ハーコートの定理

ハーコートの定理は幾何学において三角形の面積を、その辺の長さと、その内接円に接する任意の直線から各頂点までの垂線距離の関数として求める公式である。^{[ 1 ]}

この定理はアイルランドの教授J.ハーコートにちなんで名付けられました。^{[ 2 ]}

声明

三角形が与えられており、頂点はA、B、C、対辺の長さはそれぞれa、b、c、面積はKで、三角形の内接円上の任意の点に接する直線が与えられているとする。直線からの頂点の垂直距離をそれぞれa '、b '、c ' と表す。この場合、頂点が内心に対して直線の反対側にあるとき、かつその場合のみ、距離は負となる。

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

退化したケース

接線が三角形の 1 つの辺を含んでいる場合、距離のうち 2 つはゼロとなり、式は、三角形の面積の 2 倍は底辺 (一致する三角形の辺) とその底辺からの高度の積であるというよく知られた式になります。

拡大

もしその直線が三角形の頂点Aの反対側の外接円に接するならば、 ^{[ 1 ] : Thm.3}

${\displaystyle -aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

二重の性質

a'、b'、c'が頂点から任意の内接線までの距離を指すのではなく、側線から任意の点までの距離を指す場合、式

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

真実のままである。^{[ 3 ] : p. 11}

参考文献

1. Dergiades, Nikolaos; Salazar, Juan Carlos (2003), "Harcourt's theorem" (PDF) , Forum Geometricorum , 3 : 117– 124, MR  2004117 , 2021年5月7日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2012年5月3日取得。
2. G.-M., F. (1912)、「Théorème de Harcourt」、Exercises de géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 question résolues、Cours de mathématiques elementaires (in French) (5th ed.)、Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (パリ)、p. 750。
3. ウィリアム・アレン・ウィットワース著『三線座標と2次元現代解析幾何学の他の方法』 Forgotten Books, 2012年（原著 Deighton, Bell, and Co., 1866年）。http ://www.forgottenbooks.com/search ?q=Trilinear+coordinates&t=books