ハーンの埋め込み定理

線形順序群の説明

数学、特にアーベル群上の順序構造を扱う抽象代数学の分野において、ハーンの埋め込み定理はすべての線型順序アーベル群を簡潔に記述する。この定理はハンス・ハーンにちなんで名付けられている。^[1]

概要

定理は、すべての線形順序付きアーベル群G は、辞書式順序を備えた加法群の順序付き部分群として埋め込むことができることを述べています。ここで、は実数の加法群（標準順序付き）、 $Ωは$ Gのアルキメデス同値類の集合、は $Ω$ からへの関数のうち、順序付き集合の外側で消えるすべての関数の集合です。 $\mathbb {R} ^{\Omega }$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{\Omega }$ $\mathbb {R}$

0 をGの単位元とする。 Gの任意の非ゼロ元gについて、元gまたは − gのうち正確に 1 つが0 より大きい。この元を | g | と記す。Gの2 つの非ゼロ元gおよびhは、 N | g | > | h |かつM | h | > | g | となる自然数NおよびMが存在する場合、アルキメデス同値である。直感的には、これはgもhも他方に関して「無限小」ではないことを意味する。群Gがアルキメデス同値である場合、すべての非ゼロ元がアルキメデス同値である。この場合、 $Ωは$ シングルトンであるため、実数の群もシングルトンである。すると、ハーンの埋め込み定理はホルダーの定理に簡約される（線型順序付きアーベル群がアルキメデスであるための必要十分条件は、それが実数の順序付き加法群の部分群である場合に限る）。 $\mathbb {R} ^{\Omega }$

Gravett (1956) は定理の明確な記述と証明を与えている。Clifford (1954) と Hausner & Wendel (1952) の論文は、共に別の証明を与えている。Fuchs & Salce (2001, p. 62) も参照のこと。

参照

アルキメデス群

参考文献

^ 「lo.logic - ハーンの埋め込み定理と集合論における最古の未解決問題」. MathOverflow . 2021年1月28日閲覧。

フックス、ラースロー; サルセ、ルイージ (2001) 『非ノイザン領域上の加群』、数学サーベイズ・アンド・モノグラフ、第84巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1963-0、MR 1794715
Ehrlich, Philip (1995), 「ハーンの『非相対性理論』とその現代的大きさ理論の起源、そしてそれらを計測する数」、Hintikka, Jaakko (編)『From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics』(PDF)、Kluwer Academic Publishers、pp. 165– 213、2014年10月27日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2015年3月27日取得
Hahn, H. (1907)、「Über die nichtarchimedischen Größensysteme.」、Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften、ウィーン、数学 - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (ドイツ語)、116 : 601– 655
グラヴェット, KAH (1956)、「順序付きアーベル群」、数学季刊誌、第2シリーズ、7 : 57–63、doi :10.1093/qmath/7.1.57
クリフォード, AH (1954)、「順序付きアーベル群に関するハーンの定理に関する注釈」、アメリカ数学会誌、5 (6): 860– 863、doi :10.2307/2032549、JSTOR 2032549
ハウスナー, M.; ウェンデル, JG (1952)、「順序付きベクトル空間」、アメリカ数学会誌、3 (6): 977– 982、doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0052045-1

[1] 「lo.logic - ハーンの埋め込み定理と集合論における最古の未解決問題」. MathOverflow . 2021年1月28日閲覧。