浜田方程式

コーポレートファイナンスにおいて、浜田方程式は、レバレッジのかかった企業の財務リスクと事業リスクを分離する方法として用いられる方程式です。この方程式は、モディリアーニ＝ミラー定理と資本資産価格モデルを組み合わせたものです。レバレッジベータの決定に役立ち、これを通じて企業の最適な資本構成を導き出します。この理論を提唱したファイナンス学教授、 ロバート・浜田にちなんで名付けられました。

浜田の式は、レバレッジ企業（負債と株式の両方で資金調達している企業）のベータと、レバレッジなし企業（負債のない企業）のベータを関連付けるものです。この式は、資本構成、ポートフォリオ管理、リスク管理など、金融の様々な分野で有用であることが証明されています。この式は、MBAのコーポレートファイナンスやバリュエーションの授業でよく教えられています。この式は、比較対象企業の資本コストに基づいて、レバレッジ企業の資本コストを決定するために使用されます。ここで比較対象企業とは、対象企業と同様の事業リスクを持ち、したがってレバレッジなしのベータも類似している企業を指します。

方程式

式は[1]である。

β L = β U [ 1 + ( 1 − T ) ϕ ] ( 1 ) {\displaystyle \beta _{L}=\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]\qquad (1)}

ここで、β Lとβ Uはそれぞれレバレッジ付きベータとレバレッジなしベータ、T は税率とレバレッジ（ここでは企業の 負債Dと資本Eの比率として定義）です。 ϕ {\displaystyle \phi \,\!}

浜田の式の重要性は、事業リスク（ここではレバレッジなしの企業のベータβ Uに反映されている）と、レバレッジありの企業のベータβ L（レバレッジによる財務リスクを含む）を分離していることである。一般的に一定とみなされる税率の影響を除けば、この2つのベータの乖離は、事業の資金調達方法にのみ起因する。

この式は一般に成り立つと誤解されることが多い。しかし、浜田方程式の背後にはいくつかの重要な仮定がある。 [2]

  1. 浜田の式は、モディリアーニとミラーによる、負債が一定、つまり負債額が時間の経過とともに一定である場合の税額控除額の定式化に基づいています。企業が一定のレバレッジ方針に従う場合、つまり負債資本が自己資本の一定割合になるように資本構成をリバランスする場合、この式は正しくありません。これは、固定ドル負債よりも一般的で現実的な仮定です（Brealey、Myers、Allen、2010年）。企業が負債対自己資本比率を継続的にリバランスすると仮定する場合、浜田の式はハリス・プリングルの式に置き換えられます。企業が年に1回など定期的にのみリバランスする場合は、マイルズ・エゼルの式を使用します。
  2. 負債のベータβ Dはゼロです。これは、負債資本に、利息と元本の支払が期日に行われないリスクが無視できる場合です。期日通りに利息が支払われるということは、利息費用に対する税額控除も、利息が支払われた期間に実現されることを意味します。
  3. 税遮蔽効果の計算に用いられる割引率は、負債資本コストに等しいと仮定されている（したがって、税遮蔽効果は負債と同じリスクを持つ）。これと（1）における負債比率一定という仮定から、税遮蔽効果は負債の市場価値に比例することがわかる：税遮蔽効果 = T×D。

導出

この簡略化された証明は、浜田の原論文（Hamada, RS 1972）に基づいています。ある企業のベータは次の式で表されることが分かっています。

β i = c o v ( r i , r M ) σ 2 ( r M ) ( 2 ) {\displaystyle \beta _{i}={\frac {cov(r_{i},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}\qquad (2)}

また、レバレッジをかけていない企業とレバレッジをかけている企業の自己資本利益率は次の通りであることが分かっています。

r E , U = E B I T ( 1 − T ) − Δ I C E U ( 3 ) {\displaystyle r_{E,U}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC}{E_{U}}}\qquad (3)}
r E , L = E B I T ( 1 − T ) − Δ I C + D e b t n e w − I n t e r e s t E L ( 4 ) {\displaystyle r_{E,L}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC+Debt_{new}-Interest}{E_{L}}}\qquad (4)}

ここで、は純資本支出と純運転資本の変化の合計です。(3)式と(4)式を(2)式に代入すると、市場と株式キャッシュフローの構成要素間の共分散がゼロ（したがってβ ∆IC =β新規負債=β利息=0）と仮定すると、EBITと市場間の共分散を除き、以下の式(5)が得られます。 Δ I C {\displaystyle \Delta IC}

β U = c o v ( E B I T ( 1 − T ) E U , r M ) σ 2 ( r M ) {\displaystyle \beta _{U}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{U}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}}
β L = c o v ( E B I T ( 1 − T ) E L , r M ) σ 2 ( r M ) {\displaystyle \beta _{L}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{L}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}}
E L β L = E U β U → β L = E U E L β U {\displaystyle E_{L}\beta _{L}=E_{U}\beta _{U}\rightarrow \beta _{L}={\frac {E_{U}}{E_{L}}}\beta _{U}}

よく知られた式を得るには、企業が全額自己資本で資金調達し、税率がゼロの場合、企業の資産価値と自己資本価値が等しいと仮定します。数学的には、これは税率がゼロの場合のレバレッジのない企業の価値を意味します：V U =V A =E U。レバレッジのない企業の価値を固定し、自己資本の一部を負債に置き換えた（D>0）場合、法人税がないため、企業価値は変わりません。この状況では、レバレッジのある企業の価値は（6）です。

V L = V U = V A = E U = E L | T = 0 + D {\displaystyle V_{L}=V_{U}=V_{A}=E_{U}=E_{L|T=0}+D}

税率がゼロより大きく（T>0）、財務レバレッジがある場合（D>0）、レバレッジをかけた企業とかけていない企業は等しくありません。これは、レバレッジをかけた企業の価値が、税盾の現在価値だけ大きくなるためです。

∑ i D r D T ( 1 + r D ) i = D r D T r D = D T {\displaystyle \sum _{i}{\frac {Dr_{D}T}{(1+r_{D})^{i}}}={\frac {Dr_{D}T}{r_{D}}}=DT} 、

だから（7）

V L = V { U , A } + D T = E U + D T = E L | T = 0 + D + D T = E L | T > 0 + D {\displaystyle V_{L}=V_{\{U,A\}}+DT=E_{U}+DT=E_{L|T=0}+D+DT=E_{L|T>0}+D}

ここで、V Aはレバレッジをかけていない企業の資産価値であり、これは上で固定した。(7)式から、E Uは(8)式となる。

E U = E L | T > 0 + D − D T {\displaystyle E_{U}=E_{L|T>0}+D-DT}

(5)式と(8)式を組み合わせると、レバレッジ型および非レバレッジ型の株式ベータのよく知られた式が得られます。

β L = E L + D − D T E L β U = [ 1 + D E L ( 1 − T ) ] β U = β U [ 1 + ( 1 − T ) ϕ ] {\displaystyle \beta _{L}={\frac {E_{L}+D-DT}{E_{L}}}\beta _{U}=\left[1+{\frac {D}{E_{L}}}(1-T)\right]\beta _{U}=\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]}

ここで、 Iは利払いの合計、Eは資本、Dは負債、Vは企業カテゴリーの価値 (レバレッジありまたはレバレッジなし)、Aは資産、Mは市場参照、Lはレバレッジあり、Uはレバレッジなしカテゴリー、rは収益率、T は税率を示します。

参考文献

  1. ^ Hamada, RS (1972)「企業の資本構成が普通株のシステマティックリスクに及ぼす影響」 The Journal of Finance、27(2):435-452。
  2. ^ Pratt, S. P.、Grabowski, RJ (2008). 『資本コスト：応用と事例』第3版. ホーボーケン、ニュージャージー州: John Wiley & Sons, Inc., p. 144.

さらに読む

  • Brealey, R., Myers, S., Allen, F. (2010)「Principles of Corporate Finance」、McGraw-Hill、ニューヨーク、ニューヨーク州、第10版、第19章、485～486頁。
  • Cohen, RD (2007)「資本構成への応用のためのハマダ方程式へのデフォルトリスクの組み込み」Wilmott Magazine (論文ダウンロード)
  • Conine, TEおよびTamarkin, M. (1985)「部門別資本コストの推定：レバレッジの調整」『Financial Management』14、春号、54ページ。
  • Harris, RS および Pringle, JJ (1985)「リスク調整割引率 - 平均リスクのケースからの拡張」、Journal of Financial Research、(1985 年秋): 237–244。
  • マイルズ、J.、エゼル、J. (1980)「加重平均資本コスト、完全資本市場、プロジェクト寿命：明確化」『金融・定量分析ジャーナル』 15: 719–730.
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