エルミートの問題

エルミートの問題は、1848 年にシャルル エルミートによって提起された数学の未解決問題です。彼は、元の数が 3 次無理数であるときに、その数列が最終的に周期的になるように、実数を自然数の列として表現する方法を求めました。

モチベーション

実数を表記する標準的な方法は、次のように 10 進数で表現することです。

x = a 0 . a 1 a 2 a 3 …   {\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }

ここで、a 0は整数、つまりxの整数部分であり、a 1、a 2、a 3、…は0から9までの整数である。この表現では、数xは

x = ∑ n = 0 ∞ a n 10 n . {\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}

実数xが有理数となるのは、その小数展開が最終的に周期的である場合、つまり、任意のn  ≥  Nに対してa n + p  =  a nとなるような自然数Nとpが存在する場合のみです。

数字を表現する別の方法は、次のように単純な連分数として書くことです。

x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … ] ,   {\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }

ここで、a 0は整数、a 1、a 2、a 3 ...は自然数である。この表現からxを復元できる。

x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + ⋱ . {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}

xが有理数の場合、数列 ( a n ) は有限個の項で終了します。一方、オイラーは無理数を連分数で表すには無限数列が必要であることを証明しました。[1] さらに、この数列は最終的に周期的になります（つまり、任意のn  ≥  Nに対してa n + p  =  a nとなるような自然数Nとpが存在する）。これは、x が二次無理数である場合に限ります。

エルミートの質問

有理数は1 次多項式を満たす代数的数であり、2 次無理数は 2 次多項式を満たす代数的数です。これらの数の両方の集合に対して、各シーケンスが一意の実数を与え、シーケンスが最終的に周期的である場合にのみ、この実数が対応する集合に属するという特性を持つ自然数シーケンス ( a n ) を構築する方法があります。

1848年、シャルル・エルミートはカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに手紙を書き、この状況が一般化できるか、つまり、各実数xに自然数列を割り当てて、xが3次無理数、つまり3次代数数のときに、その列が最終的に周期的になるかどうか尋ねました。 [2] [3] または、より一般的には、各自然数dに対して、 xがd次代数数であるときを検出できる自然数列を各実数xに割り当てる方法はあるでしょうか。

アプローチ

エルミートの問題を解こうとする数列は、しばしば多次元連分数と呼ばれる。ヤコビ自身が初期の例を考案し、実数 ( x ,  y ) の各ペアに対応する数列が、連分数の高次元類似体として機能することを発見した。[4]彼は、 ( x ,  y ) に付随する数列が最終的に周期的となるのは、 xとy の両方が3次数体に属する場合のみであることを示そうとしたが、それはできず、これが事実であるかどうかは未解決のままである。

2015年、初めて三次無理数の周期的表現が三項連分数を用いて提供された。すなわち、三次無理数を有理数または整数の周期列として表す問題が解決された。しかし、この周期的表現はすべての実数に対して定義されたアルゴリズムから導出されるわけではなく、三次無理数の最小多項式の知識からのみ導かれるものである。[5]

連分数を一般化する代わりに、ミンコフスキーの疑問符関数を一般化するというアプローチもある。この関数 ? : [0, 1] → [0, 1] も二次無理数を取り出す。なぜなら ?( x ) が有理数となるのはx が有理数か二次無理数の場合のみであり、さらにx が有理数となるのは ?( x ) が二項有理数の場合のみであるからである。したがって、x が二次無理数となるのは ?( x ) が非二項有理数の場合のみである。この関数を単位正方形[0, 1] × [0, 1] や2次元単体に一般化する様々な方法が提案されているが、いずれもエルミート問題を解くには至っていない。[6] [7]

3次ベクトルの周期的表現を求める減法アルゴリズムがOleg Karpenkovによって2つ提案された[8] 。 最初の(アルゴリズム)は全実数の場合にのみ機能する。アルゴリズムの入力は3次ベクトルの3つ組である。3次ベクトルとは、の3次拡大を生成するベクトルである。この場合、3次ベクトルは、アルゴリズムの出力が周期的である場合に限り共役である。2番目の( HAPDアルゴリズム)は、すべての場合(複素3次ベクトルを含む)およびすべての次元で機能すると推測される。 sin 2 {\displaystyle \sin ^{2}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } d ≥ 3 {\displaystyle d\geq 3}

参考文献

  1. ^ オイラー、レオンハルト (1748)、無限分析の紹介、Vol.私、ローザンヌ: マーカム=ミカエレム・ブスケ – オイラー・アーカイブより
  2. ^ エミール・ピカール、シャルル・エルミットの科学的ルーヴル、アン。科学。エコールノルム。すする。3 18 (1901)、9–34 ページ。
  3. ^ Extraits de lettres de M. Ch.エルミートと M. ジャコビは、さまざまな物体を持っています。 （継続）。、Journal für die reine und angewandte Mathematik 40 (1850)、pp.279–315、doi :10.1515/crll.1850.40.279
  4. ^ CGJ Jacobi、 Allgemeine Theorie der kettenbruchänlichen Algorithmen 、 welche jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird (英語:各数値が 3 つの前の数値から形成される連分数状アルゴリズムの一般理論)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 69 (1868)、 pp.29-64。
  5. ^ Nadir Murru,立方無理数の周期的記述とRédei関数の一般化について, Int. J. Number Theory 11 (2015), no. 3, pp. 779-799, doi: 10.1142/S1793042115500438
  6. ^ L. Kollros、 Un Algorithme pour l'estimated simultanee de Deux Granduers、就任学位論文、チューリッヒ大学、1905 年。
  7. ^ ビーバー、オルガ・R. ;ギャリティ、トーマス(2004)、「2次元ミンコフスキー?( x )関数」、Journal of Number Theory、107 (1): 105– 134、arXiv : math/0210480、doi :10.1016/j.jnt.2004.01.008、MR  2059953
  8. ^ Karpenkov, Oleg (2022)、「エルミート問題、ヤコビ・ペロン型アルゴリズム、ディリクレ群について」、Acta Arithmetica、203 (1): 27– 48、arXiv : 2101.12707、doi :10.4064/aa210614-5-1、MR  4415995; また、この論文の出版されたジャーナル版に統合された、Karpenkov の「周期的な Jacobi-Perron 型アルゴリズムについて」(arXiv : 2101.12627 ) も参照してください。
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