数学において、ホップ群とは、任意のエピモーフィアンが成り立つ群 Gである。
- G → G
は同型である。同様に、群がホップ群であるためには、その真の商のいずれとも同型でない必要がある。[1]
- G → G
は同型である。同様に、Gはその真部分群のいずれとも同型ではない。
ホップ群の例
非ホップ群の例
- 準環式グループ。
- 実数の加法群R。[2 ]
- バウムスラッグ・ソリター群 B (2,3)。(一般にB ( m , n ) が非ホップ群となるのは、 p | m , q | nかつp ∤ n , q ∤ mを満たす素数p , q が存在する場合のみである。) [3]
プロパティ
コリンズ (1969) は、群の有限表現が与えられた場合に、その群がホップ群であるかどうかを判断することは決定不能問題であることを示した。群の多くの性質の決定不能性とは異なり、これはアディアン・ラビン定理の帰結ではない。なぜなら、ホップ群性はミラーとシュップ (1971) が示したように マルコフ性ではないからである。
参考文献
- ^ Florian Bouyer. 「定義 7.6.」. 群の提示(PDF) . ウォーリック大学.
群 G が非ホプフィアンであるとは、1 ≠ N ◃ G が存在し、G/N ≅ G となる場合を言う。
- ^ Clark, Pete L. (2012年2月17日). 「群の射影自己準同型で、それが単射でないものを常に見つけられるか？」Math Stack Exchange .
これは、(
R
,+) が捩れがなく、かつ可分であり、したがって
Q -
ベクトル空間であるためです。したがって、選択公理により、すべてのベクトル空間は基底を持つので、連続体基数の集合で添字付けされた (
Q
,+) のコピーの直和と同型です。これにより、ホップの性質が明らかになります。
- ^ Florian Bouyer. 「定理7.7」. 群のプレゼンテーション(PDF) . ウォーリック大学.
- コリンズ、DJ (1969)。 「ホップ群の認識について」。数学のアーカイブ。20 (3): 235–240。土井:10.1007/BF01899291。S2CID 119354919。
- ジョンソン, DL (1990).群の表現. ロンドン数学会学生テキスト. 第15巻.ケンブリッジ大学出版局. p. 35. ISBN 0-521-37203-8。
- ミラー、CF;シュップ、PE (1971)。 「ホプフィアングループへの組み込み」。代数ジャーナル。17 (2): 171.土井:10.1016/0021-8693(71)90028-7。
外部リンク
- PlanetMathのホップ群。
- 数学百科事典における非ホップ群
