群論において、デデキント群とは、 Gのすべての部分群が正規となるような群 Gのことである。すべてのアーベル群はデデキント群である。非アーベルデデキント群はハミルトン群と呼ばれる。[1]
ハミルトン群の最もよく知られた（そして最も小さい）例は、Q 8で表される位数8の四元数群である。デデキントとベールは（それぞれ有限位数と無限位数の場合において）、すべてのハミルトン群はG = Q 8 × B × Dの直積となることを示した。ここで、Bは基本アーベル2群であり、Dはすべての元が奇数位である 捩れアーベル群である。
デデキント群は、(Dedekind 1897)でデデキント群を研究し、上記の構造定理（有限群について）の一種を証明したリチャード・デデキントにちなんで名付けられました。彼は非可換群を、四元数の発見者であるウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名付けました。
1898年、ジョージ・ミラーはハミルトン群の構造を、その位数とその部分群の位数に基づいて定義しました。例えば、彼は「位数2 aのハミルトン群は、2 2 a − 6 個の四元数群を部分群として持つ」と示しました。2005年、ホルバートら[2]はこの構造を用いて、任意の位数n = 2 e o（oは奇数）のハミルトン群の数を数えました。e < 3の場合、位数nのハミルトン群は存在しませんが、それ以外の場合は位数oのアーベル群と同じ数だけ存在します。
注釈
- ^ Hall (1999). 群論. p. 190.
- ^ ボリス、ホーヴァット;ヤクリッチ、ギャシュペル。ピサンスキー、トマス (2005-03-09)。 「ハミルトニアン群の数について」。arXiv : math/0503183。
参考文献
- デデキント、リヒャルト(1897)、「Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind」、Mathematische Annalen、48 (4): 548– 561、doi :10.1007/BF01447922、ISSN 0025-5831、JFM 28.0129.03、MR 1510943、S2CID 119992274。
- ベア、R. 『組織状況と組織構造、ハイデルベルク市』Akad. Wiss.2, 12–17, 1933
- ホール、マーシャル（1999）、群論、AMS書店、p.190、ISBN 978-0-8218-1967-8。
- ホルバート、ボリス；ヤクリッチ、ガシュペル；ピサンスキ、トマシュ(2005)、「ハミルトン群の数について」、Mathematical Communications、10 (1): 89– 94、arXiv : math/0503183、Bibcode :2005math......3183H。
- ミラー, GA (1898)、「ハミルトン群について」アメリカ数学会報、4 (10): 510– 515, doi : 10.1090/s0002-9904-1898-00532-3。
- タウスキー、オルガ（1970）、「平方和」、アメリカ数学月刊誌、77（8）：805–830、doi：10.2307/2317016、hdl：10338.dmlcz/120593、JSTOR 2317016、MR 0268121。
