調和射影

数学において、調和写像（そうしょくしゃ）とは、リーマン多様体間の（滑らかな）写像であり、余域上の実数値調和写像を領域上の調和写像に引き戻すものである。調和写像は、水平方向（弱）に共形な、調和写像の特別なクラスを形成する。^[1]${\displaystyle \phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)}$

局所座標において、およびの調和性は非線形システム によって表現される。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tau (\phi )=\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}{\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x_{k}}}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{n}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }\circ \phi {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}\right)=0,}$

ここで、およびはそれぞれ、および上のクリストッフェル記号である。水平共形性は次のように与えられる 。${\displaystyle \phi ^{\alpha }=y_{\alpha }\circ \phi }$ ${\displaystyle {\hat {\Gamma }},\Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}(x){\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}(x){\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}(x)=\lambda ^{2}(x)h^{\alpha \beta }(\phi (x)),}$

ここで、共形因子は膨張と呼ばれる連続関数である。したがって、調和射は偏微分方程式の非線形過剰決定系の解であり、関係する多様体の幾何学的データによって決定される。このため、調和射は発見が困難であり、局所的にさえも一般的な存在理論は存在しない。 ${\displaystyle \lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$

複素解析

の余域が曲面であるとき、ここで扱う偏微分方程式系は計量 の共形変化に対して不変である。これは、少なくとも局所的な研究では、余域をその標準平坦計量を持つ複素平面に選ぶことができることを意味する。この状況において、複素数値関数が調和射となるのは、 ${\displaystyle \phi :(M,g)\to (N^{2},h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Delta _{M}(\phi )=\Delta _{M}(u)+i\Delta _{M}(v)=0}$

そして

${\displaystyle g(\nabla \phi ,\nabla \phi )=\|\nabla u\|^{2}-\|\nabla v\|^{2}+2ig(\nabla u,\nabla v)=0.}$

これは、各点において直交し、かつ同じノルムを持つ勾配を持つ2つの実数値調和関数を探すことを意味します。これは、リーマン多様体からの複素数値調和射がケーラー多様体からの正則関数を一般化し、ケーラー多様体の非常に興味深い性質の多くを備えていることを示しています。 したがって、調和射の理論は複素解析の一般化と見なすことができます。^[1]${\displaystyle u,v:(M,g)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla u,\nabla v}$ ${\displaystyle \phi :(M,g)\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:(M,g,J)\to \mathbb {C} }$

最小限の表面

微分幾何学では、与えられた周囲空間の極小部分多様体を構築することに関心が寄せられています。調和写像はこの目的に有用なツールです。これは、曲面に値を持つそのような写像のすべての正則繊維が、余次元2の領域の極小部分多様体であるという事実に起因します^。[1]これは、4次元多様体、特に リー群や対称空間などの同質空間における極小曲面の族全体を作成するための魅力的な手法となります。^[要出典]${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{z_{0}\})}$ ${\displaystyle \phi :(M,g)\to (N^{2},h)}$ ${\displaystyle (M^{4},g)}$

例

• 恒等写像と定数写像は調和写像です。
• 複素平面上の正則関数は調和写像です。
• 複素ベクトル空間 における正則関数は調和写像である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• リーマン面内の値を持つケーラー多様体からの正則写像は調和写像である。
• ホップ写像 、およびは調和写像である。${\displaystyle \phi :S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle \phi :S^{7}\to S^{4}}$ ${\displaystyle \phi :S^{15}\to S^{8}}$
• コンパクト リー群 の場合、標準的なリーマンファイバは調和写像です。${\displaystyle K\subset H\subset G}$ ${\displaystyle \phi :G/H\to G/K}$
• 最小ファイバーを持つリーマン沈み込みは調和射である。

参考文献

1. 「リーマン多様体間の調和写像」オックスフォード大学出版局。

外部リンク

• Sigmundur Gudmundssonによる「調和的モルフィズムの書誌」