ヒルベルト行列

線形代数学において、ヒルベルト行列はヒルベルト （1894）によって導入され、各要素が単位分数である正方行列である。

${\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

たとえば、これは 5 × 5 のヒルベルト行列です。

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}$

エントリは積分によって定義することもできる

${\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}$

つまり、xのべき乗のグラミアン行列として表されます。これは、任意の関数を多項式で最小二乗近似する際に生じます。

ヒルベルト行列は悪条件行列の典型的な例であり、数値計算での使用が非常に難しいことで有名である。例えば、上記の行列の2ノルムの条件数は約4.8 × 10である。⁵ .

歴史的注記

ヒルベルト（1894）は、近似理論における次の問題を研究するためにヒルベルト行列を導入した。「 I = [ a , b ]が実区間であると仮定する。そのとき、整数係数を持つ非ゼロ多項式Pであって、積分が

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)^{2}dx}$

は、任意の小さい値ε  > 0 よりも小さいか？」この問いに答えるために、ヒルベルトはヒルベルト行列の行列式の正確な公式を導出し、その漸近挙動を調べた。彼は、区間の長さb − aが 4 より小さい 場合、この問いに対する答えは「正」であると結論付けた。

プロパティ

ヒルベルト行列は対称かつ正定値行列です。また、ヒルベルト行列は全正行列でもあります（つまり、すべての部分行列の行列式が正です）。

ヒルベルト行列はハンケル行列の一例であり、またコーシー行列の具体的な例でもある。

行列式はコーシー行列式の特別な場合として閉じた形で表すことができます。n × nヒルベルト行列の 行列式は

${\displaystyle \det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},}$

どこ

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.}$

ヒルベルトはすでに、ヒルベルト行列の行列式が整数の逆数であるという興味深い事実を述べている（OEISのシーケンスOEIS：A005249を参照）。これは、

${\displaystyle {\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.}$

スターリングの階乗近似を使用すると、次の漸近的な結果を確立できます。

${\displaystyle \det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},}$

ここで、 a _nは定数 に収束します。ここで、AはGlaisher–Kinkelin 定数です。 ${\displaystyle e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

ヒルベルト行列の逆行列は二項係数を用いて閉じた形で表現することができ、その要素は

${\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},}$

ここでnは行列の位数である。^[1]逆行列の要素はすべて整数であり、その符号はチェッカーボードパターンを形成し、主対角線上で正となる。例えば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].}$

n  ×  nヒルベルト行列の条件数はとして増加します。 ${\displaystyle O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)}$

アプリケーション

多項式分布にモーメント法を適用するとハンケル行列が得られる。これは、区間[0, 1]上の確率分布を近似する特殊な場合にはヒルベルト行列となる。この行列の逆行列を求めることで、多項式分布近似の重みパラメータが得られる。^[2]

参考文献

1. Choi, Man-Duen (1983). 「ヒルベルト行列を使ったトリック・オア・トリート」.アメリカ数学月刊誌. 90 (5): 301– 312. doi :10.2307/2975779. JSTOR  2975779.
2. Munkhammar, Joakim; Mattsson, Lars; Rydén, Jesper (2017). 「モーメント法を用いた多項式確率分布推定」. PLOS ONE . 12 (4) e0174573. Bibcode :2017PLoSO..1274573M. doi : 10.1371/journal.pone.0174573 . PMC 5386244. PMID 28394949  . 

さらに読む

• David Hilbert (1894)、「Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms」、Acta Mathematica、18 : 155–159、doi : 10.1007/BF02418278、ISSN  0001-5962、JFM  25.0817.02ヒルベルト、デイヴィッド著「第21条」に転載 。論文集第2巻。
• ベッカーマン、ベルンハルト (2000)。 「実ヴァンデルモンド行列、クリロフ行列、正定値ハンケル行列の条件数」。数学数学。85 (4): 553–577。CiteSeerX  10.1.1.23.5979。土井：10.1007/PL00005392。S2CID  17777214。
• Choi, M.-D. (1983). 「ヒルベルト行列を使ったトリック・オア・トリート」.アメリカ数学月刊誌. 90 (5): 301– 312. doi :10.2307/2975779. JSTOR  2975779.
• トッド、ジョン (1954). 「ヒルベルト行列の有限区間の条件」. タウスキー, O. (編).連立一次方程式の解法と固有値の決定への貢献. 米国標準局応用数学シリーズ. 第39巻. pp.  109– 116. ISBN 0-598-85383-9. OCLC  540840412。
• ウィルフ, HS (1970). いくつかの古典的不等式の有限断面. シュプリンガー. doi :10.1007/978-3-642-86712-5. ISBN 978-3-540-04809-1。