ハーウィッツ多項式
複素根が非正の実部を持つ多項式

数学において、フルヴィッツ多項式（ドイツの数学者アドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられた ）は、根（零点） が複素平面の左半平面または虚軸上にある多項式、すなわちすべての根の実部が零または負である多項式である。[1] このような多項式は、必ず正の実数係数を持つ。この用語は、虚軸を除いて根の実部が厳密に負である多項式（すなわち、フルヴィッツ安定多項式）に限定されることもある。[2] [3]

複素変数sの多項式関数P ( s )は、次の条件が満たされる場合、フルヴィッツ関数であるといわれる。

  1. sが実数の場合、 P ( s )は実数です。
  2. P ( s )の根の実部はゼロまたは負です。

フルヴィッツ多項式は、安定な線形システムの特性方程式を表すため、制御システム理論において重要です。多項式がフルヴィッツ多項式であるかどうかは、方程式を解いて根を求めるか、あるいはラウス・フルヴィッツ安定判定法を用いて方程式を解かずに係数から判定できます。

例

フルヴィッツ多項式の簡単な例は次のとおりです。

× 2 + 2 × + 1. {\displaystyle x^{2}+2x+1.}

唯一の実数解は-1である。

（ × + 1 ） 2 。 {\displaystyle (x+1)^{2}.}

一般に、正の係数を持つすべての二次多項式はフルヴィッツ多項式である。これは二次方程式の公式から直接導かれる。

× ＝ − b ± b 2 − 4 1つの c   2 1つの 。 {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}

ここで、判別式b 2 −4 acがゼロ未満の場合、多項式は実部 − b /2 aを持つ2つの複素共役解を持ちます。これは、 aとbが正の場合に負になります。判別式がゼロの場合、 − b /2 aに一致する2つの実解があります。最後に、判別式がゼロより大きい場合、 a、b、cが正の場合に負になるため、2つの実解が負になります。 b 2 − 4 1つの c < b {\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}b}

プロパティ

多項式がフルヴィッツ多項式であるためには、その係数がすべて正であることは必要条件であるが、十分条件ではない（二次多項式は例外で、これも十分条件となる）。多項式がフルヴィッツ多項式であるための必要十分条件は、ラウス・フルヴィッツ安定基準を満たすことである。与えられた多項式がフルヴィッツ多項式であるかどうかを効率的に判定するには、ラウス連分数展開法を用いる。

参考文献

  1. ^ クオ, フランクリン F. (1966).ネットワーク分析と合成, 第2版. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  295– 296. ISBN 0471511188。
  2. ^ Weisstein, Eric W (1999). 「Hurwitz多項式」. Wolfram Mathworld . Wolfram Research . 2013年7月3日閲覧。
  3. ^ Reddy, Hari C. (2002). 「2次元ハーウィッツ多項式の理論」.回路とフィルタハンドブック, 第2版. CRC Press. pp.  260– 263. ISBN 1420041401. 2013年7月3日閲覧。
  • Wayne H. Chen (1964) 「線形ネットワークの設計と合成」、63 ページ、McGraw Hill。
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