LQGのハミルトン制約

一般相対論のADM定式化では、時空を空間スライスと時間に分割し、基本変数は空間スライス上の誘導計量、 （時空計量によって空間スライス上に誘導される距離関数）と、その外在曲率に関連する共役運動量変数、 （これは空間スライスが時空に対してどのように曲がるかを示し、誘導計量が時間とともにどのように発展するかの尺度である）とされる。[ ^1]これらは計量正準座標である${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle K^{ab}(x)}$

場の時間発展などのダイナミクスはハミルトン制約によって制御されます。

ハミルトン制約の正体は量子重力における主要な未解決問題であり、そのような特定の制約から 物理的観測可能なものを抽出することも未解決問題である。

1986年、アベイ・アシュテカーは、 3次元空間スライス上の計量正準変数をSU(2)ゲージ場とその相補変数を用いて書き換えるという特異な方法を表現するために、新しい正準変数の集合、アシュテカー変数を導入した。^[2]この再定式化により、ハミルトニアンは大幅に簡素化された。これは量子一般相対論のループ表現^[3]、ひいてはループ量子重力理論へと繋がった。

ループ量子重力表現の中で、トーマス・ティーマンはそのような制約条件の提案として数学的に厳密な演算子を定式化することができました。 ^{[4]この演算子は完全で一貫性のある量子理論を定義しますが、古典的な}一般相対性理論との矛盾（量子制約代数は閉じていますが、一般相対性理論の古典的な制約代数とは同型ではなく、これは矛盾の状況証拠と見なされますが、矛盾の証明にはまったくなりません）のために、この理論の物理的現実性に疑問が生じており、そのため変種が提案されています。

ハミルトニアンの古典的な表現

計量の定式化

アイデアは、正準変数とを量子化し、3次元計量空間上の波動関数に作用する演算子にし、次にハミルトニアン（およびその他の制約）を量子化するというものでした。しかし、このプログラムはすぐに、ハミルトニアン制約の非多項式性など、さまざまな理由から非常に困難であると見なされるようになりました ${\displaystyle q_{ab}}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$

${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)}$

ここで、 3つの計量 のスカラー曲率です。これは正準変数とその導関数における非多項式表現であるため、量子演算子への昇格は非常に困難です。 ${\displaystyle \;^{3}R}$ ${\displaystyle q_{ab}(x)}$

アシュテカー変数を使用した式

アシュテカー変数の配置変数はゲージ場または接続のように振る舞う。その正準共役運動量は、密度化された「電場」またはトライアド（密度化は）である。重力との関連は、密度化されたトライアドを用いて空間計量を再構成できることである。 ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}}$ 。

稠密化された三つ組は一意ではなく、実際には内部添字に関して空間内で局所的な回転を行うことができます。これがゲージ不変性の起源です。この接続は外在曲率を再構成するために使用できます。関係は次のように与えられます ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

ここで、 は、 および によってスピン接続、と関連しています。 ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

アシュテカー変数に関して、制約の古典的な表現は次のように与えられる。

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$ 。

ここで、ゲージ場の場の強度テンソルである。因子 のため、これはアシュテカー変数に関して非多項式である。条件を課すので、 ${\displaystyle F_{ab}^{k}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle H=0}$ ,

代わりに、稠密化ハミルトニアンを考えることができます。 ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0}$ 。

このハミルトニアンは、アシュテカー変数に関して多項式になりました。この発展は、正準量子重力計画への新たな希望をもたらしました。^[5]アシュテカー変数はハミルトニアンを簡素化できるという利点がありますが、変数が複素数になってしまうという問題があります。理論を量子化すると、複素一般相対論ではなく実一般相対論を確実に回復することが困難になります。また、稠密化されたハミルトニアンを量子演算子に昇格させることにも深刻な困難が伴います。

現実条件の問題に対処する一つの方法は、符号を、つまりローレンツ型ではなくユークリッド型とすれば、実変数についてはハミルトニアンの単純な形を維持できることに着目した。そして、ローレンツ型理論を回復するために、一般化ウィック回転と呼ばれるものを定義できる。 ^[6]これは位相空間におけるウィック変換であり、時間パラメータ の解析接続とは何の関係もない。 ${\displaystyle (+,+,+,+)}$ ${\displaystyle t}$

アシュテカー変数の実数定式化の表現

トーマス・ティーマンは上記の両方の問題に対処することができた。^[4]彼は実接続

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

実アシュテカー変数の場合、完全なハミルトニアンは

${\displaystyle H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$ 。

ここで、定数はバルベロ・イミルジパラメータである。^[7]定数はロレンツシグネチャの場合は-1、ユークリッドシグネチャの場合は+1である。は稠密化された三項と複雑な関係を持ち、量子化の際に深刻な問題を引き起こす。アシュテカー変数は、2番目のより複雑な項を消滅させることを選択したと見ることができる（ユークリッド理論ではこの項は の実際の選択に対して残るため、 1番目の項は と表記される）。また、因子の問題も依然として残っている 。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \beta =i}$ ${\displaystyle H_{E}}$ ${\displaystyle \beta =\pm 1}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

ティーマンはそれを実際に機能させることができた。まず、彼は等式を使って 面倒な部分を簡素化することができた。${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

音量は どこにありますか${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}|}}}$ 。

ハミルトン制約の最初の項は

${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$

ティーマン恒等式を用いると、このポアソン括弧は量子化時に交換子に置き換えられます。同様のトリックを用いて2番目の項を処理できることがわかります。なぜ稠密化された3つ組によって与えられるのでしょうか？これは適合条件から生じます ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle D_{a}E_{b}^{i}=0}$ 。

これを解くには、レヴィ・チヴィタ接続を方程式から計算するのとほぼ同じ方法、つまり、様々な添え字を回転させて、それらを加算したり減算したりします（導出の詳細についてはスピン接続の記事を参照してください。ただし、そこでは若干異なる表記法を使用しています）。次に、これを用いて、これを稠密化された三元関数で書き直します。結果は複雑で非線形ですが、0次の の同次関数となります。${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$ ${\displaystyle \det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}={1 \over 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b}^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^{l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \over 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{\Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E}})}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}})}{\Big ]}}$ 。

この複雑な関係によって生じる問題を回避するために、ティーマンはまずガウスゲージ不変量を定義する。

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

ここで、 ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$ 。

（これは、が定数再スケーリングの標準変換の生成元であり、が零次の同次関数であるという事実から生じるためである）。したがって、 ${\displaystyle \{\Gamma _{a}^{i},K\}=0}$ ${\displaystyle \beta K}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_{i}^{a}/\beta }$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$

そして、配置変数とハミルトニアンの第2項に関する 式を求める。${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}}$ 。

なぜ量子化が容易なのでしょうか？それは、量子化の方法が既に分かっている量で書き直すことができるからです。具体的には、次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}}$

ここでは、外在曲率の積分された密度化されたトレースが「体積の 時間微分」であることを使用しました。

物質との結合

スカラー場との結合

曲がった時空における スカラー場のラグランジアン

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -V(\varphi ))}$ 。

ここで、は時空インデックスである。通常の を用いてスカラー場の共役運動量を定義すると、ハミルトニアンは次のように書き直される。 ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle {\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}}(q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$ ,

ここで、とはそれぞれ減衰とシフトです。アシュテカー変数では、これは次のように表されます ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{a}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

いつものように、（スミアリングされた）空間微分同相拘束はシフト関数と関連し、（スミアリングされた）ハミルトニアンはラプス関数と関連している。したがって、空間微分同相拘束とハミルトニアン拘束を単純に読み取れば、 ${\displaystyle N^{a}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

${\displaystyle H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)}$ 。

これらは、それぞれ重力場の空間微分同相写像とハミルトン拘束に加算（乗算）される必要があります。これは、スカラー物質と重力の結合を表しています ${\displaystyle 8\pi G\beta }$

フェルミオン場との結合

重力とスピノル場を結合させるには問題があります。一般共変群には有限次元スピノル表現は存在しません。しかし、ローレンツ群には当然スピノル表現が存在します。この事実は、時空のあらゆる点で平坦な接空間を記述するテトラッド場を用いることで利用されます。ディラック行列は 四周波に縮約されます。 ${\displaystyle \gamma ^{I}}$

${\displaystyle \gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)}$ 。

一般共変なディラック方程式を構築したい。平坦な接空間の下では、ローレンツ変換はスピノルを次のように変換する。

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi }$

平坦接空間上の局所ローレンツ変換を導入したので、は時空の関数である。これは、スピノルの偏微分がもはや真のテンソルではないことを意味する。いつものように、ローレンツ群をゲージ化するための接続場を導入する。スピン接続で定義される共変微分は、 ${\displaystyle \epsilon _{IJ}}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }^{IJ}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a}^{IJ}\sigma _{IJ})\psi }$ 、

は真のテンソルであり、ディラック方程式は次のように書き直されます。

${\displaystyle (i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0}$ 。

共変形式のディラック作用は

${\displaystyle S_{Dirac}={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]}$

ここで はディラック双スピノルであり、はその共役である。共変微分はテトラッド を消滅させるように定義される。 ${\displaystyle \Psi =(\psi ,\eta )}$ ${\displaystyle {\overline {\Psi }}=(\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}}$ ${\displaystyle E_{a}^{I}}$

電磁場への結合

曲がった時空における電磁場の作用は

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })}$

ここで

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu }-\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }}$

は電界強度テンソルであり、その成分は

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}}$

および${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}}$

ここで電界は次のように表される

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\mathcal {A}}}_{a}}$

そして磁場は。

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}}$ 。

マクスウェル作用による古典的解析とそれに続く時間ゲージパラメータ化を使用した標準定式化の結果は次のようになります。

${\displaystyle H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}}$

ここで、および は標準座標です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

ヤン・ミルズ場との結合

曲がった時空における あるコンパクトゲージ群に対するヤン・ミルズ場の作用は${\displaystyle G}$

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }^{I}{\mathcal {F}}_{\alpha \beta }^{J}\delta _{IJ})}$

ここで、ある接続の曲率です。標準モデルでは、 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G-}$ ${\displaystyle U(1)\times SU(2)\times SU(3)}$

${\displaystyle H={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]}$

重力と結合した物質の全ハミルトニアン

重力-物質結合系のダイナミクスは、物質ダイナミクスを定義する項を重力ハミルトニアンに加えるだけで簡単に定義される。完全なハミルトニアンは次のように記述される。

${\displaystyle H=H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}}$ 。

量子ハミルトン制約

この節では、純粋重力、つまり物質が存在しない状態のハミルトニアンの量子化について議論する。物質が存在する場合については次の節で議論する。

原始的な形での制約条件は特異なため、適切なテスト関数によって「ぼかす」必要がある。ハミルトニアンは次のように書ける。

${\displaystyle H(N)=\int d^{3}xN\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}\epsilon ^{abc}}$ 。

簡潔にするために、ハミルトン制約の「ユークリッド」部分のみを検討します。完全な制約への拡張については文献を参照してください。実際には関数には多くの異なる選択肢があり、最終的には（ぼやけた）ハミルトン制約が得られます。それらすべてを消滅させることは、元の記述と同等です

ループ表現

ウィルソンループは次のように定義されます

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

ここで、小さい値の因子が左側に現れるような経路順序を示し、代数 を満たす${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}}$ 。

このことから、

${\displaystyle Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})}$ 。

は、 を意味します。 ${\displaystyle Tr(T^{i})=0}$

ウィルソンループは互いに独立ではなく、実際にはスピンネットワーク状態と呼ばれるそれらの特定の線形結合が直交基底を形成します。スピンネットワーク関数が基底を形成するため、任意のガウスゲージ不変関数は次のように形式的に展開できます。

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]}$ 。

これは逆ループ変換と呼ばれます。ループ変換は次のように表されます。

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]}$

量子力学における運動量表現に移行するときに行うことと類似しています

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$ 。

ループ変換はループ表現を定義します。接続表現の演算子が与えられた場合、 ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]}$ ,

ループ変換によって 定義します。${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]}$ 。

これは、ループ表現における対応する演算子を次のように 定義する必要があることを意味します${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$ ,

または

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }s_{\gamma }[A])\Psi [A]}$ ,

ここで、 は逆の因数順序を持つ演算子を意味します。この演算子のスピンネットワークへの作用を接続表現での計算として評価し、その結果を純粋にループによる操作として並べ替えます（スピンネットワークへの作用を考える際には、波動関数への作用に選択されたものとは逆の因数順序を持つ変換したい演算子を選択する必要があることを覚えておく必要があります）。これは演算子 の物理的な意味を与えます。例えば、 が空間微分同相写像である場合、これはの接続場をが である場所に保持しながら、代わりに 上で空間微分同相写像を実行するものと考えることができます。 したがって、 の意味は上の空間微分同相写像、つまり の引数です${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s_{\gamma }[A]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

ループ表現におけるホロノミー演算子は乗算演算子であり、

${\displaystyle {\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]}$

ハミルトン制約の量子演算子への昇格

ループ表現において、ハミルトン拘束を量子演算子に昇格させる。格子正則化の手順を導入する。空間が四面体に分割されていると仮定する。四面体の大きさが縮小する極限がハミルトン拘束の式に近似するような式を構築する。 ${\displaystyle \Delta }$

各四面体について頂点を一つ選び、 と呼ぶ。 を三つの辺とし、その辺の両端を とする。ループを構築する。 ${\displaystyle v(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle v(\Delta )}$

${\displaystyle \alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}}$

に沿って移動し、そしてと でない点を結ぶ直線（ と表記）に沿って移動し、そして に沿ってに戻ることによって、ホロノミーは ${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle v(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle v(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{j}}$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}}$

四面体が縮む限界の線に沿って、接続を近似します。

${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_{k}^{c}}$

ここで、 は辺の方向のベクトルである。 ${\displaystyle s_{k}^{c}}$ ${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle \lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij}}=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}}$ 。

（これは、場の強度テンソル、つまり曲率が「無限小ループ」の周りのホロノミーを測定するという事実を表しています。）

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{k}}^{-1},V\}{\big )}}$

ここで、和はすべての四面体にわたっている。ホロノミーを代入すると、 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}(I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_{d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}}$ 。

恒等式は体積とのポアソン括弧が消えるため、寄与は接続からのみ生じます。ポアソン括弧はすでに に比例しているので、括弧の外側のホロノミーの恒等式部分のみが寄与します。最終的に、 の周りのホロノミーが となります。ポアソン括弧はパウリ行列に比例し（と定数行列はポアソン括弧の外側に取ることができるため）、トレースを取るため、恒等式項は寄与しません。 の残りの項は となります。現れる3つの長さは、極限での和と組み合わされて積分を生成します ${\displaystyle s_{k}^{c}}$ ${\displaystyle h_{s_{k}}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle h_{\alpha _{ij}}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle s}$

この式はすぐにループ表現内の演算子に昇格することができ、ホロノミーとボリュームの両方がそこで明確に定義された演算子に昇格されます。

三角形分割は、頂点と直線を適切に選択することで、作用するスピンネットワークの状態に適合するように選択されます。極限をとると、三角形分割の直線と頂点のうち、スピンネットワークの直線と頂点に対応しないものが多数存在します。体積が存在するため、ハミルトン拘束は、頂点の非共面直線が少なくとも3つ存在する場合にのみ作用します。

ここでは、ハミルトン拘束の作用が三価頂点にのみ作用することを考えました。より高価数の頂点への作用を計算するのはより複雑です。Borissov、De Pietri、およびRovelliによる論文^{[8]を参照してください。}

有限理論

ハミルトニアンは空間微分同相写像に対して不変ではないため、その作用は運動学的空間上でのみ定義できます。その作用を微分同相写像不変状態に移すことができます。後述するように、これは新しい直線が正確にどこに追加されるかということを意味します。スピンネットワークとが互いに微分同相である状態を考えてみましょう。そのような状態は運動学的空間には存在しませんが、運動学的空間の稠密部分空間のより大きな双対空間に属します。そして、の作用を次のように 定義します${\displaystyle \langle \Psi |}$ ${\displaystyle \langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(N)}$

${\displaystyle \langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle =\lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle }$ 。

追加された直線の位置は無関係です。投影する直線の位置は問題ではありません。なぜなら、微分同相不変状態の空間上で作業しているため、直線を頂点から「近づける」か「遠ざける」かは結果を変えることなく変更できるからです。 ${\displaystyle \Psi }$

空間微分同相写像は、この構成において重要な役割を果たします。もし関数が微分同相写像不変でなければ、追加された直線は頂点まで縮められなければならず、発散が生じる可能性があります。

同様の構成は、物質（スカラー場、ヤン＝ミルズ場、フェルミオン）と結合した一般相対論のハミルトニアンにも適用できます。いずれの場合も、理論は有限で、異常性がなく、明確に定義されています。重力は物質理論の「基本的な調節因子」として作用しているようです。

異常フリー

量子異常は、量子制約代数に古典的に対応する項がない追加の項がある場合に発生します。正しい半古典理論を回復するためには、これらの追加の項を消滅させる必要がありますが、これは追加の制約を意味し、理論の自由度の数を減らして非物理的にします。タイマンのハミルトン制約は異常フリーであることが示されます。^[要出典]

ハミルトン制約の核

核とは、ハミルトン拘束条件によって消滅する状態空間である。提案された作用素の完全かつ厳密な核の明示的な構成を概説することができる。これらは、体積がゼロでなく、宇宙定数がゼロでなくてもよい初めての核である。

すべての制約に対する空間微分同相写像の完全な解空間は、かなり昔にすでに見つかっている。^[9]そして にも、ガウス制約の解の運動学的ヒルベルト空間の内積から誘導される自然な内積が備わっていた。しかし、ハミルトン制約演算子は空間微分同相写像不変状態を保存しないため、上の (稠密に)に対応するハミルトン制約演算子を定義する機会はない。したがって、空間微分同相写像制約を単純に解いてからハミルトン制約を解くことはできず、 の内積構造を物理的な内積の構築に用いることはできない。この問題は、マスター制約 (下記参照) を使用することで回避でき、先ほど述べた結果を適用してから物理的なヒルベルト空間を取得できるようになる。 ${\displaystyle C^{a}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

ここにさらに追加されます...

ハミルトン制約に対する批判

制約代数の回復。古典的には、

${\displaystyle \{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})}$

ここで

${\displaystyle K^{a}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}M-M\partial _{b}N)/(\det(q))}$

ループ表現では、空間微分同相写像を生成する自己随伴作用素が知られています。したがって、無限小の量子論において、関係式を実装することは不可能であり、せいぜい有限空間微分同相写像でのみ可能です ${\displaystyle \{H(N),H(M)\}}$ ${\displaystyle {\vec {C}}}$

ハミルトニアンの超局所性：ハミルトニアンは頂点にのみ作用し、頂点を線で「装飾する」ことによって作用します。ハミルトニアンは頂点を相互接続したり、線分の価数（「装飾」の範囲外）を変更したりしません。ハミルトニアン制約演算子が特定の頂点に対して行う変更はグラフ全体に伝播せず、その頂点の近傍領域に限定されます。実際、ハミルトニアンを繰り返し作用させると、頂点に近づくにつれて、互いに交差することなく、より多くの新しい辺が生成されます。特に、新たに生成された頂点には作用はありません。これは、例えば、（微分同相不変に定義された）頂点を囲む面の場合、そのような面の面積はハミルトニアンと可換であり、これらの面積に「進化」は生じないことを意味します。なぜなら、「進化」を生成するのはハミルトニアンだからです。これは理論が「伝播に失敗する」ことを示唆している。しかし、ティーマンはハミルトニアンはどこにでも作用すると指摘している。

はヒルベルト空間上で定義されるものの、明示的には知られていないというやや微妙な問題があります（空間微分同相写像までは知られており、選択公理によって存在します）。 ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

これらの困難は、マスター制約プログラムという新しいアプローチによって解決できる可能性があります。

量子化の物質場への拡張

フェルミオン物質

マクスウェル理論

はどちらも密度と重みが1であることに注意してください。いつものように、量子化の前に、制約条件（およびその他の観測可能量）をホロノミーとフラックスで表現する必要があります ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}}$

共通因数は である。前と同様にセル分解を導入し、 ${\displaystyle q_{ab}/{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {q_{ab} \over {\sqrt {q}}}(x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}}$ 。

ヤン＝ミルズ

ゲージ場が非アーベル的であることを除けば、形式的には、表現はマクスウェルの場合と同じように進行します

スカラー場 - ヒッグス場

基本配置演算子は接続変数のホロノミー演算子に類似しており、乗算によって次のように作用する。

${\displaystyle {\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi }$ 。

これらは点ホロノミーと呼ばれる。量子論において演算子に昇格される点ホロノミーの共役変数は、スミア場の運動量とみなされる。

${\displaystyle P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)}$

ここで、は共役運動量場、はテスト関数である。これらのポアソン括弧は次のように与えられる。 ${\displaystyle \pi _{\varphi }}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f(x)h(x,\lambda )}$ 。

量子論では、ポアソン括弧を基本演算子の交換子として表現することが求められる。

${\displaystyle [{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )}$ 。

物質を含む理論の有限性

ティーマンは、通常の量子論における紫外発散が、量子幾何学の量子化された離散的性質を無視した近似の結果としてどのように直接解釈できるかを示した。例えば、ティーマンは、ヤン＝ミルズハミルトニアンに対する作用素が、作用素として扱う限りは明確に定義されているが、滑らかな背景場に 置き換えるとすぐに無限大になることを示している。${\displaystyle E_{a}^{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

マスター制約プログラム

マスター制約

ループ量子重力（LQG）のためのマスター制約プログラム^[10]は、無限の数のハミルトン制約方程式を課すための古典的に同等な方法として提案されました

${\displaystyle H(x)=0}$

単一のマスター制約の観点から言えば、

${\displaystyle M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}}$ 。

これは、問題の制約の2乗に関係します。 は無限にあるのに対し、マスター制約は1つだけであることに注意してください。 が消えれば、無限にある も消えることは明らかです。逆に、 がすべて消えれば も消えるため、それらは同等です ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle M}$

マスター制約は全空間にわたる適切な平均化を伴うため、空間微分同相写像に対して不変である（スカラーとして変換される量のすべての空間「シフト」にわたる和であるため、空間「シフト」に対して不変である）。したがって、（スミアリングされた）空間微分同相写像制約を伴うそのポアソン括弧は単純である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C({\vec {N}})}$

${\displaystyle \{M,C({\vec {N}})\}=0}$ 。

（これも不変である）。また、明らかに、任意のポアソン量はそれ自身と交換可能であり、マスター制約は単一の制約であるため、 ${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle \{M,M\}=0}$ 。

空間微分同相写像間の通常の代数も存在します。これはポアソン括弧構造の劇的な単純化を表しています。

量子演算子への昇進

古典的な表現を次のように書きましょう。

${\displaystyle M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x)}=\int d^{3}x({H \over [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)({H \over [\det(q)]^{1/4}})(y)}$ 。

この式は、1つのパラメータ関数によって規定され、および となる。定義する ${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)}$ ${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,x)=1}$

${\displaystyle V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)}$ 。

どちらの項もハミルトン制約の式と似ていますが、ここではではなく が関係します。これは追加の因子 から来ています。つまり、 ${\displaystyle \{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}}$ ${\displaystyle \{A,V\}}$ ${\displaystyle [\det(q)]^{1/4}}$

${\displaystyle M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\{A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)}$ 。

そこでハミルトン制約と全く同じように進め、四面体への分割を導入し、両方の積分を合計に分割する。

${\displaystyle M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')}$ 。

ここで の意味は の意味と同様です。これは非常に簡略化されたもので、体積演算子のべき乗を単純に変更するだけで を正確に として量子化できます。しかし、マスター拘束のようなグラフを変化させる空間微分同相不変な演算子は、運動学的ヒルベルト空間 上では定義できないことが示されています。この問題の解決策は、 ではなく 上でを定義することです。 ${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$ ${\displaystyle H_{\Delta }}$ ${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$ ${\displaystyle H_{\Delta }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

まず最初に、想定される作用素 の行列要素、つまり二次形式 を計算します。行列要素が を再現するような、唯一の正の自己随伴作用素が存在することを期待します。そのような作用素が存在し、フリードリヒス拡大によって与えられることが示されています。^{[11] [12]}${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$

マスター制約を解き、物理的ヒルベルト空間を誘導する

上述のように、空間微分同相写像制約を単純に解き、次にハミルトン拘束を解いて、空間微分同相写像内積から物理的な内積を誘導することはできません。なぜなら、ハミルトン拘束は空間微分同相写像不変な状態を非空間微分同相写像不変な状態に写すからです。しかし、マスター拘束は空間微分同相写像不変なので、 上で定義できます。したがって、から を得る際に、上述の結果の力を最大限に活用できるようになります。^[9]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

参考文献

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外部リンク

• カルロ・ロヴェッリによる概要
• 物理学レターズ誌に掲載されたティーマンの論文
• ロヴェッリ, カルロ (1998). 「ループ量子重力」. Living Reviews in Relativity . 1 (1) 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Bibcode :1998LRR.....1....1R. doi : 10.12942/lrr-1998-1 . PMC  5567241. PMID 28937180  .