ハーマンリング

3次有理関数e ^{2π it} z ² ( z −4)/(1−4 z )、t =.6151732...のジュリア集合は、回転数が( √5 −1 )/2になるように選ばれ、ヘルマン環（網掛け部分）を持ちます。

複素力学として知られる数学の分野では、ヘルマン環はファトゥ成分^[1]の一種であり、有理関数は標準的な環状体の無理数回転に共役である。

正式な定義

すなわち、もしƒ が周期pのヘルマン環Uを持つならば、共形写像が存在する。

${\displaystyle \phi :U\rightarrow \{\zeta :0<r<|\zeta |<1\}}$

および無理数 であり、 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \phi \circ f^{\circ p}\circ \phi ^{-1}(\zeta )=e^{2\pi i\theta }\zeta .}$

したがって、ハーマン リングのダイナミクスは単純です。

名前

このタイプのファトゥ成分を最初に発見し構築した マイケル・ハーマン（1979 ^[2] ）によって導入され、後に彼の名にちなんで命名されました。

関数

• 多項式にはハーマン環はありません。
• 有理関数はヘルマン環を持つことができる。宍倉の結果によれば、有理関数ƒがヘルマン環を持つ場合、 ƒの次数は少なくとも3である。
• 超越的全体地図にはそれらは存在しない^[3]
• 有理型関数はヘルマン環を持つことができる。超越有理型関数のヘルマン環はT. Nayakによって研究されている。Nayakの結果によれば、そのような関数に省略値が存在する場合、周期1または2のヘルマン環は存在しない。また、極が1つしかなく、かつ少なくとも1つの省略値が存在する場合、その関数はどの周期のヘルマン環も持たないことが証明されている。

例

ヘルマンと放物面盆地

これはヘルマン環を持つ有理関数の例である。^[1]

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}}$

ここで、単位円上のƒの回転数は となる。 ${\displaystyle \tau =0.6151732\dots }$ ${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$

右の図はƒのジュリア集合です。白い環状部内の曲線はƒの反復におけるいくつかの点の軌道であり、破線は単位円を示しています。

ヘルマン環といくつかの周期的な放物型ファトゥ成分を同時に 持つ有理関数の例があります。

ヘルマン環と周期的な放物線型ファトゥ成分を持つ有理関数で、単位円上の回転数は となる。画像は回転している。${\displaystyle f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{za}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{zb}}}$ ${\displaystyle t=0.6141866\dots ,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i}$ ${\displaystyle f_{t,a,b}}$ ${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$

第2期ハーマンリング

さらに、周期 2 のヘルマン環を持つ有理関数が存在します。

有理関数は周期2のヘルマン環を持つ

ここでこの有理関数の表現は次のようになる。

${\displaystyle g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(za)}{zb}}+c,\,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.17021425+0.12612303i,\\b&=0.17115266+0.12592514i,\\c&=-1.18521775-0.16885254i.\end{aligned}}}$

この例は、二次多項式から 準等角手術^{[4]によって構築された。}

${\displaystyle h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{{\sqrt {5}}\pi i}}{4}}}$

周期 2 のシーゲル円板を持ちます。パラメータa、  b、  cは試行錯誤によって計算されます。

賃貸

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.14285933+0.06404502i,\\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ and}}\\c&=-0.18242894-0.81957139i,\end{aligned}}}$

すると、g 、 _a、b、cのヘルマン環の1つの周期は3になります。

宍倉もまた例を挙げている: ^[5]周期2のヘルマン環を持つ有理関数であるが、上記に示したパラメータは宍倉のものとは異なる。

第5期ハーマンリング

そこで疑問が生じます。高周期のヘルマン環を持つ有理関数の式をどうやって見つけるか？

この質問は、有理関数g _{a、b、c の}マンデルブロ集合を使用することで（任意の周期 > 0 について）回答できます。古典的なマンデルブロ集合（2次多項式の場合）は、各多項式の臨界点を反復し、臨界点の反復が無限大に収束しない多項式を特定することで近似されます。同様に、有理関数g _a、b、cの集合に対して、複素3次元空間における (a,b,c) の値のうち、関数の3つの臨界点（導関数がゼロになる点）がすべて無限大に収束する値と、臨界点がすべて無限大に収束しない値を区別することで、マンデルブロ集合を定義できます。 

a と b の各値について、複素数値 c の平面で  g _a、b、c  のマンデルブロ集合を計算できます。a と b がほぼ等しい場合、この集合は二次多項式の古典的なマンデルブロ集合を近似します。これは、a=b のときg _{a、b、 cが x} ² + cに等しいためです。古典的なマンデルブロ集合では、シーゲル円板は、有界分母を持つ連分数展開を持つ無理数巻き数を持つマンデルブロ集合のエッジに沿って点を選択することで近似できます。もちろん、無理数はコンピュータ表現でのみ近似されます。これらの分母は、点に近づくマンデルブロ集合のエッジに沿ったノードのシーケンスによって識別できます。同様に、マンデルブロ集合の有理関数において、曲線の両側に並ぶ一連のノードを観察し、その曲線に沿って点を選択し、付随するノードを避けることで、ヘルマン環を識別できます。これにより、回転数の連分数展開において、所望の分母の列が得られます。以下は、 |ab| = .0001 で、c が c を中心とするg _{a , b , c}のマンデルブロ集合の平面スライスを示しています。これは、古典的なマンデルブロ集合における 5 サイクルのジーゲル円板を識別します。

5 サイクルに近い、c 平面上の有理関数 g のマンデルブロ集合。

上の図では、a = 0.12601278 + .0458649i、b = .12582484 + .045796497i を使用し、c = 0.3688 - .3578 を中心としています。これは、古典的なマンデルブロ集合におけるシーゲル円板の5周期に近い値です。上の図では、上図の曲線の両側にノードを持つ点 c を選択することで、5周期のヘルマン環を近似できます。この場合、g _a、b、cは、以下の値を使用して、ほぼ希望する巻数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=.12601278+.0458649i,\\b&=.12582484+.045796497i,{\text{ and}}\\c&=0.37144067-.35829275i,\end{aligned}}}$

結果として得られる 5 サイクルのヘルマン リングを以下に示します。

周期 5 のハーマン環を示す g のジュリア集合。

参照

• ドゥアディウサギ
• シーゲルディスク

参考文献

1. John Milnor、「1複素変数のダイナミクス：第3版」、Annals of Mathematics Studies、160、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、2006年。
2. Herman、Michael-Robert (1979)、「Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des Rotations」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、49 (49): 5–233、doi :10.1007/BF02684798、ISSN  1618-1913、MR  0538680、S2CID  118356096
3. 省略値とハーマン環、Tarakanta Nayak著。^{[全文引用が必要]}
4. 宍倉光弘「有理関数の準共形手術について」Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 1, 1–29.
5. 宍倉光弘、「複素解析力学系の手術」、池上義子編『力学系と非線形振動』、ワールドサイエンティフィック アドバンストシリーズ イン ダイナミカル システム、1、ワールドサイエンティフィック、1986年、93-105ページ。