼロ次境界条件は、物理的な境界が存在しない座標境界の存在を識別するために重要です。例えば、半無限体の遠く離れた場所や、円筒形または球形体の中心などです

直交座標の例

X11

例として、数値X11は、x = 0とx = Lの両方の境界において、タイプ1（ディリクレ）の境界条件に対して、領域（ 0 < x < L ）で熱方程式を満たすグリーン関数を表します。ここで、Xは直交座標を表し、l1は物体の両側におけるタイプ1の境界条件を表します。X11グリーン関数の 境界値問題は次のように与えられます

方程式 ∂ 2 G ∂ x 2 + 1 α δ ( t − τ ) δ ( x − x ′ ) = 1 α ∂ G ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{\alpha }}\delta (t-\tau )\delta (x-x')={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial G}{\partial t}}}
領域
  • 0 < x < L {\displaystyle 0<x<L}
  • t > 0 {\displaystyle t>0}
境界条件
  • G ( x = 0 ) = 0 {\displaystyle G(x=0)=0} 、 G ( x = L ) = 0 {\displaystyle G(x=L)=0}
  • G ( t < τ ) = 0 {\displaystyle G(t<\tau )=0}

ここで熱拡散率（m 2 /s）、ディラックのデルタ関数です。この関数は他の場所で開発されています。[12] [13] α {\displaystyle \alpha } δ {\displaystyle \delta }

X20

別の直交座標系の例として、数X20は、 x = 0にノイマン（タイプ2）境界を持つ半無限体（）内のグリーン関数を表します。ここで、Xは直交座標、2はx = 0におけるタイプ2境界条件、0はにおけるゼロ次タイプ境界条件（有界性）を表します。X20グリーン関数の 境界値問題は次のように与えられます 0 < x < ∞ {\displaystyle 0<x<\infty } x = ∞ {\displaystyle x=\infty }

方程式 ∂ 2 G ∂ x 2 + 1 α δ ( t − τ ) δ ( x − x ′ ) = 1 α ∂ G ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{\alpha }}\delta (t-\tau )\delta (x-x')={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial G}{\partial t}}}
領域
  • 0 < x < ∞ {\displaystyle 0<x<\infty }
  • t > 0 {\displaystyle t>0}
境界条件
  • ∂ G ∂ n | x = 0 = 0 {\displaystyle \left.{\frac {\partial G}{\partial n}}\right|_{x=0}=0} は有界であり、 G | x → ∞ {\displaystyle \left.G\right|_{x\to \infty }}
  • G ( t < τ ) = 0 {\displaystyle G(t<\tau )=0}

このGFは他の場所でも出版されている。[14] [15]

X10Y20

2次元の例として、数X10Y20は、 x = 0にディリクレ（タイプ1）境界、y = 0にノイマン（タイプ2）境界を持つ1/4無限体（, ）上のグリーン関数を表す。X10Y20グリーン関数の境界値問題は次のように与えられる 。 0 < x < ∞ {\displaystyle 0<x<\infty } 0 < y < ∞ {\displaystyle 0<y<\infty }

方程式 ∂ 2 G ∂ x 2 + ∂ 2 G ∂ y 2 + 1 α δ ( t − τ ) δ ( x − x ′ ) δ ( y − y ′ ) = 1 α ∂ G ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}G}{\partial y^{2}}}+{\frac {1}{\alpha }}\delta (t-\tau )\delta (x-x')\delta (y-y')={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial G}{\partial t}}}
領域
  • 0 < x < ∞ {\displaystyle 0<x<\infty }
  • 0 < y < ∞ {\displaystyle 0<y<\infty }
  • t > 0 {\displaystyle t>0}
境界条件
  • G ( x = 0 ) = 0 {\displaystyle G(x=0)=0} は有界であり、 G | x → ∞ {\displaystyle \left.G\right|_{x\to \infty }}
  • ∂ G ∂ n | y = 0 = 0 {\displaystyle \left.{\frac {\partial G}{\partial n}}\right|_{y=0}=0} は有界であり、 G | y → ∞ {\displaystyle G|_{y\to \infty }}
  • G ( t < τ ) = 0 {\displaystyle G(t<\tau )=0}

関連する半空間および1/4空間GFの応用も利用可能である。[16]

円筒座標の例

R03

円筒座標系の例として、R03は、r = aにおけるタイプ3（ロビン）境界条件で、円筒（ 0 < r < a ）内の熱方程式を満たすグリーン関数を表します。ここで、文字Rは円筒座標系、0は円筒の中心（r = 0）における0番目の境界条件（有界性）、3はr = aにおけるタイプ3（ロビン）境界条件を表します。R03グリーン関数の境界値問題は次のように与えられます

方程式 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ G ∂ r ) + 1 α δ ( t − τ ) δ ( r − r ′ ) 2 π r ′ = 1 α ∂ G ∂ t {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial G}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\alpha }}\delta (t-\tau ){\frac {\delta (r-r')}{2\pi r'}}={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial G}{\partial t}}}
領域
  • 0 < r < a {\displaystyle 0<r<a}
  • t > 0 {\displaystyle t>0}
境界条件
  • G ( r = 0 ) {\displaystyle G(r=0)} は有界である、、 k ∂ G ∂ n | r = a + h G | r = a = 0 {\displaystyle \left.k{\frac {\partial G}{\partial n}}\right|_{r=a}+\left.hG\right|_{r=a}=0}
  • G ( t < τ ) = 0 {\displaystyle G(t<\tau )=0}

ここで熱伝導率（W/(m・K)）、熱伝達率（W/(m・2・K)）です。この熱伝達係数については、Carslaw & Jaeger (1959, p. 369)、Cole et al. (2011, p. 543)を参照してください。 k {\displaystyle k} h {\displaystyle h}

R10

別の例として、数値R10は、 r = aでタイプ1（ディリクレ）境界条件を持つ円筒状の空隙（a < r < ）を含む大きな物体のグリーン関数を表します。ここでも、文字Rは円筒座標系、数値1はr = aでのタイプ1境界、数値0はrの大きな値でのタイプ0境界（有界性）を表します。R10グリーン関数の境界値問題は次のように与えられます ∞ {\displaystyle \infty }

方程式 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ G ∂ r ) + 1 α δ ( t − τ ) δ ( r − r ′ ) 2 π r ′ = 1 α ∂ G ∂ t {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial G}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\alpha }}\delta (t-\tau ){\frac {\delta (r-r')}{2\pi r'}}={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial G}{\partial t}}}
領域
  • a < r < ∞ {\displaystyle a<r<\infty }
  • t > 0 {\displaystyle t>0}
境界条件
  • G ( r = a ) = 0 {\displaystyle G(r=a)=0} は有界であり、 G | r → ∞ {\displaystyle G|_{r\to \infty }}
  • G ( t < τ ) = 0 {\displaystyle G(t<\tau )=0}

このGFは他の場所でも入手可能です。[17] [18]

R01φ00

2次元の例として、数値R01φ00は、角度依存性を持つ円柱上のグリーン関数を表し、r = aにおいてタイプ1（ディリクレ）境界条件が適用される。ここで、文字φは角度（方位角）座標を表し、数値00は角度のゼロ型境界を表す。ここでは、周期境界条件のような物理的な境界は存在しない。R01φ00グリーン関数の境界値問題は、次式で表される。

方程式 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ G ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 G ∂ ϕ 2 + 1 α δ ( t − τ ) δ ( r − r ′ ) 2 π r ′ δ ( ϕ − ϕ ′ ) = 1 α ∂ G ∂ t {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial G}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{\alpha }}\delta (t-\tau ){\frac {\delta (r-r')}{2\pi r'}}\delta (\phi -\phi ')={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial G}{\partial t}}}
領域
  • 0 < r < a {\displaystyle 0<r<a}
  • 0 < ϕ < 2 π {\displaystyle 0<\phi <2\pi }
  • t > 0 {\displaystyle t>0}
境界条件
  • G ( r = 0 ) {\displaystyle G(r=0)} は有界である、、 G ( r = a ) = 0 {\displaystyle G(r=a)=0}
  • G ( ϕ = 0 ) = G ( ϕ = 2 π ) {\displaystyle G(\phi =0)=G(\phi =2\pi )} 、 ∂ G ∂ ϕ | ϕ = 0 = ∂ G ∂ ϕ | ϕ = 2 π {\displaystyle \left.{\frac {\partial G}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}=\left.{\frac {\partial G}{\partial \phi }}\right|_{\phi =2\pi }}
  • G ( t < τ ) = 0 {\displaystyle G(t<\tau )=0}

このGFには過渡的[19]と定常的[20]の両方の形態がある。

球座標の例

RS02

球面座標系の例として、RS02は、r = bでタイプ2（ノイマン）境界条件を持つ固体球（ 0 < r < b ）のグリーン関数を表します。ここで、文字RSはラジアル球面座標系、0はr = 0におけるゼロ次境界条件（有界性）、2はr = bにおけるタイプ2境界を表します。RS02グリーン関数の境界値問題は次のように与えられます

方程式 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ G ∂ r ) + 1 α δ ( t − τ ) δ ( r − r ′ ) 4 π r 2 = 1 α ∂ G ∂ t {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial G}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\alpha }}\delta (t-\tau ){\frac {\delta (r-r')}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial G}{\partial t}}}
領域
  • 0 < r < b {\displaystyle 0<r<b}
  • t > 0 {\displaystyle t>0}
境界条件
  • G ( r = 0 ) {\displaystyle G(r=0)} は有界である、、 ∂ G ∂ n | r = a = 0 {\displaystyle \left.{\frac {\partial G}{\partial n}}\right|_{r=a}=0}
  • G ( t < τ ) = 0 {\displaystyle G(t<\tau )=0}

このGFは他の場所でも入手可能です。[21]

参照

参考文献

  1. ^ Luikov 1968
  2. ^ オズシュク、M. ネカティ (1980)。熱伝導(第 1 版)。ニューヨーク: ワイリー。ISBN 047105481X。
  3. ^ Nowak, A.; Białecki, R.; Kurpisz, K. (1987年2月). 「直方体および円筒座標系における熱伝導の境界値問題における固有値の評価」. International Journal for Numerical Methods in Engineering . 24 (2): 419– 445. Bibcode :1987IJNME..24..419N. doi :10.1002/nme.1620240210
  4. ^ Beck, James V.; Litkouhi, Bahman (1988年3月). 「基本形状における熱伝導番号体系」. International Journal of Heat and Mass Transfer . 31 (3): 505– 515. doi :10.1016/0017-9310(88)90032-4.
  5. ^ Al-Nimr, MA; Alkam, MK (1997年9月19日). 「一般化された熱境界条件」.熱と質量伝達. 33 ( 1–2 ): 157– 161. Bibcode :1997HMT....33..157A. doi :10.1007/s002310050173. S2CID  119549322.
  6. ^ de Monte, Filippo (2006年9月). 「遷移時間スケールを用いた多層過渡熱伝導」. International Journal of Thermal Sciences . 45 (9): 882– 892. Bibcode :2006IJTS...45..882D. doi :10.1016/j.ijthermalsci.2005.11.006.
  7. ^ Lefebvre, G. (2010年12月). 「一次元均質スラブにおける過渡熱伝導の一般的なモーダルベース数値シミュレーション」. Energy and Buildings . 42 (12): 2309– 2322. Bibcode :2010EneBu..42.2309L. doi :10.1016/j.enbuild.2010.07.024.
  8. ^ Toptan, A.; Porter, NW; Hales, JD (2020). 「有限要素コードアプリケーションを用いた熱伝導コード検証マトリックスの構築」. Journal of Verification, Validation and Uncertainty Quantification . 5 (4): 041002. doi :10.1115/1.4049037. OSTI  2352626.
  9. ^ コールら 2011
  10. ^ 「グリーン関数ライブラリ」 。 2020年11月19日閲覧。
  11. ^ 「Exact Analytical Conduction Toolbox」 . 2021年3月4日閲覧。
  12. ^ ルイコフ 1968, 388ページ
  13. ^ コールら 2011
  14. ^ ルイコフ 1968, 387ページ
  15. ^ カースロー＆イェーガー 1959年、276ページ
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  17. ^ カースロー＆イェーガー 1959年、378ページ
  18. ^ Thambynayagam, RKM (2011). 『拡散ハンドブック』. McGraw-Hill. p. 432. ISBN 9780071751841。
  19. ^ Cole et al. 2011, p. 554
  20. ^ メルニコフ、YA (1999)。関数と行列に影響を与える。ニューヨーク：マーセル・デッカー。 p. 223.ISBN​ 9780824719418。
  21. ^ Cole et al. 2011, p. 309
  • Carslaw, HS; Jaeger, JC (1959).固体の熱伝導. オックスフォード大学出版局. ISBN 9780198533689。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  • コール、ケビン・D.；ベック、ジェームズ；ハジ＝シェイク、A.；リトコウヒ、バフマン (2011).グリーン関数を用いた熱伝導（第2版）. doi :10.1201/9781439895214. ISBN 9781439813546。
  • ルイコフ、AV (1968).解析的熱拡散理論. アカデミックプレス. p. 388. ISBN 0124597564。
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