同相群

数学、特に位相幾何学において、位相空間の同相群（どうそうぐん）とは、その空間からそれ自身への同相写像のすべてから成り、群演算として関数合成を行う群である。同相群は位相空間理論において重要であり、一般的には自己同型群の典型例であり、群同型の意味で位相不変である。

プロパティと例

ある空間の同相群は、その空間に自然な群作用を及ぼす。位相空間を とし、 の同相群を で表記する。この作用は以下のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

これはグループアクションです。 なぜなら、${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$ 、

ここで は群作用を表し、の単位元（上の恒等関数）は点を自身に送る。この作用が推移的 である場合、空間は均質 であると言われる。 ${\displaystyle \cdot}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

トポロジー

他の位相空間間の写像集合と同様に、同相群にはコンパクト開位相のような位相を与えることができる。正則な局所コンパクト空間の場合、群の乗法は連続的である。

空間がコンパクトでハウスドルフである場合、反転写像も連続となり、位相群となる。がハウスドルフであり、局所コンパクトで局所連結である場合も同様に成り立つ。^{[ 1 ]} 局所コンパクトで可分な距離空間の中には、反転写像が連続でなく、位相群を形成しないものがある。^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {ホメオ} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{ホメオ}}(X)}$

マッピングクラスグループ

特に幾何学的位相幾何学では、 を同位体で割って得られる商群（写像類群と呼ばれる）を考慮します。

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$ 。

MCGは0次ホモトピー群としても解釈できます。これにより、短完全列が得られます。 ${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

いくつかの応用、特に曲面では、同相群はこの短い正確なシーケンスを介して研究され、まず写像類群と同位体的に自明な同相群を研究し、次に（場合によっては）拡張を研究します。

参照

• マッピングクラスグループ

参考文献

1. Dijkstra, Jan J. (2005)、「同相群とコンパクト開位相について」(PDF)、アメリカ数学月刊誌、112 (10): 910– 912、doi : 10.2307/30037630、JSTOR  30037630、MR  2186833

• 「同相群」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]