ELSV式

数学において、ELSV 式は、その 4 人の著者 Torsten Ekedahl  [sv]、Sergei Lando  [ru]、Michael Shapiro、Alek Vainshtein にちなんで名付けられ、フルヴィッツ数 (球面の分岐被覆を数える) と安定曲線のモジュライ空間上の積分との間の等式です。

ELSV 公式からは、ウィッテン予想、ヴィラソロ制約、予想など、曲線のモジュライ空間の交差理論におけるいくつかの基本的な結果が導き出されます。 ${\displaystyle \lambda _{g}}$

これは Gopakumar–Mariño–Vafa の式によって一般化されます。

式

ハーウィッツ数を定義する

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

複素射影直線 (リーマン球面、種数gの連結曲線で、無限遠点のn個の番号付き逆像が重複度を持ち、さらにm 個の単純分岐点を持つ) の分岐被覆の数として。ここで、被覆が非自明な自己同型群Gを持つ場合は、重み でカウントする必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ ${\displaystyle 1/|G|}$

ELSVの式は次のようになる。

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.}$

ここでの表記は次のようになります。

• ${\displaystyle g\geq 0}$ は負でない整数です。
• ${\displaystyle n\geq 1}$ 正の整数です。
• ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ 正の整数です。
• ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})}$ n組の自己同型写像​​の数である${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});}$
• ${\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ は、 n 個のマークされた点 を持つ種数gの安定曲線のモジュライ空間です。
• Eはホッジベクトル束であり、c(E*)はその双対ベクトル束の全チャーン類である。
• ψ _iは、 i番目のマークされた点への余接線束の最初のチャーン類です。

数字

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

左辺の項は組合せ論的な定義を持ち、組合せ論的に証明できる性質を満たす。これらの性質はそれぞれ、ELSV式の右辺の積分に関する記述に変換される（Kazarian 2009）。

ハーウィッツ数

ハーウィッツ数

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

_は純粋に代数的な定義も持つ。K = k 1 + ... + k _n、m = K + n + 2 g − 2 とし、τ ₁ , ..., τ _mを対称群S _Kの転置とし、σ を長さk ₁ , ..., k _nのn個の番号付きサイクルを持つ順列とする。すると

${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )}$

は、積が ( k ₁ , ..., k _n )型の単位元を推移的に分解したものである。

${\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma }$

は恒等順列と、

${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}}$

推移的です。

定義。 ( k ₁ , ..., k _n )型の恒等式の推移的因数分解の数をK ! で割った値です。${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

例A.数は、積がkサイクルとなる転置のリストの数の1/ k倍です。言い換えれば、数は、与えられたkサイクルをk + 2 g − 1 個の転置の積に因数分解する数の1/ k倍です。 ${\displaystyle h_{g;k}}$ ${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})}$ ${\displaystyle h_{g;k}}$

フルヴィッツ数の2つの定義（球面の分岐被覆の数を数える、または推移的因数分解の数を数える）の同値性は、分岐被覆をそのモノドロミーで記述することによって確立されます。より正確には、球面上の基点を選び、その逆像に1からKまでの番号を振ります（これによりK !という因数が導入され、それによって割り算が説明されます）。そして、分岐点の周りの被覆のモノドロミーを考えます。これにより推移的因数分解が導かれます。

モジュライ空間上の積分

モジュライ空間は ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ 、（複素）次元 3 g − 3 + nの滑らかなデリーニュ・マンフォードスタックです。（経験的にこれは複素多様体とほぼ同じように振る舞いますが、多様体にとって整数となる特性類の積分は、デリーニュ・マンフォードスタックでは有理数となります。）

ホッジ束 Eは、モジュライ空間上の階数gのベクトル束であり、そのn個の点がマークされた曲線 ( C , x ₁ , ..., x _n )上のファイバーはC上のアーベル微分空間である。そのチャーン類は次のように表記される。 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

我々は持っています

${\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}$

ψ類。上の線束を導入する。曲線 ( C , x ₁ , ..., x _n ) 上ののファイバーは、x _iにおけるCの接線である。 の最初のチャーン類は次のように表される。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$

${\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

積分関数。分数は と解釈され、和は 3 g − 3 + n次（モジュライ空間の次元）で切断できます。したがって、積分関数はn + 1 個の因子の積です。この積を展開し、そこから 3 g − 3 + n次部分を抽出し、モジュライ空間上で積分します。 ${\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})}$ ${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }$

多項式としての積分。したがって、積分は

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}}$

は変数k ₁ , ..., k _nの対称多項式であり、その単項式の次数は3 g − 3 + nから2 g − 3 + nまでである。単項式の係数は ${\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}$

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},}$

どこ

${\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.}$

注：数の多項式性

${\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}}$

この予想は、IP GouldenとDM Jacksonによって初めて提唱されました。ELSVの公式に依存しない証明は知られていません。

例B. g = n = 1 とします。すると

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}$

例

n = g = 1とします。表記を簡略化するために、k _{1 を}kと表記します。m = K + n + 2 g − 2 = k + 1となります。

例Bによれば、この場合のELSV式は次のようになる。

${\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}$

一方、例Aによれば、フルヴィッツ数h _{1, k は}、対称群S _kのkサイクルをk + 1 個の転置の積に分解する方法の数の1/ k倍に等しい。特に、h _{1, 1 = 0 （} S ₁には転置がないため）である一方、h _{1, 2 = 1/2 （} S ₂の転置 (1 2) を3個の転置の積に因数分解する方法が1つだけ存在するため）である。

これらの2つの値をELSVの式に代入すると、

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.}$

そこから推測すると

${\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}$

歴史

ELSV公式はEkedahlら (1999) によって発表されましたが、符号に誤りがありました。Fantechi & Pandharipande (2002) は、k ₁ = ... = k _n = 1 （符号を修正）に対してこれを証明しました。Graber & Vakil (2003) は、局所化手法を用いてこの公式を完全な一般性で証明しました。初期の4人の著者によって発表された証明は、Ekedahlら (2001) に倣ったものです。Li (2001) によって点に対する射影直線への安定写像空間が構築されたため、この空間に仮想局所化を適用することですぐに証明を得ることができます。

Kazarian (2009) は、何人かの人々の先行研究を基にして、 ELSV 式から 交差理論の既知の結果のほとんどを推論する統一された方法を提示しました。${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

証明のアイデア

種数gの曲線からP ¹ ( C )への安定写像fの空間をとします。fはちょうどn個の位数の極を持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$

分岐射 br、すなわちLyashko–Looijenga 写像は、Cにおけるm個の分岐点の順序なし集合に、重複度を考慮した写像を付与します。実際には、この定義はfが滑らかな写像である場合にのみ有効です。しかし、この定義は安定写像の空間への自然な拡張を持ちます。例えば、あるノード上のfの値は二重分岐点とみなされます。これは、方程式xy = tで与えられる曲線族C _tと写像族f _t ( x , y ) = x + yを見ればわかります。t → 0のとき、 f _tの2つの分岐点は、C ₀のノードにおけるf ₀の値に向かいます。 ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

分岐射は有限次数ですが、無限のファイバーを持ちます。ここでの目標は、その次数を2つの異なる方法で計算することです。

最初の方法は、像内の一般点の逆像を数えることです。言い換えれば、無限遠における( k ₁ , ..., k _n )型の分岐点と、さらにm個の固定された単純分岐点を持つP ¹ ( C ) の分岐被覆を数えます。これはまさにフルヴィッツ数です。 ${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

brの次数を見つける 2 番目の方法は、最も退化した点の逆像を調べることです。つまり、m個の分岐点をすべてCの 0 にまとめます。

この点のbrの逆像は、モジュライ空間 と同型な無限ファイバーです。確かに、 n個のマークされた点を持つ安定曲線が与えられた場合、この曲線をP ¹ ( C )の 0 に送り、そのマークされた点に、安定写像が の形になるn個の有理数成分を付加します。このようにして、0 と∞の外側の非分岐 のすべての安定写像が得られます。代数幾何学の標準的な方法を使用すると、無限ファイバーとその法線束を調べることで写像の次数を求めることができます。結果は、無限ファイバー上の特定の特性クラスの積分として表されます。この場合、この積分は ELSV 式の右辺に等しくなります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

したがって、ELSV 式は、分岐射の次数を計算する 2 つの方法間の等式を表します。

参考文献

• エケダール、T.ランド、S.シャピロ、M. Vainshtein、A. (1999)。 「ハーヴィッツ数とホッジ積分について」。科学アカデミーのコンテス。328 (12): 1175–1180。arXiv : math / 9902104 。ビブコード:1999CRASM.328.1175E。土井：10.1016/S0764-4442(99)80435-2。S2CID  15218497。
• エケダール、T.ランド、S.シャピロ、M. Vainshtein、A. (2001)。 「フルヴィッツ数と曲線のモジュライ空間上の交点」。数学の発明。146 (2): 297–327。arXiv : math / 0004096 。Bibcode :2001InMat.146..297E。土井：10.1007/s002220100164。S2CID  10881259。
• ファンテキ、B.パンダリパンデ、R. (2002)。 「安定したマップと分岐因子」。Compositio Mathematica。130 (3): 345–364 . arXiv : math/9905104。Bibcode :1999math......5104F。土井:10.1023/A:1014347115536​​。S2CID  1124032。
• Graber, T.; Vakil, R. (2003). 「仮想局所化によるホッジ積分とフルヴィッツ数」. Compositio Mathematica . 135 (1): 25– 36. arXiv : math/0003028 . Bibcode :2000math......3028G. doi :10.1023/A:1021791611677. S2CID  15706096.
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• Li, Jun (2001). 「安定射から特異スキームへの写像と相対安定射像」. Journal of Differential Geometry . 57 (3): 509– 578. arXiv : math/0009097 . doi : 10.4310/jdg/1090348132 .