ポアンカレ・ホップ定理

数学において、ポアンカレ・ホップの定理（ポアンカレ・ホップ指数式、ポアンカレ・ホップ指数定理、ホップ指数定理とも呼ばれる）は、微分位相幾何学で用いられる重要な定理である。この定理は、アンリ・ポアンカレとハインツ・ホップにちなんで名付けられている。

ポアンカレ・ホップの定理は、しばしば毛玉定理の特殊なケースで説明されます。毛玉定理は、単に、ソースやシンクを持たない偶数次元のn 球面上には滑らかなベクトル場が存在しないことを述べています。

ポアンカレ・ホップの定理によれば、閉軌道は2つの中心と1つの鞍部、または1つの中心を囲むことはできるが、鞍部だけを囲むことはできない。（ここではハミルトン系の場合）

正式な声明

を 次元の微分可能多様体とし、上にベクトル場があるとする。を の孤立零点とし、付近の局所座標を固定する。を中心とする閉球を取り、 がにおけるの唯一の零点となるようにする。すると、におけるの添え字は、の境界から で与えられる -球面 への写像の次数として定義できる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$ ${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle u(z)=v(z)/\|v(z)\|}$

定理。をコンパクト微分可能多様体とする。を孤立零点を持つベクトル場とする。 が境界 を持つ場合、は境界に沿って外向きの法線方向を向いているとする。すると、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

ここで、添字の和は のすべての孤立零点にわたっており、 はのオイラー特性である。特に有用な系は、オイラー特性0を意味する非零ベクトル場が存在する場合である。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

この定理はアンリ・ポアンカレ^[1]によって2次元に対して証明され、後にハインツ・ホップ^[2]によって高次元に一般化されました。

意義

閉曲面のオイラー特性は純粋に位相的な概念であるのに対し、ベクトル場の指数は純粋に解析的である。したがって、この定理は、一見無関係な2つの数学の領域の間に深いつながりを確立する。この定理の証明が積分、特にストークスの定理に大きく依存していることも同様に興味深い。ストークスの定理は、微分形式の外微分の積分はその形式の境界上の積分に等しいと述べている。境界のない多様体の特殊なケースでは、これは積分が 0 であると言っていることになる。しかし、ソースまたはシンクの十分に小さい近傍のベクトル場を調べると、ソースとシンクが合計に対して整数量（指数と呼ばれる）を寄与し、それらすべてを合計すると 0 になることがわかる。この結果は、^{[誰によって？ ] は、}幾何学と解析学あるいは物理学の概念の間に深い関係性を確立した一連の定理（例えば、アティヤ・シンガーの指数定理、ド・ラームの定理、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理など）の中で最も初期のものの一つであり、両分野の現代研究において重要な役割を果たしている。

証明のスケッチ

1. Mを高次元ユークリッド空間に埋め込みます。（ホイットニーの埋め込み定理を使用します。）
2. ユークリッド空間におけるMの小さな近傍N _{εを取ります。ベクトル場をこの近傍まで拡張し、零点と零点の添え字が同じになるようにします。さらに、} N _εの境界において拡張されたベクトル場が外向きになるようにします。
3. 古い（そして新しい）ベクトル場の零点の添え字の和は、N _εの境界から( n -1)次元球面へのガウス写像の次数に等しい。したがって、添え字の和は実際のベクトル場とは独立であり、多様体Mのみに依存する。
   手法：ベクトル場の零点を小さな近傍ですべて切り取る。次に、n次元多様体の境界から( n -1)次元球面への写像（n次元多様体全体に拡張可能）の次数が零であるという事実を用いる。^[要出典]
4. 最後に、この添字の和をMのオイラー特性とします。そのためには、 Mの三角形分割を用いて、添字の和がオイラー特性に等しいことが明らかなM上の非常に特殊なベクトル場を構築します。

一般化

孤立していない零点を持つベクトル場の指数を定義することは依然として可能です。この指数の構成と、孤立していない零点を持つベクトル場に対するポアンカレ・ホップ定理の拡張は、(Brasselet, Seade & Suwa 2009)の1.1.2節に概説されています。

コンパクトな三角形化空間と有限個の不動点を持つ連続写像のみを用いるもう一つの一般化は、レフシェッツ＝ホップの定理である。すべてのベクトル場は多様体上の流れを誘起し、小さな流れの不動点はベクトル場の零点に対応する（そして零点の添え字は不動点の添え字に等しい）ので、ポアンカレ＝ホップの定理はここから直ちに導かれる。

参照

• アイゼンバッド・レヴィン・キムシアシビリ署名式
• ホップ定理

参考文献

1. アンリ・ポアンカレ『微分方程式によって定義される曲線について』（1881–1882）
2. H. ホップ、Vektorfelder in n-Dimensionen Mannigfaltigkeiten、Math。アン。96 (1926)、209 ～ 221 ページ。

• 「ポアンカレ・ホップ定理」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ジャン＝ポール・ブラスレ。セアデ、ホセ。諏訪達雄（2009）。特異品種のベクトル場。ハイデルベルク：シュプリンガー。ISBN 978-3-642-05205​​-7。