ヒューレヴィッツの定理

数学において、ヒューレヴィッツの定理は代数位相幾何学の基本的な結果であり、ヒューレヴィッツ準同型写像として知られる写像を介してホモトピー理論とホモロジー理論を結び付ける。この定理はヴィトルド・ヒューレヴィッツにちなんで名付けられ、アンリ・ポアンカレの以前の結果を一般化したものである。

定理の記述

Hurewicz の定理は、ホモトピー群とホモロジー群を結ぶ重要な関係です。

絶対版

任意の経路連結空間Xと真に正の整数nに対して、群準同型が存在する。

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$

ヒューレヴィッツ準同型写像と呼ばれる、 n次ホモトピー群からn次ホモロジー群（整数係数）への写像。これは次のように与えられる。まず、標準生成元 を選び、写像のホモトピー類を に取る。 ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$ ${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$

Hurewicz の定理は、Hurewicz 準同型が同型である場合を述べています。

• に対して、X が-連結であれば（つまり、すべての に対して）、すべての に対して、であり、Hurewicz 写像は同型である。^{[ 1 ] :366、Thm.4.32} これは特に、ホモロジー連結性がホモトピー連結性と等しいのは、後者が少なくとも 1 の場合であることを意味する。さらに、Hurewicz 写像はこの場合エピモルフィズムである。 ^{[ 1 ] :388、Ex.4.2.23} ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$
• に対して、ヒューレヴィツ準同型は、第 1 ホモトピー群 (基本群) のアーベル化と第 1 ホモロジー群の間に同型 を誘導します。${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)}$

相対バージョン

任意の空間と整数のペア に対して準同型が存在する ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}$

相対ホモトピー群から相対ホモロジー群へ。相対ヒューレヴィッツの定理は、とが連結で、かつ対が連結であるならば、に対して、は の作用を因数分解することによってから得られることを述べている。これは例えばホワイトヘッド（1978）において帰納法によって証明されており、絶対版とホモトピー加法補題が順に証明されている。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle H_{k}(X,A)=0}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A)}$

この相対的なヒューレヴィッツ定理は、ブラウンとヒギンズ（1981）によって、射に関する命題として 再定式化されている。

${\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA),}$

ここで はの円錐を表します。このステートメントは、 の誘導加群（の場合は交差加群）を含むホモトピー除去定理の特殊なケースであり、それ自身は相対ホモトピー群の高次ホモトピー・ファン・カンペン定理から演繹されます。その定理の証明には、フィルターされた空間の立方高次ホモトピー群の技術の開発が必要です。 ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$

三元バージョン

任意の空間の3つ組（つまり、空間Xと部分空間A、B）と整数に対して、準同型写像が存在する。 ${\displaystyle (X;A,B)}$ ${\displaystyle k>2}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}$

トライアドホモトピー群からトライアドホモロジー群へ。

${\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}$

三項ヒューレヴィツの定理は、X、A、B、およびが連結で、対がそれぞれ-連結、-連結であり、三項が-連結である場合、およびの作用と一般化ホワイトヘッド積を因数分解することによって、に対して、およびが得られることを述べている。この定理の証明には、三項ホモトピー群に対する高次ホモトピー・ファン・カンペン型定理が用いられ、これはn立方体の空間の基本-群の概念を必要とする。 ${\displaystyle C=A\cap B}$ ${\displaystyle (A,C)}$ ${\displaystyle (B,C)}$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle (q-1)}$ ${\displaystyle (X;A,B)}$ ${\displaystyle (p+q-2)}$ ${\displaystyle H_{k}(X;A,B)=0}$ ${\displaystyle k<p+q-2}$ ${\displaystyle H_{p+q-1}(X;A)}$ ${\displaystyle \pi _{p+q-1}(X;A,B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ ${\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}$

単体集合バージョン

位相空間に対するヒューレヴィッツの定理は、カン条件を満たすn連結単体集合に対しても成立する。 ^{[ 2 ]}

有理的ヒューレヴィッツの定理

有理ヒューレヴィッツの定理：^{[ 3 ] [ 4 ]} Xを に対してとなる単連結位相空間とする。このときヒューレヴィッツ写像 ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$ ${\displaystyle i\leq r}$

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

は の同型性と の射影を誘導します。 ${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$ ${\displaystyle i=2r+1}$

注記

1. ハッチャー、アレン（2001）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79160-1
2. Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999),単純ホモトピー理論, Progress in Mathematics, vol. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1、III.3.6、3.7
3. クラウス、ステファン；クレック、マティアス（2004）「有理数ヒューレヴィッツ定理の簡易証明と球面の有理数ホモトピー群の計算」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、136（3）：617–623、Bibcode：2004MPCPS.136..617K、doi：10.1017/s0305004103007114、S2CID 119824771 
4. アンリ・カルタン; Serre、Jean-Pierre (1952)、「Espaces fibrés et groupes d'homotopie、II、Applications」、Comptes rendus de l'Académie des Sciences、2 ( 34): 393–395

参考文献

• ブラウン、ロナルド (1989)、「三項式ヴァン・カンペンの定理とヒューレヴィッツの定理」、代数的位相学 (エバンストン、イリノイ州、1988)、アメリカ数学会、第96巻、プロビデンス、ロードアイランド州、pp.  39– 57、doi : 10.1090/conm/096/1022673、ISBN 9780821851029、MR  1022673
• ブラウン、ロナルド; ヒギンズ、PJ (1981)、「相対ホモトピー群の余極限定理」、純粋・応用代数誌、22 : 11–41、doi : 10.1016/0022-4049(81)90080-3、ISSN  0022-4049
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987)、「n-cubes of spaces のホモトピー的切除と Hurewicz の定理」、ロンドン数学会紀要、第3シリーズ、54 : 176–192、CiteSeerX  10.1.1.168.1325、doi : 10.1112/plms/s3-54.1.176、ISSN  0024-6115
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987)、「空間の図式に関するヴァン・カンペンの定理」、トポロジー、26 (3): 311– 334、doi : 10.1016/0040-9383(87)90004-8、ISSN  0040-9383

• ロトマン、ジョセフ・J.（1988）、代数的位相幾何学入門、数学大学院テキスト、第119巻、シュプリンガー・フェアラーク（1998年7月22日出版）、ISBN 978-0-387-96678-6
• ホワイトヘッド、ジョージ W. (1978)、「ホモトピー理論の要素」、数学大学院テキスト、第61巻、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90336-1