ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理

分野	代数幾何学
最初の証明	フリードリヒ・ヒルツェブルッフ
最初の校正	1954
一般化	アティヤ・シンガーの指数定理 グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
結果	リーマン・ロッホの定理 曲面に関するリーマン・ロッホの定理

数学において、ヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理は、フリードリヒ・ヒルツェブルッフ、ベルンハルト・リーマン、グスタフ・ロッホにちなんで名付けられ、1954年にヒルツェブルッフがリーマン面上の古典的なリーマン＝ロッホの定理を高次元のすべての複素代数多様体に一般化した定理である。この定理は、約3年後に証明されたグロタンディーク＝ヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理への道を開いた。

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理の記述

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、コンパクト複素多様体X上の任意の正則ベクトル束 Eに適用され、層コホモロジーにおけるEの正則オイラー特性、すなわち交代和 を計算する。

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}$

次元を複素ベクトル空間として表します。ここで、nはXの複素次元です。

ヒルツェブルッフの定理は、χ( X , E ) はEのチャーン類 c _k ( E )とXの正則接束のトッド類によって計算可能であることを述べている。これらはすべてXのコホモロジー環に含まれる。基本類（言い換えれば、X上の積分）を用いることで、 Xの類から数を得ることができる。ヒルツェブルッフの公式は、 ${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(X)}$ ${\displaystyle H^{2n}(X).}$

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j=0}^{n}\オペレーター名 {ch} _{nj}(E)\オペレーター名 {td} _{j}(X),}$

コホモロジーにおけるチャーン指標ch( E )を用いる。言い換えれば、積は、合計が2 nとなるすべての「一致する」次数のコホモロジー環において形成される。別の表現をすると、等式は次のようになる。

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

ここで、 Xの接バンドルのトッド類です。 ${\displaystyle \operatorname {td} (X)}$

重要な特殊ケースとしては、Eが複素線束の場合と、X が代数曲面（ノイマンの公式）の場合が挙げられます。曲線上のベクトル束に対するヴェイユのリーマン・ロッホの定理、および代数曲面に対するリーマン・ロッホの定理（下記参照）もこの公式の適用範囲に含まれます。この公式はまた、トッド類がチャーン指標の逆数であるという漠然とした概念を的確に表現しています。

曲線のリーマン・ロッホの定理

曲線の場合、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は本質的に古典的なリーマン・ロッホの定理である。これを理解するには、曲線上の各因子 Dに対して、可逆な層O( D )（これは線束に対応する）が存在し、 Dの線型系は多かれ少なかれO( D )の切断空間となることを思い出すとよい。曲線の場合、トッド類はであり、層O( D )のチャーン指標は1+ c ₁ (O( D ))であるので、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は次のように述べている。 ${\displaystyle 1+c_{1}(T(X))/2,}$

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$ ( X上で積分)。

しかし、h ⁰ (O( D )) は単にl ( D )、つまりDの線型系の次元であり、セール双対性により h ¹ (O( D )) = h ⁰ (O( K  −  D )) = l ( K  −  D ) となります。ここでKは標準因子です。さらに、X上で積分されたc ₁ (O( D )) はDの次数であり、X上で積分されたc ₁ ( T ( X ))は曲線Xのオイラー類 2 − 2 gです。ここでgは種数です。したがって、古典的なリーマン・ロッホの定理が得られます。

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)={\text{deg}}(D)+1-g.}$

ベクトル束Vの場合、チャーン指標は rank( V ) + c ₁ ( V ) なので、曲線上のベクトル束に対するヴェイユのリーマン・ロッホの定理が得られます。

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rank} (V)(1-g).}$

曲面に関するリーマン・ロッホの定理

曲面の場合、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、本質的には曲面のリーマン・ロッホの定理である。

${\displaystyle \chi (D)=\chi ({\mathcal {O}})+((DD)-(DK))/2.}$

ノイマンの公式と組み合わせた。

必要であれば、セール双対性を使用してh ² (O( D )) をh ⁰ (O( K  −  D )) と表すことができますが、曲線の場合とは異なり、層コホモロジーを含まない形式でh ¹ (O( D )) 項を書く簡単な方法は一般にありません(ただし、実際には層コホモロジーが消えることがよくあります)。

漸近的リーマン・ロッホ

Dをn次元の既約射影多様体X上の十分な カルティエ因子とする。

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

より一般的には、X上 の任意の連接層が${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

参照

• グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理- 多くの計算と例が含まれています
• ヒルベルト多項式- HRRはヒルベルト多項式を計算するために使用できます。

参考文献

• フリードリヒ・ヒルツェブルッフ『代数幾何学における位相的手法 』ISBN 3-540-58663-6

外部リンク

• ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理