ホップ分解
数学的手法の種類

数学において、ホップ分解は、エーバーハルト・ホップにちなんで名付けられ、測度空間 ( X 、 μ )の可逆な特異でない変換T : X → X、すなわち逆変換が測定可能であり、空集合を空集合に移す変換に関する標準的な分解を与える。空集合まで、X は、 TのCへの作用が保存的であり、 T の D への作用が散逸的である、T不変集合の互いに素な和C ∐ Dとして表すことができる。したがって、 τ がTによって誘導されるA = L ∞ ( X )の自己同型である場合、 pA が保存的であり、(I–p)Aが散逸的であるような、 Aに一意の τ 不変射影pが存在する。

定義

  • 放浪集合と散逸作用。Xの測定可能な部分集合Wが放浪的であるとは、その特性関数q = χ WがA = L ∞ ( X )において、すべてのnに対してq τ n ( q ) = 0 を満たす場合をいう。したがって、空集合を除いて、並進T n ( W ) は互いに素である。ある放浪集合Wに対してX = ∐ T n ( W ) ae が成り立つ場合、その作用は散逸的と呼ばれる。
  • 保守的な作用。Xに正測度の放浪部分集合がない場合、その作用は保守的であると言われる。
  • 非圧縮性作用。ある作用が非圧縮性であるとは、測定可能な部分集合Z がT ( Z ) ⊆ Zを満たすとき、Z \ TZ は測度 0 を持つということを意味する。したがって、q = χ Zかつ τ( q ) ≤ qならば、 τ( q ) = q ae となる。
  • 再帰的動作。動作Tが再帰的であるとは、任意のq = χ Yに対してq ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ... aeが成り立つ場合を言う。
  • 無限回帰動作。動作Tが無限回帰動作 であるとは、任意のq = χ Yおよび任意のm ≥ 1に対してq ≤ τ m ( q ) ∨ τ m + 1 ( q ) ∨ τ m +2 ( q ) ∨ ... aeが成立する場合を言う。

再帰定理

定理。Tが測度空間（X 、μ）上の零集合を保存する可逆変換である場合、以下の条件はT（またはその逆）上で同値である。[1]

  1. Tは保守的です。
  2. Tは再発します。
  3. Tは無限回帰的です。
  4. Tは非圧縮です。

Tが散逸的である場合、かつその場合に限りT −1が散逸的であるため、 Tが保存的である場合、かつその場合に限り T −1が保存的であることがわかります。

Tが保存的である場合、r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ 2 (1 - q ) ∧ τ 3 ( q ) ∧ ... はさまよい、q < 1 の場合、必然的にr = 0 になります。したがって、q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ となり、 Tは再帰的になります。

Tが再帰的である場合、q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ となります。ここで、帰納法によりq ≤ τ k ( q ) ∨ τ k +1 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ と仮定します。すると τ k ( q ) ≤ τ k +1 ( q ) ∨ τ k +2 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ となります。したがってq ≤ τ k +1 ( q ) ∨ τ k +2 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ となります。したがって、この結果はk +1 に対して成立し、したがってTは無限再帰的です。逆に、定義により無限再帰的変換は再帰的です。

ここで、Tが再帰的であると仮定します。Tが非圧縮性であることを示すには、τ( q ) ≤ qならばτ( q ) ≤ qであることを示す必要があります。実際、この場合、 τ n ( q ) は減少列です。しかし、再帰性により、q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ となるため、q ≤ τ( q ) となり、 q = τ( q )となります。

最後に、Tが非圧縮性であると仮定します。T が保存性を持たない場合、Aには p ≠ 0 が存在し、τ n ( p )は互いに素（直交）です。しかし、q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ 2 ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ は τ( q ) < qかつq − τ( q ) = p ≠ 0を満たすため、非圧縮性と矛盾します。したがって、Tは保存性を持ちます。

ホップ分解

定理。Tが測度空間( X , μ )上の可逆変換で、空集合を保存し、A = L∞(X )の自己同型τを誘導する場合、 Aには唯一のτ不変量p = χ Cが存在し、 τはpA = L∞ ( C )上で保存的であり、(1 −  p ) A = L∞ ( D )上で散逸的である。ただし、D =  X  \  Cである。[2]

一般性を失うことなく、 μ は確率測度であると仮定できます。Tが保存的であれば、 C = Xであるため、証明する必要はありません。そうでない場合は、 Tに対して放浪集合Wが存在します。r = χ W、q = ⊕ τ n ( r ) とします。したがって、qはτ不変かつ散逸的です。さらに、 μ ( q ) > 0 です。明らかに、このようなτ不変で散逸的なq ′ の直交直和もτ不変かつ散逸的です。また、qがτ不変かつ散逸的で、r < qが τ不変であれば、rは散逸的です。したがって、q 1とq 2がτ不変かつ散逸的であれば、q 1 ∨ q 2 = q 1 ⊕ q 2 (1 −  q 1 )であるため、 q 1 ∨ q 2はτ不変かつ散逸的です。ここで、 qがτ不変かつ散逸的なすべてのμ ( q )の最大値をMとします。τ不変かつ散逸的なq nを取り、 μ ( q n ) がMまで増加するようにします。q n をq 1 ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q nに置き換えると、q nがqまで増加すると仮定できます。連続性により、 qはτ不変であり、 μ ( q ) = Mです。最大性により、 p = I − qは保存されます。τ不変量r < pはどれも散逸的ではなく、すべてのτ不変量r < qは散逸的であるため、一意性は明らかです。

系。Tのホップ分解はT −1のホップ分解と一致する。

変換が測度空間上で散逸的である場合、かつその逆変換も散逸的である場合に限るので、TとT −1の散逸部分は一致する。したがって、保存部分も一致する。

系。Tのホップ分解は、n > 1 のT nのホップ分解と一致する。

WがTの放浪集合であれば、それはT nの放浪集合です。したがって、 Tの散逸部分はT nの散逸部分に含まれます。 σ = τ nとします。逆を証明するには、 σ が散逸的であれば τ も散逸的であることを示せば十分です。そうでない場合、ホップ分解を使用して、 σ は散逸的で τ は保存的であると想定できます。pがσ の非ゼロの放浪射影であるとします。すると、 τ a ( p ) と τ b ( p ) は、 nを法とする同じ合同類内の異なるaおよびbに対して直交します。 τ a ( p )の集合を非ゼロの積と最大サイズで取ります。したがって、 | S | ≤ nです。最大性により、rは τ に対して放浪しており、矛盾が生じます。

系。可逆変換Tが測度空間( X , μ )上でエルゴード的かつ非推移的に作用し、かつ空集合を保存し、 Bがμ ( B ) >0を満たす部分集合である場合、 B∪TB∪T2B∪⋅⋅⋅の補集合は測度0を持つ。

エルゴード性と非推移性は、Tの作用が保存的であり、したがって無限回帰的であることを意味することに注意してください。しかし、 任意のm ≥ 1 に対して、 B ≤ T m ( B ) ∨ T m + 1 ( B ) ∨ T m +2 ( B ) ∨ ... が成り立ちます。T − mを適用すると、任意のm > 0 に対して、 T − m ( B ) は Y = B ∪ TB ∪ T 2 B ∪ ⋅⋅⋅に存在します。エルゴード性により、μ ( X \ Y ) = 0 となります。

非特異流れのホップ分解

( X ,μ) を測度空間とし、S t をX上の非特異フローとし、 A = L ∞ ( X )の1パラメータ群 σ tの自己同型群を誘導するものとする。作用は忠実であると仮定し、σ tはt = 0の場合にのみ恒等関数となる。各S t、またはt ≠ 0 におけるσ tに対してホップ分解が存在する。つまり、作用がp t A上で保存的、(1− p t ) A上で散逸的となるようなσ tで固定されたp tが存在する。

  • s、t ≠0の場合、 s / tが有理数であれば、 SsとSt の保存部と散逸部は一致する。[3]
これは、任意の非特異可逆変換について、TとT nの保存部分と散逸部分がn ≠ 0で一致するという事実から導かれます。
  • S 1がA = L ∞ ( X )上で散逸的であれば、 A上の不変測度λとA内のpが存在し、
  1. p > σ t ( p ) （すべてのt > 0に対して）
  2. λ( p – σ t ( p )) = t （すべてのt > 0について）
  3. tが −∞ に近づくとσ t ( p ) 1 となり、 tが +∞ に近づくと σ t ( p ) 0 となります。 ↑ {\displaystyle \uparrow} ↓ {\displaystyle \downarrow}
T = S 1とする。qをTの放浪集合とし、⊕ τ n ( q ) = 1 とする。μ を同値な測度に置き換えると、μ( q ) = 1と仮定でき、μ はqA上の確率測度に制限される。この測度を τ n ( q ) Aに移すと、μ はA上で τ 不変であると仮定できる。しかし、λ = ∫1
0 μ ∘ σ t dtはA上の同等の σ 不変測度であり、必要に応じて λ( q ) = 1となるように再スケールできます。 ⊕ τ n ( r ) = 1 でT (または τ)にわたってさまようA内のrは簡単に記述できます。 r = ⊕ τ n ( q n )で与えられ、q = ⊕ q nはqの分解です。 特に λ( r ) =1 です。 さらに、p がp > τ( p ) かつ τ – n ( p ) 1を満たす場合、 λ( p – τ( p )) = 1 となり、その結果をr = p – τ( p ) に適用します。同じ議論から、逆に、rがτの間さまよい、λ( r ) = 1である場合、⊕τn ( r ) = 1となることがわかります。 ↑ {\displaystyle \uparrow}
Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ 2 ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅とすると、 k ≥ 1に対してτ k ( Q ) < Qとなる。するとa = ∫∞
0σ t ( q ) dt = Σ k ≥ 0 ∫1
0σ k + t ( q ) dt = ∫1
0σ t ( Q ) dtなので、Aでは 0 ≤ a ≤ 1 となる。定義により、 s ≥ 0 の場合にはσ s ( a ) ≤ aとなる。なぜなら、 a − σ s ( a ) = ∫であるからである。∞
秒σ t ( q ) dt。同じ式から、 σ s ( a ) はs が+∞ または −∞ に向かうにつれて 0 または 1 に向かうことがわかります。0 < ε < 1 に対してp = χ [ε,1] (a) と設定します。すると σ s ( p ) = χ [ε,1] (σ s ( a )) となります。s ≥ 0に対してσ s ( p ) ≤ pが直ちに成立します。さらに、 sが+∞ に向かうにつれて σ s ( p ) 0 となり、 s が−∞ に向かうにつれてσ s ( p ) 1 となります。0 ≤ ε ⋅ σ s ( p ) ≤ σ s ( a )であるため、最初の極限式が成立します。同じ推論を、τ、σ t、q、εの代わりに、τ −1、σ − t、τ −1 ( q )、1 − εに適用できます。すると、aとpに対応する量は1 − aと1 − pであることが簡単に確認できます。したがって、 tが∞に近づくにつれて、 σ − t (1− p ) 0となります。したがって、sが−∞に近づくにつれて、σ s ( p ) 1となります。特にp ≠ 0、1です。 ↓ {\displaystyle \downarrow} ↑ {\displaystyle \uparrow} ↓ {\displaystyle \downarrow} ↑ {\displaystyle \uparrow}
したがって、r = p − τ( p ) は τ の間さまよい、 ⊕ τ k ( r ) = 1 です。したがって、 λ( r ) = 1 です。s = 1/ nの場合、したがってすべての有理数s > 0 の場合、 λ( p −σ s ( p ) ) = sが成り立ちます。 族 σ s ( p ) は連続かつ減少するため、連続性により、同じ式がすべての実数s > 0 に対しても成り立ちます。したがって、p は主張された条件をすべて満たします。
  • t ≠ 0におけるStの保存性と散逸性はtに依存しない。[4]
前の結果は、S tがt ≠ 0に対してX上で散逸的であるならば、 S sもs ≠ 0に対して散逸的であることを示しています。一意性により、S tとS s は互いの散逸部分を保存します。したがって、それぞれが互いの散逸部分上で散逸的であるため、散逸部分は一致します。したがって、保存部分は一致します。

参照

注記

  1. ^ クレンゲル 1985, 16–17ページ
  2. ^ クレンゲル 1985, 17–18ページ
  3. ^ クレンゲル 1985, 18ページ
  4. ^ クレンゲル 1968, 183ページ

参考文献

  • アーロンソン、ジョン（1997）「無限エルゴード理論入門」、数学概論第50巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0494-4
  • ホップ、エーバーハルト（1937）、Ergodentheorie（ドイツ語）、Springer
  • クレンゲル、ウルリッヒ (1968)、「Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I」、Math。アンナレン（ドイツ語）、176 : 181−190
  • Krengel、Ulrich (1985)、エルゴード定理、De Gruyter Studies in Mathematics、vol. 6、デ・グリュイテル、ISBN 3-11-008478-3
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